ИНТЕРАССОЦИАТИВНОСТЬ НА СВОБОДНОЙ КОММУТАТИВНОЙ ПОЛУГРУППЕ А. Б. Горбатков УДК 512.532.3

Сибирский математический журнал
Май—июнь, 2013. Том 54, № 3
УДК 512.532.3
ИНТЕРАССОЦИАТИВНОСТЬ НА СВОБОДНОЙ
КОММУТАТИВНОЙ ПОЛУГРУППЕ
А. Б. Горбатков
Аннотация. Описаны все полугруппы, интерассоциативные к свободной коммутативной полугруппе. Показано, что каждая полугруппа, интерассоциативная к свободной коммутативной полугруппе, является ее вариантом либо совпадает с ней.
Найдены условия изоморфизма двух вариантов свободной коммутативной полугруппы.
Ключевые слова: вариант полугруппы, интерассоциативность, свободная коммутативная полугруппа.
Введение
Пусть (S, ·) — произвольная полугруппа и (S, ◦) — полугруппа, определенная на том же множестве. Полугруппа (S, ◦) называется интерассоциативной
к (S, ·), если
a · (b ◦ c) = (a · b) ◦ c,
(1)
a ◦ (b · c) = (a ◦ b) · c
(2)
для всех a, b, c ∈ S. Полугруппа (S, ◦) называется сильно интерассоциативной
к (S, ·), если выполнены тождества (1), (2) и
a ◦ (b · c) = (a · b) ◦ c.
(3)
Термин «интерассоциативность» был впервые использован в 1971 г. в работе Зупника [1], в которой были описаны некоторые свойства интерассоциативных группоидов. В 1986 г. Дроузи [2] показал, что группа изоморфна каждой
интерассоциативной к ней группе. Часто возникающей задачей является нахождение условий, при которых полугруппа является интерассоциативной к данной
и две полугруппы, интерассоциативные к данной, изоморфны. Гоулд, Линтон
и Нельсон [3] дали ответы на эти вопросы для случая моногенных полугрупп.
Для полугруппы S и ее фиксированного элемента x ∈ S определим бинарную операцию ∗x для всех a, b ∈ S следующим образом: a∗x b = axb. Полугруппа
(S, ∗x ) называется вариантом полугруппы S, а операция ∗x — деформированным
умножением.
Первые результаты, касающиеся вариантов произвольных полугрупп, впервые появились в работах Хики [4, 5], также различными авторами изучались
варианты регулярных полугрупп [6] и полугрупп преобразований [7].
Линтон, Гивенс, Росин и Дишман [8] описали полугруппы, интерассоциативные к свободной коммутативной полугруппе, с конечным числом n > 1 образующих и нашли для них критерии изоморфизма. Для случая n = 1 этот вопрос
c 2013 Горбатков А. Б.
564
А. Б. Горбатков
был решен Нельсон [9]. Возникает естественная задача описания полугрупп, интерассоциативных к свободной коммутативной полугруппе над произвольным
алфавитом. В данной работе показано, что каждая полугруппа, интерассоциативная к свободной коммутативной полугруппе над произвольным алфавитом,
является ее вариантом либо совпадает с ней, а также найдены критерии изоморфизма таких полугрупп.
1. Классификация полугрупп,
интерассоциативных к F C(X)
Пусть X — произвольное непустое множество и F C(X) — свободная коммутативная полугруппа над алфавитом X. Множество всех интерассоциативных
к F C(X) полугрупп будем обозначать через Int(F C(X)), а сильно интерассоциативных — через SInt(F C(X)). Через F C 1 (X) обозначим F C(X) с присоединенной единицей 1.
Слова из F C(X) будем записывать в виде w = w1α1 . . . wnαn , где элементы
w1 , w2 , . . . , wn ∈ X попарно различны и α1 , . . . , αn ∈ N. Через {αi }ni=1 будем
обозначать последовательность чисел α1 , . . . , αn . Для всех a ∈ X положим
a0 w1α1 . . . wnαn = w1α1 . . . wnαn .
Если x ∈ F C(X) — некоторый фиксированный элемент, то будем обозначать
вариант (F C(X), ∗x ) через F Cx (X).
Лемма 1.1. Пусть (S, ·) — произвольная полугруппа и (S, ◦) — интерассоциативная к ней полугруппа. Тогда для всех a, b, c, d ∈ S имеет место тождество
(a · b) ◦ (c · d) = a · (b ◦ c) · d.
(4)
Доказательство. Пусть (S, ◦) — полугруппа, интерассоциативная к (S, ·),
тогда для всех a, b, c, d ∈ S
(2)
(2)
(a · b) ◦ (c · d) = a · (b ◦ (c · d)) = a · ((b ◦ c) · d) = a · (b ◦ c) · d.
Лемма доказана.
Теорема 1.2. Для свободной коммутативной полугруппы F C(X) справедливо следующее равенство:
Int(F C(X)) = SInt(F C(X)) = {F Cx (X) : x ∈ F C(X)} ∪ {F C(X)}.
Доказательство. Очевидно, что F C(X) ∈ Int(F C(X)) ∩ SInt(F C(X)).
Пусть x ∈ F C(X), тогда для всех a, b, c ∈ F C(X) имеем
a(b ∗x c) = a(bxc) = (ab)xc = (ab) ∗x c,
a ∗x (bc) = ax(bc) = (axb)c = (a ∗x b) · c,
откуда следует, что F Cx (X) ∈ Int(F C(X)).
По определению SInt(F C(X)) ⊆ Int(F C(X)), покажем обратное включение:
∀a, b, c ∈ F Cx (X) a ∗x (bc) = ax(bc) = (ab)xc = (ab) ∗x c,
откуда Int(F C(X)) ⊆ SInt(F C(X)).
Для конечного X утверждение, эквивалентное утверждению Int(F C(X)) ⊆
{F Cx (X) : x ∈ F C(X)} ∪ {F C(X)}, доказано в [8, с. 372]. Пусть X счетно,
Интерассоциативность на свободной коммутативной полугруппе
565
(F C(X), ◦) ∈ Int(F C(X)) и a, b, c, d ∈ X. Возьмем элементы c, d ∈ X такие, что
{a, b} ∩ {c, d} = ∅, тогда имеем
(4)
(4)
a(c ◦ d)b = (ac) ◦ (db) = (ca) ◦ (bd) = c(a ◦ b)d,
откуда a ◦ b = aφ(a, b)b, где φ — некоторое отображение из X × X в F C 1 (X).
Пусть e, f ∈ X — произвольные элементы, тогда
a(e ◦ f )b = aeφ(e, f )bf = aeφ(a, b)bf,
т. е. φ(a, b) = φ(e, f ), откуда следует, что φ — константное отображение. Если
φ(a, b) = 1, то операция ◦ совпадает с операцией приписывания. Пусть φ(a, b) =
x ∈ F C(X).
αm
, w = w1β1 w2β2 . . . wnβn ∈ F C(X) \ X имеем
Для любых v = v1α1 v2α2 . . . vm
a ◦ b = aφ(a, b)b = a ∗x b,
(3)
αm
= aφ(a, v1 )v = a ∗x v,
a ◦ v = (a ◦ v1 )v1α1 −1 v2α2 . . . vm
(3)
αm −1
v ◦ a = v1α1 v2α2 . . . vm
(vm ◦ a) = vφ(vm , a)a = v ∗x a,
(3)
αm −1
v ◦ w = v1α1 v2α2 . . . vm
(vm ◦ w1 )w1β1 −1 w2β2 . . . wnβn = vφ(vm , w1 )w = v ∗x w,
откуда Int(F C(X)) = {F Cx (X) : x ∈ F C(X)} ∪ {F C(X)}. Доказательство
завершено.
2. Теорема об изоморфизме вариантов F C(X)
Пусть x, y ∈ F C(X) такие, что F Cx (X) ∼
= F Cy (X). Сформулируем несколько лемм, необходимых для доказательства основного результата работы, полагая, что f — изоморфизм между F Cx (X) и F Cy (X). Обозначим содержание
слова w = w1 w2 . . . wn ∈ F C(X) через c(w) = {w1 , w2 , . . . , wn }.
Заметим, что X не является порождающим множеством для F Cx (X), например, если a, b ∈ X, то слово ab нельзя представить в виде произведения
элементов из X. Имеет место следующая
Лемма 2.1. Множество f (X) совпадает с X.
αn
1
Доказательство. Пусть a ∈ X и aα
1 . . . an — прообраз элемента a. Тогда
α1
αn
αn
1
a ∗y a = f aα
1 . . . an ∗x a1 . . . an
1 −1 2α2
1 −1 2α2
n
n
= f a1 ∗x a2α
a2 . . . a2α
= f (a1 ) ∗y f a2α
a2 . . . a2α
,
n
n
1
1
откуда f (a1 ) = a и X ⊆ f (X).
Пусть теперь f (a) = bβ1 1 . . . bβmm и v, w ∈ F C(X) такие, что f (v) = b1 , f (w) =
2β1 −1 2β2
m
b1
b2 . . . b2β
m , в таком случае имеем
f (a ∗x a) = bβ1 1 . . . bβmm ∗y bβ1 1 . . . bβmm
1 −1 2β2
m
= b1 ∗y b2β
b2 . . . b2β
= f (v) ∗y f (w) = f (v ∗x w),
m
1
откуда v = a и, следовательно, f (X) = X. Лемма доказана.
Для слова w из F Cx (X) или F Cy (X) под записью wk будем подразумевать
k-ю степень слова w относительно операции приписывания.
566
А. Б. Горбатков
Лемма 2.2. Для всех a ∈ X и k ∈ N справедливо равенство f (ak ) = f (a)k .
αn
1
Доказательство. Пусть a ∈ X и f (a) = b, f (a2 ) = aα
1 . . . an . Ясно, что
2
b ∈ X и f (a ) 6∈ X согласно лемме 2.1.
Предположим, что n > 1, тогда
αn
1
1 −1
n
f (a2 ∗x a) = aα
∗y b = aα
. . . aα
∗y a1 b = f (v ∗x w),
n
1 . . . an
1
n
где v, w ∈ F C(X) такие, что f (v) = a1α1 −1 . . . aα
n , f (w) = a1 b. Тогда v ∗x w =
2
a ∗x a. Так как a1 b 6∈ X, то w также не содержится в X согласно лемме 2.1.
n
Отсюда w = a2 , v = a. Получаем f (a) = a1α1 −1 . . . aα
n = b, тогда
f (a2 ∗x a) = b ∗y a1 b = a1 ∗y b2 = f (s ∗x t),
где s, t ∈ F C(X) такие, что f (s) = a1 , f (t) = b2 . Тогда s ∗x t = a2 ∗x a и s ∈ X
по лемме 2.1, откуда t = a2 , т. е. f (a2 ) = b2 = f (a)2 . Следовательно, n = 1, что
противоречит первоначальному предположению.
При n = 1 аналогично
1 −1
∗y a1 b = f (v ∗x w),
f (a2 ∗x a) = a1α1 ∗y b = aα
1
где v, w ∈ F C(X) такие, что f (v) = a1α1 −1 , f (w) = a1 b. Тогда v ∗x w = a2 ∗x a.
Так как a1 b 6∈ X, то w также не содержится в X согласно лемме 2.1, откуда
2
2
2
1
w = a2 , v = a. Тогда f (a2 ) = a1 b = aα
1 , значит, a1 = b и f (a ) = b = f (a) .
k
k
Теперь покажем что f (a ) = f (a) с помощью индукции по k. Пусть
f (ak−1 ) = f (a)k−1 . Используя равенство f (a2 ) = f (a)2 , имеем
f (a) ∗y f (ak ) = f (a ∗x ak ) = f (a2 ∗x ak−1 ) = f (a)2 ∗y f (a)k−1 = f (a) ∗y f (a)k ,
откуда f (ak ) = f (a)k . Лемма доказана.
αn
1 α2
Лемма 2.3. Для всех aα
1 a2 . . . an ∈ F Cx (X) справедливо равенство
αn
1 α2
= f (a1 )α1 f (a2 )α2 . . . f (an )αn .
f aα
1 a2 . . . an
αn
α1
1
. . . f (an )αn с поДоказательство. Покажем, что f (aα
1 . . . an ) = f (a1 )
мощью индукции по n. При n = 1 равенство выполняется согласно лемме 2.2.
Пусть теперь равенство справедливо при n = k − 1, тогда, используя лемму 2.2,
получаем
αk−1 αk
αk
1
1
k +1
1
f (ak ) ∗y f aα
= f ak ∗x aα
= f aα
∗x aα
1 . . . ak
1 . . . ak
1 . . . ak−1
k
αk−1 k +1
1
= f aα
∗y f aα
= f (ak )f (ak )αk ∗y f (a1 )α1 . . . f (ak−1 )αk−1
1 . . . ak−1
k
= f (ak ) ∗y f (a1 )α1 . . . f (ak−1 )αk−1 f (ak )αk ,
αk
1
откуда f aα
= f (a1 )α1 . . . f (ak )αk . Лемма доказана.
1 . . . ak
β1
αn
βm
1
Теорема 2.4. Для любых xα
1 . . . xn , y1 . . . ym ∈ F C(X) полугруппы
F Cxα1 1 ...xαnn (X) и F Cyβ1 ...yβm (X) изоморфны тогда и только тогда, когда n = m
m
1
и {αi }ni=1 получается из {βj }m
j=1 с помощью перестановки элементов.
Доказательство. Покажем необходимость. Пусть x, y ∈ F C(X) и φ изоморфизм между F Cx (X) и F Cy (X). Используя лемму 2.3, имеем
φ(x ∗x x) = φ(x) ∗y φ(x) = yφ(x)2 ,
φ(x ∗x x) = φ(x3 ) = φ(x)3 ,
Интерассоциативность на свободной коммутативной полугруппе
567
β1 β2
αn
βm
1 α2
откуда φ(x) = y. Если x = xα
1 x2 . . . xn и y = y1 y2 . . . ym , то согласно
лемме 2.3
βm
φ(x) = φ(x1 )α1 φ(x2 )α2 . . . φ(xn )αn = y1β1 y2β2 . . . ym
,
(5)
откуда следует, что n = m и {αi }ni=1 получается из {βj }m
j=1 с помощью перестановки элементов.
β1 β2
αn
βn
1 α2
Покажем достаточность. Пусть x = xα
1 x2 . . . xn , y = y1 y2 . . . yn и
n
m
{αi }i=1 получается из {βj }j=1 с помощью перестановки элементов.
Пусть τ : X → X — некоторая биекция такая, что
τ (xi ) = yj
(1 ≤ i ≤ n),
где j ∈ N такое, что αi = βj .
Для любых w1 , w2 , . . . , wk ∈ X и γ1 , γ2 . . . , γk ∈ N определим отображение
φ : F Cx (X) → F Cy (X) следующим образом:
φ w1γ1 w2γ2 . . . wkγk = τ (w1 )γ1 τ (w2 )γ2 . . . τ (wk )γk .
(6)
Покажем, что φ — изоморфизм. Так как Im(φ) = F C(X), то φ — сюръекция.
Поскольку τ инъективно, для всех v, w ∈ F Cx (X) из v 6= w следует, что φ(v) 6=
φ(w), т. е. φ — биекция.
δm
∈ F Cx (X) получаем
Для всех w = w1γ1 w2γ2 . . . wkγk , v = v1δ1 v2δ2 . . . vm
φ(w ∗x v) = τ (w1 )γ1 . . . τ (wk )γk τ (x1 )α1 . . . τ (xn )αn τ (v1 )δ1 . . . τ (vm )δm
= φ(w)(τ (x1 )α1 . . . τ (xn )αn )φ(v) = φ(w) ∗y φ(v),
следовательно, φ — изоморфизм. Теорема доказана.
Следствие 2.5. Если x, y ∈ F C(X) такие, что F Cx (X) ∼
= F Cy (X), то
каждый изоморфизм из F Cx (X) на F Cy (X) имеет вид (6).
β1 β2
βm
αn
1 α2
Доказательство. Пусть x = xα
1 x2 . . . xn и y = y1 y2 . . . ym . Из (5) и
лемм 2.1, 2.3 следует, что для каждого изоморфизма φ из F Cx (X) на F Cy (X)
и для любых aγ11 aγ22 . . . aγnn ∈ F Cx (X) справедливы условия
φ(X) = X,
и
f aγ11 aγ22 . . . anγn = f (a1 )γ1 f (a2 )γ2 . . . f (an )γn ,
βm
φ(x) = φ(x1 )α1 φ(x2 )α2 . . . φ(xn )αn = y1β1 y2β2 . . . ym
,
откуда для всех 1 ≤ i ≤ n получаем φ(xi ) = yj ∈ c(y) для некоторого j такого, что αi = βj . Все такие отображения имеют вид (6) и из доказательства
теоремы 2.4. вытекает, что они являются изоморфизмами. Следствие доказано.
Таким образом, описаны всевозможные изоморфизмы между вариантами
свободной коммутативной полугруппы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zupnik D. On interassociativity and related questions // Aequationes Math.. 1971. V. 6.
P. 141–148.
2. Drouzy M. La structuration des ensembles de semigroupes d’ordre 2, 3 et 4 par la relation
d’interassociativite. Manuscript, 1986.
3. Gould M., Linton K. A., Nelson A. W. Interassociates of monogenic semigroups // Semigroup
Forum. 2004. V. 68. P. 186–201.
568
А. Б. Горбатков
4. Hickey J. B. Semigroups under a sandwich operation // Proc. Edinburgh Math. Soc.. 1983.
V. 26. P. 371–382.
5. Hickey J. B. On variants of a semigroup // Bull. Australian Math. Soc.. 1986. V. 34. P. 447–459.
6. Khan T. A., Lawson M. V. Variants of regular semigroups // Semigroup Forum. 2001. V. 62.
P. 358–374.
7. Magill K. D. Semigroup structures for families of functions I. Some homomorphism theorems //
J. Austral. Math. Soc.. 1967. V. 7. P. 81–94.
8. Givens B. N., Linton K. A., Rosin A., Dishman L. Interassociates of the free commutative
semigroup on n generators // Semigroup Forum. 2007. V. 74. P. 370–378.
9. Boyd S. J., Gould M., Nelson A. W. Interassociativity of semigroups // Proc. Tennessee
Topology Conf.. Singapore: World Sci., 1997. V. 7. P. 33–51.
Статья поступила 22 июня 2012 г.
Горбатков Александр Борисович
Луганский национальный университет им. Тараса Шевченко,
Институт информационных технологий,
кафедра математического анализа и алгебры,
ул. Оборонная, 2, Луганск 91011
gorbatkov [email protected]