МАНИПУЛИРОВАНИЕ УЧАСТКАМИ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С РАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

2010
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№60
УДК 519.2
МАНИПУЛИРОВАНИЕ УЧАСТКАМИ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С РАВНОМЕРНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ
С.В.Гарбарь
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Предложен способ моделирования стандартной равномерно распределенной случайной последовательности с
заданным коэффициентом корреляции между соседними членами.
Ключевые слова: моделирование случайных последовательностей, равномерная случайная последовательность
The method of modeling sequences of standard uniformly distributed random variables with specified correlation coefficient
between its adjacent members is proposed.
Keywords: random sequences modeling, uniformly distributed random sequence
мов авторегрессии [2], однако поиск вида независимой случайной составляющей в общем случае —
довольно сложная задача. В работе [3] найдено решение данной задачи для последовательностей
равномерно распределенных случайных величин с
заданным значением коэффициента корреляции
между соседними членами в случае, если требуе1
, где n
мый коэффициент корреляции равен
n +1
— натуральное. Моделирование последовательности с иным значением коэффициента корреляции
требует другого подхода.
Введение
Возможность моделирования случайных процессов может быть использована для имитации различных реальных ситуаций, явлений, объектов. Стационарные случайные последовательности можно
использовать для описания временных рядов, течение которых стабилизировалось и происходит в неизменных условиях. Они применяются в радиотехнике, теории связи, механике жидкости и газа, океанологии, метеорологии и т.д.
Примером задачи, где применяется моделирование случайных последовательностей, может
служить проведение виброиспытаний с заданными
спектрами случайных процессов. Так как подготовка вибростенда к испытаниям требует усилий, проведение предварительной имитации на ЭВМ может
сэкономить время и материальные ресурсы [1].
Теорема Винера—Хинчина утверждает, что автокорреляционная функция и энергетический спектр
стационарного в широком смысле случайного процесса связаны между собой преобразованиями Фурье, поэтому возможность моделирования случайных последовательностей заданного вида с заданными корреляционными свойствами облегчает эту
имитацию.
Манипулирование участками функции плотности
Линейная комбинация Y (t ) = a ⋅ Y (t − 1) + b ⋅ X
двух стандартных равномерно распределенных случайных величин Y (t − 1) и X имеет плотность распределения
⎧0 при y < 0,
⎪1
⎪ y при y ∈[ 0; a ],
⎪ ab
⎪1
g ( y ) = ⎨ при y ∈[ a; b ],
⎪b
⎪a +b 1
⎪ ab − ab y при y ∈[b; a + b ],
⎪
⎩0 при y > b,
при условии, что a ≤ b . Зафиксируем a = 1 и будем
считать, что b ≥ 1 (иначе будет нарушено условие
a ≤ b ). График функции плотности g ( y ) будет иметь
вид, представленный на рис.1.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу моделирования стационарной последовательности стандартных равномерно
распределенных случайных величин {Y (t )} с заданным значением коэффициента корреляции между
соседними членами (т. е. с заданным значением автокорреляционной функции в точке 1).
Под стандартной равномерно распределенной
случайной величиной понимается случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0;1] ,
имеющая функцию плотности
⎧0, если y < 0,
⎪
g ( y ) = ⎨1, если y ∈ [ 0;1],
⎪0, если y > 1.
⎩
Обычно задача моделирования случайных
последовательностей решается на основе алгорит-
Рис.1. Плотность распределения линейной комбинации
равномерно
распределенных
случайных
величин
Y ( t ) = a ⋅ Y ( t − 1) + b ⋅ X
27
2010
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№60
Проведем следующее преобразование полученной случайной величины: если значение случайной величины y будет принадлежать отрезку
⎡ 0; 1 ⎤ , то следует вместо него взять значение 1 − y .
⎢⎣ 2 ⎥⎦
1
Если же y ∈ ⎡b + ; b + 1⎤ , то нужно поменять его на
⎢⎣
⎥⎦
2
2 ⋅ b − y + 1 . Таким образом поменяются вероятности
появления значений случайной величины в отрезках [0;1] и [b; b + 1] , и, как видно по графику на
рис.1, функция плотности ее распределения примет
вид
⎧0, если y < 1 ,
⎪
2
⎪⎪
1
1
1
g ( y ) = ⎨ , если y ∈ ⎡ ; b + ⎤ ,
⎢⎣ 2
b
2 ⎥⎦
⎪
⎪
1
⎪⎩0, если y > b + 2 ,
что есть плотность равномерно распределенной на
1
1
отрезке ⎡ ; b + ⎤ случайной величины. Взяв вместо
⎢⎣ 2
2 ⎥⎦
полученного значения y линейно преобразован1
y−
2 , получим стандартное равномерное расное
b
пределение.
Если же вместо полученного на последнем шаге алгоритма значения y взять в качестве значения
случайной величины 1 − y , то знак коэффициента
корреляции поменяется на противоположный (так
можно поступить, так как функция плотности сим1
метрична относительно точки ).
2
Рис.2. Зависимость значения коэффициента корреляции
между соседними членами последовательности от значения
коэффициента b
где r (Y (t − 1),Y (t ) ) — необходимый коэффициент
корреляции. Абсолютная погрешность при этом составляет не более 0,01 (см. рис.2).
Выводы
Таким образом, алгоритм моделирования требуемой последовательности состоит из следующих
шагов:
1. Определить значение коэффициента b ,
обеспечивающее требуемый коэффициент корреляции.
2.
Получить
промежуточное
значение
y* = y (t − 1) + bx .
1
3. Если y* ∈ ⎡0; ⎤ , то присвоить новое значе⎢⎣ 2 ⎥⎦
ние y* = 1 − y * .
Определение значения коэффициента b
1
Если y* ∈ ⎡b + ; b + 1⎤ , то y* = 2b − y * +1 .
⎢⎣
⎥⎦
2
4. Если требуемый коэффициент корреляции
положительный, то линейно преобразовать y * , что-
Для получения наперед заданного требуемого
значения коэффициента корреляции следует подобрать соответствующее значение коэффициента b .
Для вычисления коэффициента корреляции между
случайными величинами Y (t − 1) и Y (t ) при различных значениях коэффициента b использовались численные методы (многократное моделирование соответствующих последовательностей на ЭВМ). График
зависимости коэффициента корреляции от значения
коэффициента b представлен на рис.2.
Как видно по графику, описанным способом
можно получить коэффициенты корреляции, лежащие в пределах от 0 (при значениях коэффициента
b , стремящихся к бесконечности) до 0,63 (при
b = 1 ).
Для получения наперед заданного необходимого коэффициента корреляции следует подобрать соответствующее значение коэффициента b . Для значений, принадлежащих промежутку (0,1;0,63), можно
воспользоваться приближением
⎛⎜ y * − 1 ⎞⎟
2⎠ .
бы получить Y (t ) : y (t ) = ⎝
b
Если требуемый коэффициент корреляции от⎛⎜ y * − 1 ⎞⎟
2⎠ .
рицательный, то y (t ) = 1 − ⎝
b
1.
2.
3.
r (Y (t − 1),Y (t ) ) = ( 0,62 + 0,02 ⋅ b )b − 0,02,
28
Богданов А.В., Кирьянов Б.Ф. Формирование случайных
процессов для задания механических вибраций в вибростендах с помощью микро-ЭВМ // Проектирование радиоэлектронных систем: Сб. М., 1983. С.77-81.
Кирьянов Б.Ф. Микро-ЭВМ как средства имитации и обработки случайных процессов в радиоэлектронных системах: Монография. Новгород: НПИ, 1986. 217 с.
Гарбарь С.В. // Вестник НовГУ. Сер: Техн. науки. 2010.
№55. С.53