Теорема

Теорема
Любое вполне упорядоченное множество
порядково изоморфно некоторому ординалу
Подробное доказательство в ZFC
Для упорядоченного множества X и элемента x ∈ X условимся
обозначать множество {y ∈ X : y < x} символом x↓.
Индукция по элементам вполне упорядоченного множества
Для любой теоретико-множественной формулы ϕ
следующее утверждение является теоремой ZFC.
Если Y — произвольное вполне упорядоченное множество
и для любого y ∈ Y из (∀ z ∈ y↓) ϕ(z) следует ϕ(y),
то ϕ(y) для всех y ∈ Y .
Положим Y0 := {y ∈ Y : ¬ϕ(y)}.
Предположим вопреки доказываемому, что Y0 6= ∅.
Положим y := min Y0.
Поскольку (∀ z ∈ y↓)(z ∈/ Y0), мы имеем (∀ z ∈ y↓) ϕ(z).
Следовательно, ϕ(y), что противоречит включению y ∈ Y0.
Обозначим через f : D → V формализацию утверждения
«множество f является функцией с областью определения D ».
Для f : D → V и E ⊆ D положим f [E] := {f (e) : e ∈ E}.
Всюду ниже X — произвольное вполне упорядоченное множество.
Для x ∈ X и f : x↓
(∀ y ∈ x↓) f (y) = f [y↓] .
→ V будем писать x C f вместо
Положим XC := x ∈ X : (∃ f : x↓ → V)(x C f ) .
Лемма 1. Если x ∈ XC , то (∃! f : x↓ → V)(x C f ).
Пусть x ∈ X , f, g : x↓ → V, x C f и x C g.
Докажем (∀ y ∈ x↓) f (y) = g(y) индукцией
по y ∈ x↓.
Пусть y ∈ x↓ и (∀ z ∈ y↓) f (z) = g(z) . Покажем, что f (y) = g(y).
Из x C f следует f (y) = f [y↓].
Из x C g следует g(y) = g[y↓]
.
Из (∀ z ∈ y↓) f (z) = g(z) следует f [y↓] = g[y↓].
Таким образом, для всякого x ∈ XC имеется единственная функция f x : x↓ → V,
удовлетворяющая условию x C f x, т. е. такая, что f x(y) = f x[y↓] для всех y ∈ x↓.
Лемма 2. Пусть x ∈ XC и y ∈ x↓. Тогда y ∈ XC и f y = f x |y↓ .
Как легко видеть, из x C f x вытекает y C f x|y↓.
Следовательно, y ∈ XC.
Поскольку y C f x|y↓ и y C f y , мы имеем f y = f x|y↓ по лемме 1.
Определим(функцию F : X → V, полагая
f x [x↓], если x ∈ XC ;
F (x) :=
∅,
если x ∈/ XC.
(Отметим, что существование такой функции F можно обосновать
с помощью схемы аксиом подстановки.)
Лемма 3. Пусть x ∈ XC .
Тогда F (x) = F [x↓].
Покажем, что F |x↓ = f .
Пусть y ∈ x↓. Покажем, что F (y) = f x(y).
По лемме 2 мы имеем y ∈ XC и f y = f x|y↓.
Следовательно, F (y) = f y [y↓] = f x|y↓[y↓] = f x[y↓] = f x(y).
Таким образом, F (x) = f x[x↓] = F |x↓[x↓] = F [x↓].
Лемма 4. Справедливо равенство XC = X .
Достаточно показать, что (∀ x ∈ X) x C F |x↓.
Докажем последнее утверждение индукцией по x ∈ X .
Пусть x ∈ X и (∀ y ∈ x↓)(y C F |y↓). Покажем, что x C F |x↓.
Пусть y ∈ x↓. Покажем, что F |x↓(y) = F |x↓[y↓].
Поскольку y C F |y↓, мы имеем y ∈ XC.
По лемме 3 мы имеем F (y) = F [y↓].
Следовательно, F |x↓(y) = F (y) = F [y↓] = F |x↓[y↓].
Лемма 5. Для всякого x ∈ X мы имеем F (x) = {F (y) : y ∈ X, y < x}.
В частности, если x, y ∈ X и y < x, то F (y) ∈ F (x).
Утверждение леммы 5 непосредственно вытекает из лемм 3 и 4.
Лемма 6. Для всякого x ∈ X множество F (x) является ординалом.
Покажем, что для всякого x ∈ X множество F (x) транзитивно.
Пусть x ∈ X и γ ∈ β ∈ F (x). Покажем, что γ ∈ F (x).
По лемме 5 найдутся y, z ∈ X такие, что z < y < x, γ = F (z) и β = F (y).
Поскольку z < x, по лемме 5 мы имеем γ = F (z) ∈ F (x).
Покажем, что для всякого x ∈ X все элементы множества F (x) транзитивны.
По лемме 5 все элементы множества F (x) имеют вид F (y),
а значит, они транзитивны по доказанному выше.
Таким образом, для всякого x ∈ X множество F (x) транзитивно
и все его элементы транзитивны, т. е. F (x) является ординалом.
Положим A := F [X] = {F (x) : x ∈ X}.
Лемма 7. Множество A является ординалом.
По лемме 6 все элементы множества A транзитивны.
Остается показать, что само множество A транзитивно.
Пусть β ∈ α ∈ A. Покажем, что β ∈ A.
Поскольку α ∈ A, имеется x ∈ X такой, что α = F (x).
Поскольку β ∈ α = F (x), по лемме 5 имеется y ∈ X такой, что β = F (y).
Следовательно, β = F (y) ∈ A.
Лемма 8. Функция F является порядковым изоморфизмом X на ординал A.
По определению A функция F является сюръекцией X на A.
Покажем, что для любых x, y ∈ X из y < x следует F (y) < F (x).
По лемме 5 из y < x следует F (y) ∈ F (x), т. е. F (y) < F (x).
Покажем, что для любых x, y ∈ X из F (y) < F (x) следует y < x.
Пусть F (y) < F (x). Покажем, что y < x.
Если бы x = y или x < y, то с учетом доказанного выше мы бы имели
F (x) = F (y) или F (x) < F (y) вопреки неравенству F (y) < F (x).
Следовательно, y < x (в силу линейности порядка на X ).
x