Модель Брауна М. Г. Семененко, И.В. Князева Финансовый

Модель Брауна
М. Г. Семененко, И.В. Князева
Финансовый университет при правительстве РФ, филиал в г. Калуге ,
[email protected]
Введение
Модель Брауна [1] относится к адаптивным моделям прогнозирования,
способным изменять свою структуру и параметры, приспосабливаясь к
изменению условий. Все адаптивные модели делятся на два класса: модели
скользящего среднего (СС-модели) и авторегрессии (АР-модели).
Согласно схеме скользящего среднего оценкой текущего уровня (наблюдения)
является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причем вес
(множитель), который отражает информационную ценность наблюдения, тем
больше, чем ближе оно находится к текущему уровню. Такие модели хорошо
отражают тенденцию, но не позволяют отражать колебания, например, сезонные.
В СС-моделях сглаживание производятся с помощью параметра сглаживания,
который принимает значения в интервале от 0 до 1. Параметр сглаживания
принимает значение больше 0,5 для быстроизменяющихся процессов и меньше
0,5 для относительно стабильных процессов.
Модель Брауна
Модель Брауна описывает процессы с линейной и параболической тенденцией
(трендом), а также случайные процессы без тенденции. Построение линейной
модели Брауна имеет следующие этапы:
1. По первым пяти точкам временного ряда с помощью метода наименьших
квадратов оцениваются значения параметров линейной модели для
нулевого момента времени:
yth(t) = a0 + a1t .
2. С использованием параметров a0 и a1 , найденных на предыдущем этапе,
находим прогноз на шаг вперед ( = 1):
y1 = a0(0) + a1(0) = a0(0) + a1(0) .
3. Находим величину
отклонения фактического значения экономического
показателя от расчетного (в данном случае t = 1):
= y(t) – yth(t) .
(1)
4. Корректируем параметры модели по формулам:
a0(t) = a0(t-1) + a1(t-1) + (1 –
2
) (t) ,
(2)
a1(t) = a1(t-1) + (1 – )2 (t) ,
где
=1– ,
(3)
– параметр сглаживания.
5. С помощью скорректированных на предыдущем шаге параметров
находим прогноз на следующий момент времени ( = 1):
yth( ) = a0(t) + a1(t) .
Точечный прогноз на будущее рассчитывается по формуле
yth(n + ) = a0(n) + a1(n) , = 1, 2, …
Здесь n – число наблюдений.
Построение модели Брауна в Excel
Построим модель Брауна по данным [1] из табл.1.
Табл. 1. Исходные данные для построения модели Брауна
y
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
t
27,3
41,8
42,8
56,2
72,5
56
70
74,9
103,3
111,3
125,2
y
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
t
193,5
207,4
221,2
267,2
264
273,8
321
317,4
342
350,6
368,5
y
27
28
29
30
31
32
33
34
35
400,6
409,4
426
402
398,7
418,1
424,6
435,1
439,8
12
13
189,3
169,1
25
26
397
382,9
В электронных таблицах Excel введем в столбец исходные данные, добавим в
таблицу нулевую строку и вычислим параметры a0 (функция ОТРЕЗОК) и a1
(функция НАКЛОН). Вычисление параметра a0 показано на рис. 1. Вычисление
параметра a1 выполняется аналогично с помощью функции НАКЛОН.
Рис. 1. Вычисление параметра a0
Заполним первую строку таблицы:
Зададим значение параметра
равным 0,3 и вычислим значение
параметра .
Вычислим модельное значение показателя yth = a0(0) + a1(0) . Для данных
на рис. 1 в ячейке Е3 вводим =С2 + В2.
Вычислим значение остатка
как разность между фактическим и
модельным значениями. Для данных на рис. 1 в ячейке F3 вводим =B2
E2.
Остальные строки таблицы получаем раскопировкой первой строки. Как
выполнить раскопировку, можно прочитать в учебниках по электронным
таблицам, например, в [2].
После построения модельных значений для всех исходных точек делаем
прогноз на будущее, как описано в п. 5 (рис. 2). Например, чтобы вычислить
первое прогнозное значение для данных на рис. 1-2, в ячейке Е37 вводим =
=$C$37+$D$37*H38 . Остальные значения прогноза получаем раскопировкой.
Рис. 2. Вычисление прогноза
На рис. 3 показан график исходных и модельных значений.
Рис. 3. График исходных данных и значений прогноза
Проверка точности модели
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку
аппроксимации.
Считается, что точность модели хорошая, если среднее значение
относительной погрешности не превышает 5% , удовлетворительная, если
среднее значение относительной погрешности не превышает 15%, и
неудовлетворительная, если среднее значение относительной погрешности
больше 15%.
Для каждого отдельного значения y относительная ошибка аппроксимации
вычисляется
по
формуле
/y
.
Средняя
относительная
ошибка
аппроксимации получается как среднее всех относительных ошибок. Для
данных на рис. 1-2 относительные ошибки аппроксимации в процентах
вычислены в ячейках G3:G37 (модуль вычисляется с помощью функции
ABS). Например, в ячейке G3 введена формула
= ABS(F3)/B3*100 .
Остальные значения можно получить раскопировкой. Чтобы вычислить
среднюю относительную ошибку аппроксимации, в одну из ячеек нужно
ввести формулу =СРЗНАЧ(G3:G37). Для рассмотренного примера получим
значение 6,75. Таким образом, точность модели является хорошей.
Литература
1. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для
бакалавров / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, И.В. Орлова. – М.:Юрайт,
2012. – 328 с.
2. Донцов Д. Excel. Легкий старт. СПб.: Питер, 2007. 144 с. (Серия
«Легкий старт»).