ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция №3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд №1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: J= Z b a y(x)dx. 1. Аппроксимация рядом Тейлора. 2. Построение квадратурных формул: (a) Формулы Ньютона – Котеса. (b) Метод Чебышева. (c) Метод Лежандра – Гаусса. 3. Метод Монте-Карло. Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой y(x) между прямыми x = a и x = b. В пунктах 1 и 2 для вычисления интеграла J интервал (a, b) разбивается на n маленьких подинтервалов размером h= b−a . n Как правило, n — достаточно велико (сотни, тысячи и т.п.). Длина интервалов h называется шагом интегрирования. Приближенно находится площадь каждой полоски si и найденные площади суммируются. В основе метода МК лежит статистический подход. В нулевом приближении аппроксимация рядом Тейлора и все квадратурные формулы тождественны и представляют собой метод прямоугольников. 1 Слайд №2: Метод прямоугольников. Суть метода. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной b−a . n h= В качестве приближенного значения площади каждой полоски принимается площадь прямоугольника, ширина которого равна h, а высота — значению функции y(x) на левом краю интервала. Локальная формула метода левых прямоугольников: s i ' yi h , где yi = y(xi ) . Общая формула метода левых прямоугольников: J= n−1 X i=0 yi h = (y0 + y1 + . . . + yn−1 ) h . Аналогично строятся формулы правых и центральных прямоугольников: si ' yi+1 h , si ' yi+1/2 h , J= n−1 X i=0 J= n X i=1 yi h = (y1 + y2 + . . . + yn ) h ; ³ ´ yi+1/2 h = y0.5 + y1.5 + . . . + yn−1/2 h , где yi+1/2 = y(xi + h/2) . Приведенные формулы представляют собой частные примеры квадратурных формул ∗ . Погрешность метода левых прямоугольников Локальная погрешность: ei ' h · (yi+1 − yi ) ' h · (yi + yi0 h − yi ) ∼ h2 . Общую погрешность получим, суммируя погрешности на каждом шаге, E ∼ n · ei ∼ b−a 2 h ∼h. h Таков же порядок погрешности (E ∼ h) и в методе правых прямоугольников, а вот в методе центральных прямоугольников E ∼ h2 . Недостатки метода: • Высокая погрешность; для достижения высокой точности расчета приходится сильно ”мельчить” шаг интегрирования, что приводит к сильному увеличению временных затрат. 2 Слайд №3: Аппроксимация рядом Тейлора. Суть метода. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h= b−a . n Если вы на i-ом шаге знаете и значение функции yi = y(xi ), и значение производной yi0 , то площадь i-ой полоски si ' Z xi+1 ³ xi ³ yi + yi0 (x − xi ) + O (x − xi )2 ´´ dx = yi h + ³ ´ yi0 2 h + O h3 . 2 Поскольку мы пренебрегли в итоге членами ∼ h3 , то погрешность расчета в этом случае будет E ∼ h2 . e i ∼ h3 , Это на порядок лучше метода левых (правых) прямоугольников. Дальнейшее увеличение точности достигается подключением старших производных. Так, используя вторую производную yi00 , получим y0 y 00 si = yi h + i h2 + i h3 + . . . . 2 6 Суммарная погрешность расчета при подключении второй производной E ∼ h3 . И т.д. (k) si = yi h + yi0 2 yi00 3 yi h + h + ... + hk+1 + O(hk+2 ) . 2 6 (k + 1)! Чем больше производных вы примете во внимание, тем большей точности вы сможете достичь. Если вы сможете определить весь ряд Тейлора для площади si , вы получите точное значение интеграла. Если же вы точно учли первые несколько слагаемых, то погрешность вашего расчета определяется первым из отброшенных (неучтенных) членов. Сравнение с приведенным выражением для si позволяет установить погрешность любого другого метода численного интегрирования. Недостатки метода: • Необходимость расчета производных интегрируемой функции. 3 Слайд №4: Построение формул Ньютона – Котеса. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h = (b − a)/n. Для приближенной оценки площади i-ой полоски si подинтегральная функция y(x) на интервале (xi , xi+1 ) аппроксимируется конечным полиномом степени m y(x) ' Pm (x) = yi + a1 (x − xi ) + a2 (x − xi )2 + . . . + am (x − xi )m . Для определения коэффициентов полинома ai интервал (xi , xi+1 ) дополнительно разбивается на m одинаковых подинтервалов: xi , xi +h/m, xi +2h/m, . . ., xi +h = xi+1 . Используя значения функции y(x) в узлах xi + jh/m (j = 1, . . . , m), составляется система уравнений h y(xi + h/m) = yi + a1 m + a2 ³ ´2 h + a3 m ³ ´2 a2 2h m ³ ´3 y(xi + 2h/m) = yi + a1 2h + + a3 m ... ... ... y(xi+1 ) = yi + a1 h + a2 h2 + a3 h3 + . . . h m ³ 2h m + ... , ´3 + ... , которая позволяет определить все коэффициенты ai . Далее непосредственно интегрируя полином Pm (x) нетрудно получить весовые коэффициенты квадратурной формулы ∗ для площади i-ой полоски si ' Z xi+1 xi Pm (x)dx = m X j=0 cj yj . Погрешность можно определить, сопоставляя результат с точным тейлоровским разложением. Но если подинтегральная функция y(x) представляет собой полином степени m, то квадратурная формула даст точное значение интеграла. Это позволяет сформулировать следующее условие для определения весовых коэффициентов cj : весовые коэффициенты квадратурной формулы определяются таким образом, что полученная в итоге формула точно интегрирует любой полином степени m. Данная задача однозначно решается для любых m. Ограничение полиномом нулевой степени (m = 0) приводит к методу прямоугольников, полином первой степени (m = 1) определяет метод трапеций, второй (m = 2) — метод парабол Симпсона, третьей (m = 3) — метод, называемый ”правилом трех восьмых”. 4 Слайд №5: Формулы Ньютона – Котеса: метод трапеций. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h= b−a . n В качестве площади i-ой полоски si принимается площадь трапеции, определяемой значениями подинтегральной функции y(x) на краях интервала (xi , xi+1 ). Локальная формула метода трапеций: si ' yi + yi+1 h. 2 Суммирование площадей всех трапеций дает общую формулу J' h (y0 + 2y1 + 2y2 + . . . + 2yn−1 + yn ) . 2 Эта формула является первой из формул Ньютона – Котеса. Погрешность метода трапеций. Аппроксимируем значение yi+1 в локальной формуле тейлоровским рядом в i-ой точке yi+1 = yi + yi0 h + yi00 2 h + ... . 2 Подставляя это, для площади si получаем si = yi h + yi0 2 yi00 3 h + h , 2 4 что до членов ∼ h2 совпадает со строгим тейлоровским разложением. Следовательно, погрешность в методе трапеций E ∼ h2 . e i ∼ h3 , По точности расчета метод трапеций эквивалентен методу центральных прямоугольников. Недостатки метода: • Высокая погрешность; для достижения высокой точности расчета приходится сильно ”мельчить” шаг интегрирования, что приводит к сильному увеличению временных затрат. 5 Слайд №6: Формулы Ньютона – Котеса: метод Симпсона. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h = (b − a)/n. Для приближенной оценки площади i-ой полоски si подинтегральная функция y(x) на интервале (xi , xi+1 ) аппроксимируется полиномом второй степени. Локальная формула метода Симпсона: si = Z xi+1 xi y(x)dx ' ´ h³ yi + 4yi+1/2 + yi+1 . 6 Общая формула метода Симпсона J= ´ h³ y0 + 4y0+1/2 + 2y1 + 4y1+1/2 + 2y2 + . . . + 4yn−1/2 + yn . 6 Формула Симпсона является второй из семейства формул Ньютона – Котеса. Погрешность формулы Симпсона. E ∼ h4 . Характерные свойства формулы Симпсона (ее незначительное усложнение по сравнению с методом трапеций или прямоугольников и, в то же время, значительное повышение точности расчета) делают формулу Симпсона самым распространенным методом численного интегрирования. 6 Слайд №7: Старшие формулы Ньютона – Котеса. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h = (b − a)/n. Для приближенной оценки площади i-ой полоски si подинтегральная функция y(x) на интервале (xi , xi+1 ) аппроксимируется полиномом степени m. Ограничение полиномом третьей степени (m = 3) дает третью формулу Ньютона – Котеса, называемую ”правилом трех восьмых”: 3 J = h(y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + 2y6 + 3y7 + . . . 8 + 3yn−4 + 2yn−3 + 3yn−2 + 3yn−1 + yn ) . Погрешность расчета по этой формуле оказывается такой же, как и по формуле Симпсона E3 ∼ h4 . Полином четвертой степени дает четвертую формулу Ньютона – Котеса J= 2 h(7y0 + 32y1 + 12y2 + 32y3 + 14y4 + 32y5 + 12y6 + . . . 45 + 14yn−4 + 32yn−3 + 12yn−2 + 32yn−1 + 7yn ) . Погрешность четвертой формулы E4 ∼ h6 . Все формулы Ньютона–Котеса являются квадратурными формулами∗ J= N X i=0 ci y(xi ) , узлы xi которых расположены эквидистантно, а свободными параметрами, за счет которых достигается точное интегрирование полинома m степени, являются весовые коэффициенты ci . В противоположность формулам Нюьютона – Котеса в методе Чебышева свободными параметрами являются узлы квадратурной формулы и общий весовой коэффициент, а в методе Лежандра – Гаусса (метод наивысшей алгебраической точности) — и узлы, и весовые коэффициенты. 7 Слайд №8: Метод Чебышева. Для численной оценки интеграла: Z b J = a y(x)dx , интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h = (b−a)/n. Для приближенной оценки площади i-ой полоски si строится квадратурная формула∗ (от интервала (xi , xi+1 ) удобно перейти к (−1, +1)) Z +1 si = −1 y(x)dx ' m X j=1 cj y(xj ) . в которой свободными параметрами являются координаты узлов xj и общий весовой множитель c1 = c2 = . . . = cm = c. Требуется, чтобы квадратурная формула точно интегрировала любой полином степени m: Z +1 −1 Qm (x)dx = m X j=1 cj Q(xj ) , Qm (x) = q0 +q1 x+q2 x2 +. . .+qm xm , для любых q1 , . . . , qm . Базис в пространстве полиномов степени m: x0 , x1 , x3 , . . ., xm . Нетрудно доказать, что к квадратурная формула точно интегрирует любой полином степени m тогда и только тогда, когда она точно интегрирует любой элемент базиса. Это дает для определения свободных параметров систему из m + 1 уравнения Z +1 −1 Z +1 −1 Z +1 −1 m X 0 x dx = j=1 x1 dx = m X j=1 xm dx = m X j=1 cj , cj x1j , → mc = 2 , → т.е. c = x 1 + x2 + . . . + xm = 0 , ........................... cj x m j , → 2 , m m m xm 1 + x2 + . . . + xm = 1 1 + (−1)m . c m+1 Последние m уравнений определяют координаты узлов xj . Для m = 2 : 1 x2 = −x1 = √ , 3 c=1. 1 2 c= . x3 = −x1 = √ , x2 = 0 , 3 2 И т.д. Координаты узлов всегда располагаются симметрично относительно нуля. Погрешность метода Чебышева. m-точечный метод Чебышева точно интегрирует полином степени m+1, и, следовательно, по точности является аналогом m-ой формулы Ньютона – Котеса (для четных m). Так, 2-х точечный метод Чебышева — аналог методу Симпсона. Недостатки метода: Для m = 3 : • Вещественные решения существуют только для n < 8 и n = 9. • При заметном усложнении по сравнению с формулами Ньютона–Котеса точность интегрирования не повысилась. 8 Слайд №9: Метод Лежандра – Гаусса. Для численной оценки интеграла: J = Z b a y(x)dx , интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной h = (b−a)/n. Для приближенной оценки площади i-ой полоски si строится квадратурная формула∗ (от интервала (xi , xi+1 ) удобно перейти к (−1, +1)) si = Z +1 −1 y(x)dx ' m X j=1 cj y(xj ) . в которой свободными параметрами являются координаты xj и весовые множители cj . Требуется, чтобы квадратурная формула точно интегрировала любой полином степени 2m − 1: Z +1 −1 Q(2m−1) (x)dx = m X j=1 Q(2m−1) (x) = q0 + q1 x + . . . + q(2m−1) x2m−1 . cj Q(2m−1) (xj ) , Произвольный полином Q2m−1 (x) всегда может быть представлен в виде Q2m−1 (x) = Q0m−1 (x)Pm (x) + Q00m−1 (x) , где Pm (x) — полином Лежандра∗ степени m. В качестве m узлов квадратурной формулы используются m действительных корней полинома Лежандра Pm (x). Используя известные свойства данных полиномов можно показать, что условие, определяющее квадратурную формулу, сводится к соотношению Z +1 −1 Q00m−1 (x)dx = m X j=1 cj Q00m−1 (xj ) , которое дает m уравнений (см. метод Чебышева) для определения m оставшихся неизвестных — весовых коэффициентов cj . Относительно весовых коэффициентов при заданных числах xi это — система линейных алгебраических уравнений, решение которой существует для любых m. При m = 2 : q x1,2 = ±1/ (3) , c 1 = c2 = 1 . В случае двух узлов методы Лежандра–Гаусса и Чебышева тождественны. При m = 3 : √ x1,3 = ± 0.6 , x2 = 0 , c1,3 = 5 , 9 c2 = 8 . 9 И т.д. Для m-точечного метода Гаусса: ci = 2 (1 − x2i ) [Pn0 (xi )]2 . Достоинства метода: • Точно проинтегрировать полином степени (2m − 1) — это максимум, чего можно достичь, используя информацию о m узлах подинтегральной функции. Поэтому метод Лежандра – Гаусса называют методом наивысшей алгебраической точности. 9 Слайд №10: Метод Монте-Карло. Требуется вычислить интеграл: J= Z b a y(x)dx . Пусть на интервале (a, b) задана последовательность случайных чисел {xi } с законом распределения вероятностей f (x). Если подвергнуть эту последовательность функциональной обработке yi = y(xi ) , то математическое ожидание величины y дается соотношениями Z b My = a y(x)f (x)dx Z b n 1X yi . = n i=1 f (x)dx a Чтобы получить исходный интеграл, достаточно рассмотреть математическое ожидание величины y/f Z b My/f = Z ab a y(x)dx f (x)dx = n 1X yi . n i=1 f (xi ) В простейшем случае используется равномерный закон распределения f (x) = const, и функция распределения нормируется на единицу Z b a Это дает J= Z b a f (x) = 1 . y(x)dx = n b−aX y(xi ) . n i=1 Погрешность определяется объемом выборки {xi } и согласно статистическому анализу 1 E∼√ . n Достоинства метода: • Возможность остановить вычисления при любом значении n. Оказывается предпочтительным перед другими методами при вычислении многократных интегралов, особенно при наличии сложной области интегрирования. Недостатки метода: • Крайне низкая скорость уменьшения погрешности. 10 Слайд №11: Экстраполяционный переход к пределу. Численно оценивается интеграл: J= Z b a y(x)dx. Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длинойZ h = (b − a)/n (h — шаг интегрирования). Затем приближенно находятся площади весь интеграл определяется суммированием J= n−1 X i=0 si . si = xi+1 xi y(x)dx , и Расчетное значение интеграла при этом оказывается функцией шага интегрирования: J = J(h). Чем меньше h, тем ближе расчетное значение J(h) к точному значению интеграла. Для более точной оценки интеграла строят зависимость J(h), и аппроксимируют ее полиномом J = J0 + J1 h + J2 h2 + J3 h3 + . . . . Нулевой член J0 этого разложения — асмптотическое значение интеграла J при h → 0. Данный метод позволяет увеличить на порядок точность расчета, т.е. если метод численного интегрирования, использованный для построения J(h), обладает погрешностью E ∼ hn , то асимптотическое значение J0 определяет интеграл с погрешностью ∼ hn+1 . Для метода прямоугольников E ∼ h, и зависимость J(h) при малых h хорошо аппроксимируется линейной зависимостью. Для метода трапеций (и центральных прямоугольников) E ∼ h2 , и в разложении J(h) первый коэффициент J1 необходимо приравнять нулю. Для метода Сипсона разложение J(h) должно начинаться с члена пропорционального четвертой степени h: J = J0 + J4 h4 + J5 h5 + . . . . Иногда ввиду сложности интеграла, например, двойные, тройные интегралы, сложно определить заранее характер зависимости погрешности E от величины шага интегрирования h. Тогда для экстраполяционного перехода предварительно требуется провести 4—5 расчетов при разных шагах интегрирования и определить зависимость E(h), или, что то же самое, зависимость J(h). 11 Слайд №12: Методы интегрирования несобственных интегралов. Z ∞ y(x)dx. Пусть одним из пределов интегрирования является ±∞. Например: J = a Аналитическое интегрирование ”хвоста”. Требуется определить асимптотическое поведение функции y(x) при x → ∞. Часто оказывается, что асимптотика функции y(x) (обозначим ее φ(x)) является легко интегрируемой. Тогда исходный интеграл записывают в виде J= Z b a y(x)dx + Z ∞ b φ(x)dx , где b — значение x, при котором погрешность замены исходной функции y(x) ее асимптотическим пределом φ(x) пренебрежима мала. Первый интеграл считают известными методами (Ньютона–Котеса, Гаусса–Лежандра, и т.д.), а второй вычисляют аналитически. Недостатки метода: • Бывают ситуации, когда невозможно представить асимптотическое поведение подинтегрального выражения какой-нибудь простой легко интегрируемой функцией. НаZ ∞ 1 −x2 e dx таким методом не рассчитать. пример, интеграл x a Замена переменной. От ±∞ в пределе интегрирования избавляются, переходя к новой переменной t, такой чтобы при x → ∞, t(x) → const. Например: J= Вводим t = 1/x: Z ∞ a 1 −x2 dx . e x Z 1/a 1 −1/t2 dt . e t 0 Этот интеграл уже не представляет проблем. J= Недостатки метода: • Требуемая замена переменной может слишком усложнить поведение подинтегральной функции на одном из пределов интегрирования. Например, замена t = 1/x в интеграле: Z ∞ Z 1/a dx dt √ √ . приводит к неаналитичности в точке t = 0 : a 0 1 + x3 t4 + t Экстраполяционный переход к пределу. Интегрирование обрывается на некотором значении x = b, и анализируется зависимость величины интеграла J от обратного значения b : J = J(1/b). Экстраполяция функции J(1/b) в точку 1/b = 0 дает требуемое значение интеграла. Недостатки метода: • Зависимость J(1/b) может оказаться неаналитичной в точке 1/b = 0. Например, q J(1/b) = J0 + ξ 1/b + . . . . 12 Слайд №13: Вычисление интегралов в нерегулярных случаях. Нередко приходится вычислять интегралы от функций, имеющих те или иные особенности. Например, функция y(x) = x1/2 exp(−x2 ) интегрируема на участке x ∈ (0, a), но в точке x = 0 она расходится. Для вычисления подобных интегралов применение стандартных квадратурных формул∗ неэффективно. Методы: 1. Переход к обратной зависимости x(y) — сведение к интегралу с бесконечным пределом. 2. Аналатическое интегрирование ”хвоста”. 3. Выделение особенности: весовая функция, аддитивное выделение особенности. Переход к обратной зависимости. Если не составляет проблем определение обратной функции x = x(y), то искомый интеграл может быть расчитан следующим образом: J= Z a 0 y(x)dx = y(a) · a + Z ∞ y(a) x(y)dy . Недостатки метода: • Необходимость обращения функции. • Численное вычисление несобственного интеграла. Аналатическое интегрирование ”хвоста”. Требуется определить асимптотическое поведение функции y(x) в точке неаналитичности (при x → 0). Часто оказывается, что асимптотика функции y(x) (обозначим ее φ(x)) является легко интегрируемой. Тогда исходный интеграл записывают в виде J= Z α 0 φ(x)dx + Z a α y(x)dx , α — значение x, при котором погрешность замены исходной функции y(x) ее асимптотическим пределом пренебрежима мала. Второй интеграл считают известными методами (Ньютона–Котеса, Гаусса–Лежандра, и т.д.), а первый вычисляют аналитически. Недостатки метода: • Бывают ситуации, когда невозможно представить асимптотическое поведение подинтегрального выражения какой-нибудь простой легко интегрируемой функцией. НаZ a пример, интеграл (ln(x))−1 dx (0 < a < 1) таким методом не рассчитать. 0 13 Слайд №14: Выделение особенности: весовая функция. Нередко приходится вычислять интегралы от функций, имеющих те или иные особенности. Например, функция y(x) = x−1/2 exp(−x2 ) интегрируема на участке x ∈ (0, a), но в точке x = 0 она расходится. Для численного расчета таких интегралов подинтегральную функцию раскладывают на два сомножителя : y(x) = ρ(x)f (x), где ρ(x) — весовая функция. Искомый интеграл представляется в виде J= Z b a ρ(x)f (x)dx . Весовая функция должна выбираться так, чтобы она была интегрируема аналитически и содержала всю особенность исходной функции. В приведенном примере в качестве весовой функции разумно взять ρ(x) = x−1/2 . Далее на каждом подинтервале весовая функция интегрируется аналитически, а оставшаяся функция f (x) интегрируется численно. Другими словами, строится квадратурная формула∗ J' n X i=0 ci f (xi ) , весовые коэффициенты которой ci определяются интегрированием весовой функции. Так, правило прямоугольников, вводя весовую функцию ρ(x) = x−1/2 , модифицируется следующим образом. По правилу правых прямоугольников si ' yi+1 h. С введением весовой функции Z xi+1 exp(−x2 ) √ dx ' ci fi+1 = ci exp(−x2i+1 ) . si = x xi где весовой коэффициент ci теперь определяется интегралом от весовой функции ci = Z xi+1 xi √ √ ρ(x)dx = 2 xi+1 − 2 xi . √ Вдали от особенности ci → h/ xi+1 , и мы приходим к обычной формуле прямоугольников. В таблице приведены погрешности расчета по формулам прямоугольников с выделением весовой функции и без нее: E1 — правые прямоугольники, E2 — правые прямоугольники с весовой функцией, E3 — центральные прямоугольники, E4 — центральные прямоугольники с весовой функцией. h 10−1 10−2 10−3 10−4 E1 0.44 0.14 5e-2 1.4e-2 √ ∼ h E2 5e-2 5e-3 5e-4 5e-5 ∼h E3 0.2 6e-2 2e-2 6e-3 √ ∼ h E4 7e-4 5e-6 4e-8 4e-10 ∼ h2 Достоинства метода: • Введение весовой функции полностью восстанавливает порядок сходимости используемой квадратурной формулы, т.е. для правила правых прямоугольников E ∼ h, трапеций — E ∼ h2 , Симпсона — E ∼ h4 , и т.д. Недостатки метода: 14 • Необходимость подбора легко интегрируемой весовой функции ρ(x). Причем, для модификации сложных квадратурных формул интегрируема должна быть не только сама весовая функция, но и различные произведения вида xi ρ(x). Слайд №15: Аддитивное выделение особенности. Нередко приходится вычислять интегралы от функций, имеющих те или иные особенности. Например, функция y(x) = x−1/2 exp(−x2 ) интегрируема на участке x ∈ (0, a), но в точке x = 0 она расходится. Для численного расчета таких интегралов подинтегральную функцию раскладывают на два слагаемых : y(x) = ρ(x) + f (x), где функция ρ(x) должна выбираться так, чтобы она была интегрируема аналитически и содержала всю особенность исходной функции. В приведенном примере в качестве функции ρ разумно взять ρ(x) = x−1/2 : exp(−x2 ) 1 exp(−x2 ) − 1 √ √ y(x) = =√ + . x x x Интеграл от первой функции (с особенностью) берется аналитически, а от второй — численно: Z a −x2 √ e −1 √ dx . J =2 a+ x 0 По точности этот метод эквивалентен методу введения весовой функции. Достоинства метода: • Аддитивное выделение особенности полностью восстанавливает порядок сходимости используемой квадратурной формулы, т.е. для правила правых прямоугольников E ∼ h, трапеций — E ∼ h2 , Симпсона — E ∼ h4 , и т.д. Недостатки метода: • Необходимость точного описания особенности подинтегральной функции. 15 Термины для глоссария: Квадратурная формула — формула которая определяет приближенное значение интеграла J как сумму значений подинтегральной функции (и ее производных) с некоторыми весовыми коэффициентами cki в некоторых точках xki J' m X n X k=0 i=0 cki y (k) (xki ) . Точки xki называются узлами квадратурной формулы. Полиномы Лежандра : ´n i 1 dn h³ 2 x − 1 . 2n n! dxn Основные свойства полиномов Лежандра: Pn (x) = • Pn (1) = 1, Pn (−1) = (−1)n . • На интервале (−1; +1) полином Pn имеет n действительных корней. • ZОртогональность : +1 −1 Pn (x)Qk (x)dx = 0, для любого полинома Qk (x) степенью k < n. 16