Нормальное распределение Лекция 5 1

Лекция 5
Нормальное распределение
1
Развитие темы:
2 задачи:
1. Как найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу, например , ?
Решение подобных задач приводит к появлению функции Лапласа, и далее – к нормальному распределению Сегодня из мат.анализа нам потребуется интеграл Эйлера – Пуассона:
2
2. Очень часто событие бывает одно, а влечет за собой ущербов – 2, 3 и т.д. причем число событий есть одна случайная величина, а число ущербов – другая случайная величина, то есть величина, распределенная по совсем другому закону. Так получится сначала ГАММА‐РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, а затем и все остальные обобщенные распределения.
Начнем с первой задачи – вероятность попадания в интервал
А все прочие распределения введем на следующей лекции 6 октября
2
Понятие сложного (составного, compound) распределения
Нам уже знакомо показательное распределение:
,
при
0
0,
при
0
Случайной величиной в показательном распределении является время между двумя событиями потока. Сам же поток характеризуется только одним параметром –
интенсивностью потока . Мат.ожидание показательного распределения – это среднее время между двумя событиями потока. Однако интуитивно понятно, что интенсивность потока вовсе не обязана быть постоянной величиной. Скорее всего наоборот, интенсивность будет случайной величиной, имеющей собственное распределение с плотностью . В таком случае, пользуясь теоремой умножения, составное распределение следует записать в виде:
Теперь «смело» предположим, что :
1
и что
2 · В таком случае получим:
·
2
2
·
1
1
2
2
Это – т. н. вероятностная функция Лапласа, или, что то же – стандартное распределение
2 3
Стандартное распределение и его характеристики
Сначала проверим полученное (стандартное) распределение на условие нормировки:
1
Имеем:
2
1
. Следовательно, должно выполняться:
1. Проверяем:
1
2
1
2
1
2
Интеграл Эйлера ‐ Пуассона
2
1
2
2. Мат ожидание:
1
2
1
·
2
1
1
2
2
0
3. Дисперсия:
1
2
1
2
· 2
1
Стандартное распределение является частным случаем нормального и обозначается ,
4
Нормальное распределение
Исходная точка – стандартное распределение:
1
2
Рассмотрим случайную величину . Если она «нормальная», то должно выполняться:
̅ "шум"
Размах шума, т. е. случайного компонента, с одной стороны, должен быть пропорционален , а с другой – «фактору нормальности». Поэтому, по теореме умножения, следует записать: Шум
Следовательно, отдельное случайное значение равно:
Из этого немедленно следует, что
Отсюда, «экспоненциальная» часть нормального распределения равна:
Применим требование условия нормировки, получим:
1
2 Это и есть плотность нормального распределения, оно обозначается ,
Дальнейшие сюжеты:
а) центральная предельная теорема
б) вероятность попадания в интервал; в) вероятность заданного отклонения от среднего, и частоты от вероятности
а) Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема утверждает: случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному. Другими словами:
Вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем какое‐
либо заданное равна:
1
Φ
где
Φ
2
То есть: вероятностное уравнение
Φ
сводится к алгебраическому
Самый простой пример:
Средний размер убытка равен 1000, дисперсия равна 600. Какова вероятность того, что убыток не превысит 1100?
1100
1000
600
4,08248
Φ 4,08248
0,99998
6
б) Вероятность попадания в интервал
Теперь можно вернуться к исходной задаче:
Какова вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее к какому‐либо заданному интервалу, например , ?
Решение
Геометрическое представление искомой вероятности подсказывает, что ответом на поставленный вопрос будет:
1
2 , следовательно: Cделаем знакомую замену: . Обратим внимание, что изменились пределы интегрирования: теперь 1
2 Или компактно: и
|
|
Для дискретной ситуации (интегральная теорема гениального Лапласа):
7
Пример 1
Среднее время задержки рейса равно 10 минут, и еще плюс/минус 10 минут. Какова вероятность того, что самолет задержится более чем на 30 минут?
Решение:
30
Очевидно: Естественно,
∞
Ф
∞
10
10
Ф
30
10
10
НОРМ. СТ. РАСП ; истина
Ф
Поэтому:
Ф ∞
Ф
30
10
10
НОРМ. СТ. РАСП ∞; истина
Ф 2
НОРМ. СТ. РАСП 2; истина
30
1
0,97725
1
0,97725
,
8
Актуарные иллюстративные таблицы: Статистика, c. 39
1
2
Функция в Excel: НОРМ. СТ. РАСП 1,645; истина
НОРМ. СТ. ОБР 0,95
0,950015
1,644854
9
Пример 2
Вероятность появления события в единичном испытании равна 0,8. Проводится 100 испытаний. Какова вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз?
Решение:
Запишем интегральную теорему Лапласа: вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится от до раз, равна:
,
где:
|
||
Ф
Φ
1
2
Подставим имеющиеся значения:
75 100 · 0,8
Ф 1,25
1,25
100 · 0,8 · 0,2
90
100 · 0,8
100 · 0,8 · 0,2
2,5
75,90
Ф 2,5
0,99379
Φ
НОРМ. СТ. РАСП ; Истина
НОРМ. СТ. РАСП
1,25; ИСТИНА
НОРМ. СТ. РАСП 2,5; ИСТИНА
0,10565
0,10565
0,99379
,
10
Пример 3
Совокупный объем требования по некоторому виду страхования равна 600 000 рублей, а дисперсия размера требований равна 1 000 000. Размер сбора составил 700 000 рублей. Какова вероятность того, что собранных средств достаточно?
Решение:
Очевидно: 600000
700000 600000
1000
700000
600000 600000
1000
Поэтому:
Ф
30
10
10
Ф 600
НОРМ. СТ. РАСП ∞; ИСТИНА
1
Ф 2
НОРМ. СТ. РАСП 2; ИСТИНА
0,97725
30
1
0,97725
,
11
И еще одна вполне обычная задача – пример 4
Инвестор купил акцию А со средней доходностью 18% и стандартным отклонением доходности 25%. Предполагая, что доходность акции подчиняется нормальному распределению, определите, А) какова вероятность того, что эта инвестиция является убыточной?
Б) прибыльной?
Решение:
Очевидно: 18
25
0
0
1
0,201608
0,82
0,1
0,82
1
Ф 0,82
0,201608
0,793892
Желая иметь прибыль с вероятностью 95%, акции с каким уровнем доходности должен предпочитать наш инвестор?
Так мы подошли к обратной функции распределения НОРМ.СТ.ОБР
12
Актуарные иллюстративные таблицы: Понятие процентной точки
1
2
Функция в Excel: 1
НОРМ. СТ. РАСП 1,645; истина
НОРМ. СТ. ОБР 0,05
0,049985
1,644854
13
в) Вероятность заданного отклонения от среднего
Найдем вероятность того, случайная величина Х отклоняется от своего среднего значения на величину, меньшую, чем заданное 0
Решение
Ф
Запишем:
|
Итого:
2
2
Правило трех сигм Если положить 3 , то 3
2
3
2
3
2 · 0,4986
0,9973
«Три сигмы покрывают всю вероятностную массу значений случайной величины с гарантией 99%»
14
Вероятность отклонения мат.ожидания от среднего
Вероятность того, что в испытаниях абсолютная величина отклонения частоты от вероятности не превысит какого‐нибудь заранее заданного 0 равна:
̅
Из
̅
Ф
где
Получаем интервальную оценку мат.ожидания с уверенностью Ф
̅
̅
Пример: Стандартное отклонение известно и равно 5.Сколько нужно произвести испытаний , чтобы с уверенностью 95% утверждать, что мат.ожидание отклоняется от наблюдаемого среднего не более, чем на 1%?
Решение:
Исходное уравнение:
По условию
Ф
С другой стороны,
Откуда следует, что
0,95.
̅
0,01
Это означает, что
0,01
0,95
НОРМ. СТ. ОБР 0,95
5
0,01
Это означает, что 1,645
1,645
676506
15
Вероятность отклонения частоты от вероятности
Вероятность того, что в испытаниях абсолютная величина отклонения частоты от вероятности не превысит какого‐нибудь заранее заданного 0 равна:
Ф
где
Пример 1: Оцените вероятность того, в 625 испытаниях события А вероятности составит не более, чем 0,04 Решение:
По условию: 0,04;
0,8; 0,2. Это означает, что
и Ф
Ф 2,5
0,4938
0,8
0,04
Ф 2,5
0,8 , отклонение частоты от 0,04
625
0,8 · 0,2
Норм. ст. расп 2,5; ИСТИНА
2,5
0,9876
Пример 2: Вероятность события А равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9876, отклонение частоты от вероятности составило бы не более, чем 0,04? Решение:
Поскольку по условию Ф
Норм. ст. обр 0,9876
0,9876, то
2,5
0,04
0,8 · 0,2
0,244504
2,5
625
16
В следующий раз – 2 суперсюжета:
Все прочие распределения – гамма, бета, логнормальное, Парето и др.
и случаи их использования на практике
Постановка проблемы идентификации распределения и разработка подходов к ее решению
Контрольная работа по разделу I
ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Затем раздел II: ТЕОРИЯ РИСКА
Он же – Modern Risk Theory
Он же – Математическая теория банкротства
Он же – Теория финансовой устойчивости
Он же – Теория управления финансовой устойчивостью компании или, одним словом ‐ ???
100 очков
Увидимся через неделю )))
17