Методика расчета вертикальной составляющей коэффициента

Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
1
УДК 519.644
UDC 519.644
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЕРТИКАЛЬНОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА
ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ
A TECHNIQUE FOR COMPUTING OF THE
TURBULENT DIFFUSION COEFFICIENT
VERTICAL COMPONENT
Семенчин Евгений Андреевич
д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой
Semenchin Evgeny Andreyevich
Dr. Sci. (Phys.-Math.), professor, Head of department
Кузякина Марина Викторовна
аспирант
Кафедра высшей алгебры и геометрии, Кубанский
государственный университет, Краснодар, Россия
Kuzyakina Marina Viktorovna
postgraduate student
The higher algebra and geometry department , Kuban
State University, Krasnodar, Russia
Предложена методика расчета вертикальной
составляющей коэффициента турбулентной
диффузии в математической модели рассеяния
примеси в приземном слое атмосферы
The technique for computing of the turbulent diffusion
coefficient vertical component in the context of a
mathematical model of admixture dispersion in the
surface layer is proposed
Ключевые слова: ФИЛЬТРАЦИЯ,
КОНЦЕНТРАЦИЯ ПРИМЕСИ, ВЕРТИКАЛЬНАЯ
СОСТАВЛЯЮЩАЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ
Keywords: FILTRATION, ADMIXTURE
CONCENTRATION, THE TURBULENT
DIFFUSION COEFFICIENT VERTICAL
COMPONENT
Введение
В
настоящее
время
значительное
число
работ
посвящено
исследованию загрязнения атмосферы промышленными выбросами (см.
[1] и библиографию, приведенную в этой монографии). Эти исследования,
как правило, основаны на анализе математических моделей рассеяния
примесей в турбулентной атмосфере, в частности, полуэмпирического
уравнения турбулентной диффузии при заданных для его решения краевых
условиях. В рамках этих исследований большое прикладное значение
имеют исследования, посвященные анализу и решению обратных задач:
определить основные параметры атмосферной диффузии (фоновую
концентрацию, коэффициенты турбулентной диффузии и т.д.) по замерам
концентрации примеси в атмосфере [2]. В частности, задача определения
вертикальной составляющей коэффициента турбулентной диффузии по
указанным замерам, решению которой (с помощью метода стохастической
линейной фильтрации Калмана-Бьюси) посвящена данная работа.
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
2
1. Постановка задачи
Математическая модель, описывающая процесс рассеяния примеси в
приземном слое турбулентной атмосферы имеет вид [1]:
∂q
∂q
∂q ∂
∂q ∂
∂q ∂
∂q
+U
−w
=
Kx
+
Ky
+ Kz
+ f
∂t
∂x
∂z ∂x
∂x ∂y
∂y ∂z
∂z
,
t ∈ [0, T ] ,
(1)
q(0, x, y , z ) = 0 ,
{K z
(2)
∂q
+ wq} z = z0 = {Vs q} z = z 0
∂z
,
(3)
q(t , x, y , z ) → 0 , x 2 + y 2 + z 2 → ∞ , z ≥ 0 ,
где
q(t , x, y , z )
(4)
– средняя концентрация примеси в точке
E+3 = {( x, y , z ) : x, y ∈ ( −∞; ∞), z ≥ 0} ,
в
момент
времени
t;
Kx ,
( x, y , z ) ∈ E+3 ,
Ky ,
коэффициенты турбулентной диффузии соответственно вдоль осей
Oz ; U
– компонента средней скорости ветра вдоль оси
осаждения частиц примеси вдоль оси
Oz
Ox ; w
Kz
–
Ox , Oy ,
– скорость
на подстилающую поверхность;
z0
– коэффициент шероховатости подстилающей поверхности;
Vs
– соответственно фоновая концентрация, функция источника, скорость
ϕ ( x, y, z ) , f
,
сухого осаждения этой примеси.
Соотношения (1)–(4) определяют математическую модель процесса
рассеяния примеси в турбулентной атмосфере [3].
Цель данной работы – предложить метод определения коэффициента
турбулентной диффузии
концентрации
Kz
примеси
непрерывного действия
по экспериментально заданным значениям
q(t , x, y , z ) ,
Q (t )
мощности
точечного
и параметрам модели (1) – (4):
Необходимость вычисления значений
Kz
источника
U , w , Kx , Ky .
по другим заданным
значениям параметров математической модели (1) – (4) продиктована
большими
затруднениями,
возникающими
определении его значений [3, 4].
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
при
экспериментальном
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
2.
Методика
решения
3
задачи
определения
вертикальной
составляющей коэффициента турбулентной диффузии
Согласно [4] коэффициенты турбулентной диффузии
Kx , Ky
имеют
вид:
K x = K y = K 0U
Поэтому задача определения
U.
,
K 0 = const , U = U (t , z ) .
и
Kx
Ky
сводится к задаче определения
Последняя – не вызывает на практике больших затруднений, поскольку
современными техническими средствами легко определить изменения
времени
t
U от
и координаты z . Основная трудность заключается в нахождении
коэффициента
K z (t , z ) .
Пусть источник
f
в (1) является точечным с координатами
( x0 , y0 , H ) ,
т.е. [3]
f (t , x, y, z ) = Q(t )δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − H ) ,
где
δ ( s − s0 )
– дельта-функция Дирака,
Q (t )
– количество примеси,
выбрасываемой источником в момент времени t .
Согласно [4] коэффициент турбулентной диффузии
K z (t , z )
возрастает
в приземном слое атмосферы пропорционально высоте z :
K z = K1 (t ) z
где
K1 (t ) , t ∈ [0, T ] ,
,
(5)
– согласно поставленной задаче, неизвестная функция
подлежащая определению.
Из (5) и (1) следует, что
∂q
∂q
∂q ∂
∂q ∂
∂q
+U
− w − Kx
− Ky
− Q(t )
∂t
∂x
∂z ∂x
∂x ∂y
∂y
K1 (t ) =
.
∂q ∂ 2 q
+ 2
∂z ∂z
(6)
Таким образом для решения рассматриваемой обратной задачи
достаточно вычислить
∂q
∂t
,
∂q
∂x
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
,
∂q
∂z
,
∂ 2q
∂x 2
,
∂ 2q
∂y 2
и
∂ 2q
∂z 2
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
в заданных точках
( x, y , z )
4
в момент времени
t
и подставить эти значения в
правую часть (6).
Согласно [5] задача нахождения производной n -го порядка
функции
u (t )
(т.е.
z (t )
сводится к решению (относительно
z (t ) = u ( n ) (t ) )
интегрального уравнения первого рода. В частности, для
z (t ) =
z (t ) )
∂u (t )
∂t
имеем
уравнение
t
∫ z (τ ) dτ = u (t ) − u (0) ,
(7)
0
для
z (t ) =
∂ 2 u (t )
∂t 2
- уравнение
∂u (t ) 
 .
 ∂t  t = 0

∫ (t − τ ) ⋅ z (τ )dτ = u (t ) − u (0) − t 
t
0
Предполагаем, что
u (0) ,
∂u (0)
∂t
(8)
- заданные величины.
Обозначим
R x (t , x, y, z ) =
Rxx (t , x, y , z ) =
∂q (t , x, y, z )
, Rz (t , x, y, z ) = ∂q (t , x, y, z ) , Rt (t , x, y , z ) = ∂q(t , x, y, z )
∂x
∂z
∂t
∂ 2 q (t , x, y, z )
∂x 2
,
R yy (t , x, y, z ) =
,
∂ 2 q (t , x , y , z )
∂ 2 q(t , x, y , z )
(
)
.
,
R
t
x
y
z
=
,
,
,
zz
∂z 2
∂y 2
Тогда (см. (7),(8)) для определения, например,
Rz (t , x, y , z )
и
Rzz (t , x, y, z )
будем
иметь интегральные уравнения:
z
q(t , x, y , z ) − q(t , x, y,0) = ∫ Rz (t , x, y ,τ ) dτ .
(9)
0
z
[
]
q(t , x, y , z ) − q(t , x, y ,0) = ∫ ( z − τ ) ⋅ Rzz (t , x, y ,τ ) dτ + z ⋅ Rz (t , x, y ,0) .
0
(10)
Соотношения (9) и (10) представляют собой интегральные уравнения
первого рода относительно неизвестных функций
Rz
и
Rzz соответственно.
Задача построения решения таких уравнений является некорректно
поставленной [4].
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
5
При решении этой задачи перейдем от (9), (10) к их дискретным
аналогам [3]:
p
[
q (t , x, y , z ) − q (t , x, y,0) = ∑ Rz (t , x, y , zk ) ⋅ rk
k =1
p
],
[
q (t , x, y , z ) − q (t , x, y,0) − z ⋅ Rz (t , x, y,0) = ∑ ( z p − zk ) Rzz (t , x, y , zk ) ⋅ rk
k =1
z1 ,..., z p
(11)
],
- точки деления интервала [0, z ] ,
 z2 − z1
 2 , k = 1,

z − z
rk =  k +1 k −1 , k = 2,.., ( p − 1),
2

 z p − z p −1
, k = p.


2
Согласно (11), (12) по значениям
точке
(12)
( x, y , z )
(13)
q(t1 , x, y , z ) ,…, q(t N , x, y, z ) ,
в различные моменты времени
t1 ,..., t N ∈ [0, s ]
измерения соответственно ν1 = ν~(t1 ) , ν 2 = ν~ (t2 ) , …, ν N
= ν~ (t N ) (ν~ (t )
заданным в
с ошибками
– случайный
процесс типа белого гауссова шума), требуется найти (восстановить)
значения
Rz (t1 , x, y , zk ) ,…,
соответственно,
Rz (t N , x, y, z k )
и Rzz (t1, x, y, zk ) ,…,
Rzz (t N , x, y , zk )
k = 1,..., p .
Введем в рассмотрение матрицу
A = ( Aik ) ,
все столбцы которой
одинаковы, для решения уравнения (11) матрица A имеет вид:
Aik = rk , k = 1,..., p , i = 1,..., N ,
для решения уравнения (12) - вид:
Aik = ( z p − zk ) ⋅ rk , k = 1,..., p , i = 1,..., N .
С учетом введенных выше обозначений и замечаний из (11) получим
следующую систему линейных алгебраических уравнений:
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
[
]
[
]
6
p
 ∑ A1k ⋅ Rz (t1 , x, y , zk ) + ν 1 = q(t1 , x, y , z ) − q(t1 , x, y ,0),
k =1
p
 ∑ A2 k ⋅ Rz (t2 , x, y , zk ) + ν 2 = q(t2 , x, y , z ) − q(t2 , x, y,0),
k =1
 ..............................................................

p
 ∑ ANk ⋅ Rz (t N , x, y, zk ) + ν N = q (t N , x, y , z ) − q (t N , x, y ,0),
k =1
[
(14)
]
из которой надо определить
Rz (t , x, y, zk ) .
Из (12) получим соответствующую систему линейных алгебраических
уравнений:
[
]
[
]
p
 ∑ A1k ⋅ Rzz (t1 , x, y, zk ) + ν1 = q (t1 , x, y, z ) − q(t1 , x, y,0) − z ⋅ Rz (t1 , x, y,0),
k =1
p
 ∑ A2 k ⋅ Rzz (t2 , x, y , zk ) + ν 2 = q(t2 , x, y, z ) − q(t2 , x, y,0) − z ⋅ Rz (t2 , x, y ,0),
k =1
 ..............................................................

p
 ∑ ANk ⋅ Rzz (t N , x, y, zk ) + ν N = q (t N , x, y, z ) − q (t N , x, y,0) − z ⋅ Rz (t N , x, y ,0),
k =1
[
(15)
]
из которой надо определить
Rzz (t , x, y, zk ) .
Систему (14), (15) представим в матричном виде:
где
(
ARz +ν~ = q ,
(16)
)
ARzz +ν~ = q ,
(17)
(
q (ti , x, y , zk ) = q (ti , x, y, zk ) − q(ti , x, y ,0) ,
)
q (ti , x, y , z k ) = q(ti , x, y , z k ) − q (ti , x, y,0) − z ⋅ Rz (ti , x, y,0) , i = (1,2,..., N ) , k = (1,2,..., p) .
Для подавления влияния значений белого шума
Rz (tk , x, y , z p )
и
Rzz (tk , x, y, z p ) , k = 1,..., N ,
ν~ (t )
на значения
можно использовать многошаговый
(многократный) фильтр Калмана-Бьюси [6].
Для этого задаем начальные приближения для решения
и матрицы ковариаций ошибок решения
P (0 ) .
Rz( 0) = Rz (0, x, y, z )
Для их выбора удобно
использовать метод регуляризации Тихонова [4], согласно которому
(
Rz( 0 ) = αE + AT A
)
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
−1 T
(
A q , P ( 0) = δ 2 α E + AT A
)
−1
,
(18)
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
где
– единичная матрица,
E
α >0
7
– параметр регуляризации, играющий
роль неопределенного множителя Лагранжа, δ ≥ 0 – верхняя оценка
значения погрешности правой части (16).
Последующие приближения
Rz(l )
решения
Rz
системы (14) могут быть
найдены по следующей итерационной схеме [6]:
(
(l )
( l −1)  ( l −1)
Rzz
= R zz
+ P

(
P (l ) =  P (l −1)

) + (A ) (N ( ) )
−1
) + (A ) N
−1
l −1
(l ) T
(l ) T
(l )
A(l ) 

A(l ) 

−1
,
−1
(A ) (N ( ) ) (q
l −1
(l ) T
(l )
( l −1)
− AR zz
( )
матрицы ковариаций ошибок решения
P (0 ) .
использовать соотношения (18), подставив в них
(l )
Rzz
(19)
T
N (l ) = M [ν~ (l ) ν~ (l ) ] , l = 1,2,..., L .
Зададим начальные приближения для решения
Последующие приближения
),
решения
Rzz
(20)
( 0)
Rzz
= Rzz (0, x, y , z )
и
Для их выбора удобно
( 0)
Rzz
вместо
Rz( 0 ) .
системы (15) могут быть
найдены по итерационной схеме (19)-(20) путем замены
(l )
Rzz
на
Rz(l ) .
На практике можно столкнуться с ситуацией, когда обратные матрицы
в
соотношениях
найти
(18)-(20)
невозможно
(определить)
(рассматриваемые матрицы могут быть вырожденными). В этом случае
вместо обратных матриц следует использовать в (18)-20) псевдообратные,
воспользовавшись
методом
Гревилля
построения
псевдообратной
матрицы [7].
Соотношения (18)-(20) позволяют найти значения величины
оценку
Rzz
R z(L ) для R z
Rt(L) , Rx(L )
с заданной погрешностью
ε >0.
Rxx , R yy , Rt
,
–
Способ нахождения оценки
также подробно описан. Аналогично определяются
соответственно для
(L )
Rzz
(L )
)
Rxx
, R (L
yy ,
Rx .
Подставляя найденные оценки в (7), получим наилучшую в среднем
)
квадратическом смысле оценку K1 (tk ) значения
K1(tk ) =
Rt( L) +
K1 (tk ) :
∂U ( L ) ∂w ( L )
( L ) ∂K x
⋅ Rx −
⋅ Rz − K x ⋅ Rxx
−
⋅ Rx( L)
∂x
∂z
∂x
+
( L)
Rz( L) + Rzz
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
+
( L)
− K y ⋅ R yy
−
8
∂Ky ( L )
( L ) ∂K z
⋅ R y − K z ⋅ Rzz
−
⋅ Rz( L) − Q(tk )
∂y
∂z
, k = 1,..., N .
( L)
( L)
Rz + Rzz
(20)
3. Пример
Для проверки качества работы алгоритма по указанной методике,
воспользуемся экспериментальными данными, взятыми из отчетов Центра
лабораторного
анализа
и
технических
измерений
по
Южному
Федеральному округу (ЦЛАТИ по ЮФО) и содержащими информацию о
выбросах
Q=
t
t +1
в
(кг/с),
w = 0,01 (м/с).С
атмосферу
диоксида
H = 20 м, U = 0,5 ln z (м/с),
азота.
Согласно
K x = K y = K 0U м2/c,
этим
данным:
K 0 = 0,25 м,
t0 = 0 с,
помощью (20) найдены наилучшие в среднем квадратическом
смысле оценки значения вертикальные составляющие коэффициента
турбулентной диффузии на промежутке времени t ∈ [0;55] (вычисления
проводились в пакете прикладных программ MatLab). Графическая
визуализация результатов проведенных расчетов приведена на рисунке 1.
Рисунок
1
–
экспериментальной
Графическое
и
изображение
расчетной
коэффициента турбулентной диффузии.
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf
совпадения
вертикальной
значений
составляющей
Научный журнал КубГАУ, №62(08), 2010 года
9
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алоян А.Е. Моделирование динамики и кинетики газовых примесей и аэрозолей в
атмосфере. - М.: Наука, 2008. - 415 с.
2. Семенчин Е.А., Кармазин В.Н., Калина Н.Н. О разрешимости некоторых обратных
задач для уравнения атмосферной диффузии. Экологический вестник научных
центров Черноморского экологического сотрудничества, №4, 2005. – С. 47-51
3. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели
атмосферной диффузии. Ставрополь: СКИУУ, 1993. – 141 с.
4. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения
атмосферы. – Л.: Гидрометеоиздат, 1975. – 448 с.
5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1979. – 142 с.
6. Сизиков В.С. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное
пособие – СПб: Изд-во «СпецЛит», 1999. – 240 с.
7. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц. – Москва: изд-во "Физматлит", 2004. – 576 с.
http://ej.kubagro.ru/2010/08/pdf/22.pdf