ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы 1.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.
Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других
дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг,
объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. сводится к вычислению
определенного интеграла.
Рис. 1.
Рис. 2.
Пусть на отрезке  a; b задана непрерывная функция y  f  x  (рис. 1 и 2).
Обозначим через m и М ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.
Разобьем отрезок  a; b на n частей точками деления
a  x0 , x1, x2 ,..., xn1, xn  b ,
причем
x0  x1  x2  ...  xn ,
и положим
x1  x0  x1 ,
x2  x1  x2 ,..., xn  xn1  xn .
Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции f  x 
на отрезке  x0 ; x1  через m1 и M 1
на отрезке  x1; x2  через m2 и M 2 ,...,
на отрезке  xn1; xn  через mn и M n .
Составим суммы
n
S n  m1x1  m2x2  ...  mn xn   mi xi ,
(1)
i 1
n
S n  M1x1  M 2x2  ...  M n xn   M i xi .
i 1
(2)
Сумму S n называют нижней интегральной суммой, а сумму S n - верхней
интегральной суммой.
Если f  x   0 , то нижняя интегральная сумма численно равняется площади
«вписанной ступенчатой фигуры» AC0 N1C1N2 ...Cn1Nn BA, ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры» AK0C1K1...Cn1Kn1Cn BA, ограниченной «описанной»
ломаной.
2.
Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла
В каждом из отрезков  x0 , x1 ,  x1 , x2 ,...,  xn1 , xn  возьмем по точке, которые
обозначим 1,2 ,...,n (рис. 3):
x0  1  x1 ,
x1  2  x2 ,..., xn1  n  xn .
Рис. 3.
В каждой из этих точек вычислим значение функции f 1  , f 2  ,..., f n .
Составим сумму
n
Sn  f 1  x1  f 2  x2  ...  f n  xn   f i  xi .
(3)
i 1
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f  x  на отрезке
 a; b .
Так как при произвольном  i , принадлежащем отрезку  xi 1 , xi  , будет
mi  f i   M i и все xi  0 , то
mi xi  f i  xi  M i xi ,
следовательно,
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 mi xi   f i  xi   M i xi ,
или
S n  Sn  S n .
(4)
Геометрический смысл последнего неравенства при f  x   0 состоит в том,
что фигура, площадь которой равна S n , ограничена ломаной, заключенной между
«вписанной» ломаной и «описанной» ломаной.
Сумма S n зависит от способа разделения отрезка  a, b на отрезки  xi 1 , xi  и
от выбора точек  i внутри получающихся отрезков.
Обозначим теперь через max  xi1, xi  наибольшую из длин отрезков  x0 , x1 ,
 x1, x2 ,...,  xn1, xn  . Рассмотрим различные разбиения отрезка  a, b на отрезки
 xi1, xi  такие, что  xi1, xi   0 . Очевидно, что при этом число отрезков n в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения  i можно составить интегральную сумму
n
Sn   f i  xi .
(5)
i 1
Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, при которых
max xi  0 , при этом n   . При каждом разбиении выбираем значения  i .
Предположим, что эта последовательность интегральных сумм S n* (в данном случае сумма является упорядоченной переменной величиной) стремится к некоторому пределу
lim Sn*  lim
max xi 0
max xi 0
n
 f   x  S.
i 1
i
i
(6)
Теперь мы можем сформулировать следующее
Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка
max xi  0 , и при любом выборе точек  i на отрезках
 a, b таких, что
 xi1, xi  интегральная
сумма
n
Sn   f i xi
(7)
i 1
стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определенным интегралом от функции f  x  на отрезке  a, b и обозначают
b
 f  x dx.
a
Таким образом, по определению
b
n
lim
max xi 0
 f   x   f  x dx.
i
i 1
i
(8)
a
Число а называется нижним пределом интеграла, b – верхним пределом интеграла. Отрезок  a, b называется отрезком интегрирования, х – переменной интегрирования.
Определение 2. Если для функции f  x  предел (8) существует, то функцию
называют интегрируемой на отрезке  a; b .
Заметим, что нижняя интегральная сумма S n и верхняя интегральная сумма
S n являются частными случаями интегральной суммы (7), поэтому если f  x  ин-
тегрируема, то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу S, и потому на основании равенства (8) можем написать
b
n
 m x   f  x dx,
lim
max xi 0
i
i 1
i
a
b
n
lim
max xi 0
 M x   f  x dx.
i 1
(9)
i
i
(10)
a
Если построить график подынтегральной функции y  f  x  , то в случае
f  x   0 интеграл
b
 f  x dx
a
будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции,
ограниченной указанной кривой, прямыми x  a, x  b и осью Ox (рис. 4).
Поэтому если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y  f  x  , прямыми x  a, x  b и осью Ox то эта площадь Q
вычисляется с помощью интеграла:
b
Q   f  x dx.
(11)
a
Рис. 4.
Теорема 1. Если функция f  x  непрерывна на отрезке  a, b , то она интегрируется на этом отрезке.
Отметим, что среди разрывных функций есть как интегрируемые, так и неинтегрируемые.
Если функция f  x  непрерывна на отрезке  a, b то при любой последовательности разбиений отрезка  a, b на отрезки  xi 1 , xi  , если только max xi  0
*
*
, нижняя интегральная сумма S m и верхняя интегральная сумма S m стремятся к
пределу S.
b
При введении понятия определенного интеграла
 f  x dx. мы предполагали,
a
что a  b . В случае b  a примем по определению
b
a
 f  x dx   f  x dx.
a
0
5
5
0
(12)
b
Так, например,  x 2 dx    x 2dx.
Замечание 3. В случае a  b полагаем по определению, что для любой функции f  x  имеет место
a
 f  x dx  0.
(13)
a
Это естественно и с геометрической точки зрения. В самом деле, основание
криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь
этой криволинейной трапеции равна нулю.
Результат вычисления определенного интеграла не зависит от способа
построения интегральной суммы – лишь бы шаг разбиения стремился к нулю.
3.
Основные свойства определенного интеграла
Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если A  const , то
b
b
 Af  x dx  A f  x dx.
a
(14)
a
Свойство 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких
функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Так, в случае
двух слагаемых
b
b
b
  f  x   f  x  dx   f  x dx   f  x dx.
1
2
1
a
a
2
(15)
a
Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая a  b , остаются в силе и
при a  b .
Однако следующее свойство справедливо при a  b :
Свойство 3. Если на отрезке  a, b , где a  b , функции f  x  и   x  удовлетворяют условию f  x     x  , то
b
b
 f  x dx     x dx.
a
(16)
a
Если f  x   0 и   x   0 , то указанное свойство наглядно иллюстрируется
геометрически (рис. 7). Так как   x   f  x  , то площадь криволинейной трапеции aA1B 1b не больше площади криволинейной трапеции aA2 B 2 b .
Свойство 4. Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f  x 
на отрезке  a, b и a  b , то
b
m  b  a    f  x dx  M  b  a  .
(17)
a
Рис. 7.
Рис.8.
Если f  x   0 то это свойство легко иллюстрируется геометрически (рис. 8):
площадь криволинейной трапеции aABb содержится между площадями прямоугольников aA1B 1b и aA2 B 2 b .
Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция f  x  непрерывна на отрезке
 a, b , то на этом отрезке найдется такая точка  , что справедливо следующее
равенство:
b
 f  x dx   b  a  f  .
a
(18)
Свойство 6. Для любых трех чисел а, b, с справедливо равенство
b
c
b
 f  x dx   f  x dx   f  x dx,
a
a
(19)
c
только все эти три интеграла существуют.
Рис. 9.
Это свойство справедливо и при любом другом расположении точек a, b и с.
4.
Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона –
Лейбница
Непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм (8) связано с большими трудностями. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Ньютоном и Лейбницем, использует глубокую
связь, существующую между интегрированием и дифференцированием.
b
Пусть в определенном интеграле
 f  x dx
нижний предел а закреплен, а
a
верхний предел b меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т. е. интеграл есть функция верхнего предела.
Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим
через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через t. (от обозначения переменной интегрирования значение интеграла
не зависит.)
x
Получим интеграл
 f  t dt . При постоянном а этот интеграл будет представa
лять собой функцию верхнего предела х. Эту функцию мы обозначим через Ф  x  :
x
Ф  x    f  t  dt.
(20)
a
Если f  t  – неотрицательная функция, то величина Ф  x  численно равна
площади криволинейной трапеции aAXx (рис. 10).
Рис. 10.
Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от изменения х.
Найдем производную от Ф  x  по х, т. е. найдем производную определенного
интеграла (20) по верхнему пределу.
x
Теорема 1. Если f  x  - непрерывная функция и Ф  x    f  t  dt , то имеет
a
место равенство
Ф  x   f  x .
Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему
пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).
Данная теорема просто иллюстрируется геометрически (рис. 10):
приращение Ф  f   x равняется площади криволинейной трапеции с
основанием x , а производная Ф  x   f  x  равна длине отрезка xX.
Замечание. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция f  t  непрерывна на отрезке  a, x  , то в этом случае определенный интеграл
x
 f  t  сущеa
x
ствует, т. е. существует функция Ф  x    f  t  dt. Но по доказанному выше она
a
является первообразной от f  x  .
Теорема 2. Если F  x  есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f  x  , то справедлива формула
b
 f  x dx  F  b   F  a .
a
(21)
Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница,
Необходимо отметить, что такое название формулы (21) условно, поскольку
ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном смысле этого слова. Но важно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между
интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов.
Доказательство. Пусть F  x  есть некоторая первообразная от функции
f  x  . По теореме 1 функция
x
 f  t dt
есть также первообразная от f  x  . Но две
a
любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое
С*. Следовательно, можно написать
x
 f  t dt  F  x   C *.
a
Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т. е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в
этом тождестве x  a тогда
a
 f  t dt  F  a   C * ,
a
или
0  F  a   C*,
откуда
C*   F  a .
Следовательно,
x
 f  t dt  F  x   F  a .
a
Полагая x  b , получим формулу Ньютона – Лейбница:
b
 f  t dt  F b   F  a  ,
a
или, заменив обозначение переменной интегрирования на х:
b
 f  x dx  F  b   F  a .
a
Отметим, что разность F  b   F  a  не зависит от выбора первообразной F,
так как все первообразные отличаются на постоянную величину, которая при вычитании все равно уничтожается.
Формулу (21) можно переписать так:
b
 f  x dx  F  x 
b
a
 F b   F  a .
a
Выражение | называется знаком двойной подстановки.
Формула Ньютона – Лейбница дает практически удобный метод вычисления
определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл
смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя
с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона –
Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла,
так как математика получила общий метод для решения различных задач частного
вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного
интеграла к технике, механике, астрономии и т. д.
b
a
b
x2
b2  a 2
Пример 1.  xdx 

.
2
2
a
a
b
b
x3
b3  a 3
Пример 2.  x dx 

.
3
3
a
a
b
2
b
x n1
b n1  a n1
Пример 3.  x dx 

n 1 a
n 1
a
b
n
b
 n  1.
Пример 4.  e x dx  e x  eb  ea .
b
a
a
2
 sin xdx   cos x
Пример 5.
2
0
   cos 2  cos0   0.
0
1
Пример6.

0
5.
xdx
1  x2
1
 1  x 2  2  1.
0
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть дан интеграл
b
 f  x dx,
a
где функция f  x  непрерывна на отрезке  a, b .
Введем новую переменную t no формуле
x    t .
Если
1)
    a,      b,
2)
  t  и    t  непрерывны на отрезке  ,   ,
3)
f   t  определена и непрерывна на отрезке  ,   , то

b
 f  x dx   f   t    t  dt.
(22)
a
Доказательство. Если F  x  есть первообразная для функции f  x  , то можем написать следующие равенства:
 f  x dx  F  x   C,
(23)
 f  t  t  dt  F  t   C.
(24)
Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием
обеих частей по t. Из равенства (23) получаем
b

f  x dx  F  x  a  F  b   F  a  .
b
a
Из равенства (24) получаем




f   t      t  dt  F   t   F      F     F  b   F  a .

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.
Замечания.
При вычислении определенного интеграла по формуле (22) возвращаться к
старой переменной не требуется;
Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
r
Пример. Вычислить интеграл

r 2  x 2 dx.
0
Решение. Сделаем замену переменной: x  r sin t , dx  r cos tdt . Определим
новые пределы: x  0 при t  0 , x  r при t 

2
. Следовательно,

r

0

2
r  x dx   r  r sin t  r cos t  dt  r
2
2
2
0
2
2
2
2
 cos
0
2
tdt 


2
1 1

 t sin 2t  2  r
 r 2    cos 2t  dt  r 2  

.

2
2
2
4
4


0
0
2
Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет пло1
щадь круга, ограниченного окружностью x 2  y 2  r 2 (рис.11).
4
Рис. 11.
6.
Интегрирование по частям
Пусть u и v – дифференцируемые функции от х. Тогда
 uv   uv  uv.
Интегрируя обе части тождества в пределах от а до b, получим
b
b
b
  uv dx   uvdx   uvdx.
a
Так как   uv  dx  uv  C , то
a
(25)
a
b
  uv  dx  uv
b
a
; поэтому равенство (25) может
a
быть записано в виде
b
b
a
a
uv a   vdu   udv,
b
или окончательно
b
 udv  uv
a
b
b
a
  vdu.
a