6 Труды 40 Молодежной школы-конференции ОБ АВТОМОРФИЗМАХ ОБОБЩЕННОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА ПОРЯДКА (3, 27) Белоусов И.Н., Махнев А.А. 1 e-mail: i_belousov@mail.ru Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для вершины a графа Γ через Γi (a) обозначим i-окрестность вершины a, то есть, подграф, индуцированный Γ на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a. Положим [a] = Γ1 (a), a⊥ = {a} ∪ [a]. Система инцидентности (X, L), где X — множество точек и L — множество прямых, называется почти 2n-угольником порядка (s, t), если каждая прямая содержит s + 1 точку, каждая точка лежит на t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке), диаметр графа коллинеарности равен n, и для любой пары (a, L) ∈ (X, L) на прямой L найдется единственная точка, ближайшая к a в графе коллинеарности. Почти 2n-угольник называется обобщенным 2n-угольником, если любые две точки u, w, находящиеся на расстоянии, меньшем n, лежат в единственном геодезическом пути, идущем от u к w. Обобщенный 2n-угольник порядка (s, t) называется толстым, если s > 1 и t > 1. Если вершины u, w находятся на расстоянии i в Γ, то через bi (u,w) (через ci (u,w)) обозначим число вершин в пересечении Γi+1 (u) (Γi−1 (u)) с Γ(w). Граф Γ диаметра d называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {b0 , b1 , . . . , bd−1 ; c1 , . . . , cd }, если значения bi (u, w) и ci (u, w) не зависят от выбора вершин u, w на расстоянии i в Γ для любого i = 0, ..., d. Заметим, что для дистанционно регулярного графа b0 — это степень графа, c1 = 1. Для подмножества X автоморфизмов графа Γ через Fix(X) обозначается подграф, индуцированный на множестве всех вершин графа Γ, неподвижных относительно любого автоморфизма из X. Для изучения возможных порядков и подграфов неподвижных точек автоморфизмов дистанционно регулярных графов Г. Хигмен предложил оригинальный метод, использующий теорию характеров конечных групп. Этот метод изложен в монографии П. Камерона [1], причем он применялся только к изучению инволютивных авто1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-01-00009) и РФФИ-БРФФИ (грант 08-01-90006). Алгебра и топология 7 морфизмов сильно регулярного графа с параметрами (3250,57,0,1). Позднее, в работах [2], [3] изучались автоморфизмы сильно регулярных графов с малыми числами пересечений. В данной работе исследуются автоморфизмы дистанционно регулярных графов с массивом пересечений {q(q 3 + 1), q 4 , q 4 ; 1, 1, (q 3 + 1)} на (q 3 + 1)(q 2 + q + 1)(q 4 − q 2 + 1) вершинах. Этот граф имеет собственные значения {q(q 3 + 1), q 2 + q − 1, −(q 2 − q + 1), −(q 3 + 1)} кратностей {1, 12 q 3 (q 3 + 1)2 , 21 q 3 (q + 1)2 (q 4 − q 2 + 1), q 5 − q 3 + q} соответственно, является точечным графом обобщенного шестиугольника GH(q, q 3 ) (см. [4]) и не содержит n-циклов для 4 ≤ n ≤ 5. Известно, что существует единственный обобщенный шестиугольник порядка (2, 8) (с группой автоморфизмов 3 D4 (2)). В работе изучаются автоморфизмы обобщенного шестиугольника GH(3, 27). Теорема. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {84, 81, 81; 1, 1, 28}, G = Aut(Γ), g — элемент из G простого порядка p и Ω = Fix(g). Тогда верно одно из утверждений: (1) p = 7, 13 или 73 и Ω — пустой граф; (2) p = 7 и Ω состоит из 7ω вершин, попарно находящихся на расстоянии 3 в Γ; (3) p = 13 и Ω является точечным графом обобщенного шестиугольника GH(3, 1); (4) p = 3, |Ω| сравнимо с 1 по модулю 3 и либо (i) Ω является 1-кликой или 4-кликой, либо (ii) Ω содержится в a⊥ для некоторой вершины a, либо (iii) Ω — точечный граф обобщенного шестиугольника GH(3,3), либо (iv) в Ω найдется такая 4-клика L, что Ω содержится в объединении шаров радиуса 1 с центрами в L; (5) p = 2, |Ω| четно и либо (i) Ω является 54m + 28-кокликой, где 0 ≤ m ≤ 5, либо (ii) Ω является точечным графом обобщенного шестиугольника GH(1, 9), либо 8 Труды 40 Молодежной школы-конференции (iii) Ω является точечным графом обобщенного шестиугольника GH(3, 3), либо (iv) |Ω| = 116, Ω содержит четыре вершины степени 28 и двадцать восемь 4-клик, вершины которых имеют степень 4 в Ω. Следствие. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {84, 81, 81; 1, 1, 28} и группа G = Aut(Γ) действует транзитивно на множестве вершин графа Γ. Тогда Γ — точечный граф классического обобщенного шестиугольника группы Стейнберга 3 D4 (3). Приведем две леммы, имеющие независимый интерес. Лемма 1. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {q(q 3 + 1), q 4 , q 4 ; 1, 1, (q 3 + 1)}. Если Γ содержит собственный подграф ∆, являющийся точечным графом обобщенного шестиугольника порядка (q, t), то t ≤ q. Доказательство. Пусть Γ содержит собственный подграф ∆, являющийся точечным графом обобщенного шестиугольника порядка (q, t). Тогда число вершин в ∆ равно v 0 = (q + 1)(q 2 t2 + qt + 1), степень графа ∆ равна k 0 = q(t + 1) и число ребер между ∆ и Γ − ∆ равно v 0 (k − k 0 ) = (q + 1)(q 2 t2 + qt + 1)q(q 3 − t). Так как каждая вершина из Γ − ∆ смежна не более чем с одной вершиной из ∆, то v = (q + 1)(q 8 + q 4 + 1) и не меньше v 0 + v 0 (k − k 0 ), поэтому t3 − q 3 t2 − q 2 t + q 5 = (t − q)(t + q)(t − q 3 ) ≥ 0. Отсюда t ≤ q. Лемма 2. Пусть Γ — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {q(q 3 + 1), q 4 , q 4 ; 1, 1, (q 3 + 1)}. Если g — автоморфизм простого порядка p и Ω = Fix(g) — непустой граф, то выполняются следующие утверждения: (1) если граф Ω не связен, то он является кокликой, и в случае p > q число p делит q 3 + 1; (2) если граф Ω связен и p > q, то он является точечным графом обобщенного шестиугольника порядка (q, t), и либо t = 1, либо число qt является квадратом, q ≤ t3 и t ≤ q. Доказательство. Допустим, что граф Ω не связен. Тогда вершины из разных компонент связности находятся на расстоянии 3 в Γ. Допустим, что a, b — смежные вершины из Ω, и выберем вершину c из Алгебра и топология 9 другой связной компоненты графа Ω. По определению обобщенного многоугольника клика a⊥ ∩ b⊥ содержит единственную вершину d, находящуюся на расстоянии 2 от c. Противоречие с тем, что d ∈ Ω. Значит, Ω — коклика. Если p > q, то с учетом равенства k = q(q 3 + 1) получим, что p делит q 3 + 1. Утверждение (1) доказано. Пусть граф Ω связен и p > q. Рассмотрим смежные вершины a, b. Тогда клика L = a⊥ ∩ b⊥ содержится в Ω. Далее, g действует на множестве из q 3 максимальных клик, отличных от L и лежащих в [b], и фиксирует еще одну клику L1 . Выбрав c ∈ L1 − {b} найдем еще одну максимальную клику L2 из [c], фиксируемую g. Покажем, что любые две вершины a, d ∈ Ω, находящиеся на расстоянии 3 в Γ имеют одинаковые степени в Ω. Ввиду связности Ω найдется вершина b ∈ Ω(a) ∩ Γ2 (d), клика a⊥ ∩ b⊥ содержится в Ω и содержит единственную вершину, находящуюся на расстоянии 2 от d. Далее, каждой вершине b ∈ Ω(a) ∩ Γ2 (d) отвечает единственна смежная с b вершина c из Ω(d) ∩ Γ2 (a) и клика c⊥ ∩ d⊥ из Ω. Так как µ = 1, то различным вершинам b, b0 из Ω(a) ∩ Γ2 (d) отвечают различные вершины c, c0 и |Ω(a)| = |Ω(d)|. Напомним, что p133 = q 8 (q − 1), поэтому для смежных вершин a, b из Ω найдется вершина d ∈ Ω, находящаяся на расстоянии 3 от a и от b. Отсюда Ω — регулярный граф. Теперь Ω — точечный граф почти 2d-угольник с d = 3, причем c2 (Ω) = 1. Поэтому Ω — точечный граф обобщенного шестиугольника порядка (q, t) и по теореме 6.5.1 из [4] либо t = 1, либо число qt является квадратом, q ≤ t3 и t < q 3 . По лемме 1 получим t ≤ q. Лемма доказана. Список литературы [1]. Cameron P. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts №45, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999. [2]. Махнев А.А., Падучих Д.В. Об автоморфизмах графа Ашбахера // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 2. С. 125–134. [3]. Махнев А.А., Носов В.В. Об автоморфизмах сильно регулярных графов с λ = 0, µ = 2 // Матем. сборник 2004. Т. 185, №3. С. 47–68. [4]. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1989.