Лекция 5

Лекция 5
Тема
Непрерывные случайные величины (НСВ)
Содержание темы
Способы задания: интегральный закон распределения, плотность
распределения. Связь между ними.
Свойства плотности распределения. Применение формулы
Ньютона–Лейбница для вычисления вероятностей.
Мода и медиана непрерывной случайной величины.
Характеристики непрерывной случайной величины.
Основные категории
функция распределения НСВ (интегральный закон),
плотность распределения НСВ,
мода и медиана НСВ,
математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное
отклонение НСВ.
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Интегральный закон распределения
Для непрерывных СВ записать таблицу ряда распределения
невозможно (т.к. число значений бесконечно), поэтому
для характеристики используют не вероятность отдельных
значений P ({X = xi }), а функцию распределения F (x) =
P ({X < x}), определенную для всех вещественных чисел
x ∈ R.
Определение. Интегральным законом распределения
непрерывной случайной величины называется ее функция
распределения F (x), x ∈ R.
Договоренность. Будем рассматривать только такие (важные
для приложений) непрерывные случайные величины, у которых
функция распределения F (x) является непрерывной и
дифференцируемой почти во всех точках (то есть имеет
производную, за исключением, быть может, конечного числа
точек).
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Свойства интегрального закона
К общим свойствам функции распределения прибавляются
требования непрерывности и существования производной:
1) 0 6 F (x) 6 1;
2) F (x) — дифференцируемая почти во всех точках
функция и непрерывная во всех точках;
3) F (x) — неубывающая функция, значит, F 0 (x) > 0;
4) lim F (x) = 1, lim F (x) = 0 (горизонтальные асимптоты
x→+∞
x→−∞
графика);
5) P {a 6 X < b} = F (b) − F (a).
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Важное замечание
Из свойств (2) и (5) следует, что вероятность любого
отдельно взятого значения равна нулю (докажите, исходя из
определения непрерывной функции):
P ({X = a}) = 0
∀a ∈ R
Поэтому неважно, какое неравенство (строгое или нестрогое)
взять в определении функции F (x):
F (x) = P ({X < x}) = P ({X 6 x}).
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Пример. Стрельба по круглой мишени
Учитываемый результат X – расстояние от точки попадания
до центра мишени. Очевидно, что любое расстояние
неотрицательно по определению: X > 0. Если радиус мишени
равен R, то попадание на границу и за нее очков не приносит,
поэтому для попадания за пределы мишени считаем X = R.
1) Схематично построить график функции распределения.
2) Концентрическими окружностями мишень разбита на десять
полос (центральная – просто круг, то есть «полоса» от r = 0
до r = R/10). Как вычислить вероятность попадания в полосу?
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Плотность распределения НСВ
Определение. Плотностью распределения f (x) непрерывной
случайной величины называется производная от ее функции
распределения f (x) = F 0 (x).
Иногда плотность распределения называют дифференциальной
функцией распределения.
Таким образом, связь между функцией распределения F (x) и
плотностью распределения f (x) выражается формулами
Rx
f (x) = F 0 (x),
F (x) =
f (t)dt.
−∞
Свойства плотности распределения:
1) f (x) > 0;
2)
+∞
R
f (t)dt = 1.
−∞
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Связь с формулой Ньютона–Лейбница
Теорема. Вероятность того, что значение непрерывной
случайной величины X попадет в интервал (a, b), вычисляется
по формуле
P ({a < X < b}) = F (b) − F (a) =
Rb
f (t)dt.
a
Геометрический смысл. Вероятность того, что значение
непрерывной случайной величины X попадет в интервал (a, b),
есть площадь фигуры, ограниченной графиком плотности
распределения f (x) над отрезком [a, b].
Здесь
необходимо
вспомнить
определение
и
свойства
определенного интеграла!
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Мода и медиана
Определение. Модой M o(X) непрерывной случайной
величины X называется точка x, в которой плотность f (x)
достигает своего максимума.
Определение. Медианой M e(X) непрерывной случайной
величины X называется такое значение случайной величины,
что P ({X < M e(X)}) = P ({X > M e(X)}), то есть такое
значение аргумента, которое делит площадь фигуры под
графиком плотности пополам.
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Математическое ожидание НСВ
Определение. Пусть задана HСВ X с плотностью
распределения
f (x).
Ее
математическим
ожиданием
называется число M (X), вычисляемое по формуле
M (X) =
+∞
R
xf (x)dx.
−∞
Свойства M (X): Математическое ожидание НСВ обладает
теми же свойствами (1) — (4), которые перечислены для ДСВ:
1) M (C) = C,
C = const;
2) M (C · X) = C · M (X),
C = const;
3) M (X + Y ) = M (X) + M (Y );
4) если X, Y независимы, то есть независимы все события вида
{X 6 x}, {Y 6 y}, то M (X · Y ) = M (X) · M (Y ).
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение НСВ
Определение. Пусть задана HСВ X с плотностью
распределения f (x). Ее дисперсией называется число
D(X), вычисляемое по формуле
D(X) = M (X − M (X))2 =
+∞
R
(x − M (X))2 f (x)dx.
−∞
Свойства D(X): Дисперсия НСВ обладает теми же свойствами
(1) — (5), которые перечислены для ДСВ (запишите эти
свойства самостоятельно).
Определение. Пусть задана HСВ X с плотностью
распределения f (x). Ее среднеквадратичным отклонением
называется число σ(X), равное корню квадратному из
дисперсии:
p
σ(X) = D(X).
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Контрольные вопросы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Что называется интегральным законом распределения
непрерывной случайной величины? Какое свойство этого
закона предполагается дополнительно?
Пять основных свойств функции распределения НСВ.
Почему вероятность одного отдельно взятого значения
НСВ равна нулю?
Определение плотности распределения НСВ.
Связь между функцией распределения и плотностью
распределения НСВ. Два свойства плотности.
Вероятность попадания в интервал. Связь с формулой
Ньютона–Лейбница. Геометрический смысл.
Мода и медиана НСВ.
Математическое ожидание НСВ и его свойства.
Дисперсия НСВ и ее свойства. Среднеквадратичное
отклонение.
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Тема
Важнейшие законы распределения
Содержание темы
Биномиальный закон распределения.
Основные характеристики.
Пуассоновский закон распределения.
Основные характеристики.
Равномерный закон распределения.
Основные характеристики.
Нормальный (гауссовский) закон распределения.
Основные характеристики.
Правило «трех сигм».
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Биномиальный закон
Биномиальная ДСВ X выражает число успехов в n независимых
испытаниях с вероятностью успеха в каждом, равной p (схема
Бернулли).
Для краткости обозначим вероятность неудачи через q = 1 − p. Ряд
распределения биномиальной ДСВ и ее характеристики
P ({X = k}) = Pn (k) = Cnk pk q n−k ,
M (X) = np,
0.12
D(X) = npq,
k = 0, 1, ..., n;
√
σ(X) = npq.
p0.3, n40
0.10
0.08
0.06
График вероятностей для количества
успехов в 40 испытаниях при p = 0.3
0.04
0.02
10
20
30
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Закон Пуассона
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую
собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии,
что данные события происходят с некоторой фиксированной средней
интенсивностью λ и независимо друг от друга. Количество возможных
значений бесконечно, но счетно!
Ряд распределения пуассоновской ДСВ X и ее характеристики
k
P ({X = k}) = e−λ λk! ,
k = 0, 1, ..., n;
√
D(X) = λ,
σ(X) = λ.
M (X) = λ,
Λ5, 10, 20
0.15
0.10
0.05
Графики вероятностей числа событий для
различных значений λ
5
10
15
20
25
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Равномерное распределение
НСВ X принимает значения на заданном отрезке [a, b] таким образом, что
вероятность попасть в любой интервал внутри отрезка пропорциональна
длине интервала. Плотность распределения и функция распределения

(
0,
x<a

1
 x−
a
, x ∈ [a, b]
, x ∈ [a, b]
f (x) =
; F (x) =
b−a

 b−a
0,
x∈
/ [a, b]
1,
x>b
M (X) =
a+b
,
2
D(X) =
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
(a − b)2
,
12
σ(X) =
ТВ и МС. Лекция 5
a−b
√ .
2 3
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Наиболее важно в приложениях. Главная особенность нормального закона
— он является предельным законом, к которому приближаются другие
законы распределения при определенных условиях, часто встречающихся
на практике.
Плотность распределения нормальной случайной величины с параметрами
µ, σ:
(x − µ)2
−
1
2σ 2 .
f (x) = √ e
σ 2π
M (X) = µ,
D(X) = σ 2 ,
σ(X) = σ.
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Правило «трех сигм»
99,73% значений нормальной случайной величины попадают в
интервал µ ± 3σ:
P ({|X − µ| > 3σ} < 0.003.
95,45% значений нормальной случайной величины попадают в
интервал µ ± 2σ:
P ({|X − µ| > 2σ} < 0.05.
68,27% значений нормальной случайной величины попадают в
интервал µ ± σ:
P ({|X − µ| > σ} < 0.32.
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Контрольные вопросы
1
Определение биномиального закона распределения. Ряд
распределения и основные характеристики.
2
Определение закона распределения Пуассона.
распределения и основные характеристики.
3
Определение равномерного закона распределения.
Формулы плотности и функции распределения, их
графики. Основные характеристики.
4
Определение нормального закона распределения (закона
Гаусса). Формула плотности распределения и ее график.
Основные характеристики.
5
Правило «трех сигм».
М.П. Харламов http://inter.vags.ru/hmp
ТВ и МС. Лекция 5
Ряд