Задачи по статистике

НИУ ВШЭ, 2013-14, «Теория вероятностей»
Отделение лингвистики, 2013-14 уч. год
Теория вероятностей
Задачи по статистике (26 февраля 2014)
И. В. Щуров, Д. А. Филимонов
Нам потребуется определить 𝛼-квантиль — это часть выборки с самыми маленькими значениями, составляющая долю 𝛼 от всей выборки.
Определение 1. Рассмотрим выборку {𝑥0 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑁 −1 }. (Мы начинаем нумерацию с нуля,
в выборке 𝑁 элементов.) Перенумераем элементы в выборке по возрастанию. Обозначим
то, что получится, через {𝑣0, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑁 −1}. Пусть 𝛼 — доля (число от 0 до 1). Обозначим
через 𝐾 нижнее целое от 𝛼 · (𝑁 − 1) (то есть максимальное целое число, не превосходящее
𝛼 · (𝑁 − 1)).
Тогда
∙ при 𝐾 + 1 < 𝛼𝑁 , 𝛼-квантиль = 𝑣𝐾+1
∙ при 𝐾 + 1 = 𝛼𝑁 , 𝛼-квантиль = (𝑣𝑘 + 𝑣𝐾+1 )/2
∙ при 𝐾 + 1 > 𝛼𝑁 , 𝛼-квантиль = 𝑣𝐾 .
Задача 1. Пусть дана выборка {2, 4, 1, 3, 2, 4}.
(a) Найти среднее и дисперсию выборки;
(b) найти медиану и первый и третий квартили;
(c) найти 0.3-квантиль и 0.9-квантиль;
Решение. Упорядочим выборку. Полчится {1, 2, 2, 3, 4, 4}, 𝑁 = 6.
Тогда 𝐾 = ⌊5 · 0.3⌋ = ⌊1.5⌋ = 1.
𝛼𝑁 = 6 · 0.3 = 1.8.
𝐾 + 1 = 2 > 𝛼𝑁 = 1.8
0.3
Таким образом, -квантиль = 𝑉𝐾 = 𝑉1 = 2.
Действуя чуть менее формально, можно рассуждать так. Возьмём часть выборки,
состоящую только из первого элемента. Какую долю она составляет от всей выборки?
1/6 ≈ 0.16.
Добавим к ней второй элемент, получится {1, 2}. Какую долю эта часть составляет от
всей выборки? 2/6 = 1/3 ≈ 0.33.
Видно, что дальше добавлять элементы нет смысла — мы будем удаляться от искомого
значения 0.3. Из двух чисел, 0.16 и 0.33, к 0.3 ближе второе. Значит, набор {1, 2}
лучше всего приближает долю 0.3 от всей выборки, но при этом он чуть больше к 0.3.
Значит, cамый большой элемент в этом наборе (в данном случае — 2) и есть искомая
0.3-квантиль.
Если бы требовалось найти 0.51-квантиль, рассуждая похожим образом, мы бы пришли к набору {1, 2, 2}, но этот набор составляет ровно 0.5 от всей выборки, что чуть
меньше, чем нам требуется. Поэтому в качестве 0.51-квантили был бы выбран следующий элемент (самый маленький элемент выборки, не входящий в наш набор) —
4.
Наконец, в случае 0.5-квантили (медианы), набор {1, 2, 2} составляет ровно 0.5 от всей
выборки. В этом случае в качестве квантили берут среднее арифметическое между
двумя крайними значениями. В данном случае — (2 + 3)/2 = 2.5.
И. В. Щуров, Д. А. Филимонов
1
НИУ ВШЭ, 2013-14, «Теория вероятностей»
(d) изобразить на графике выборочную функцию распределения.
Задача 2. Пусть дана выборка {−5, −3, 0, 4, 4.1, 4.2, 3.9, 4.4, 3.7, 4}.
(a) Найти среднее и дисперсию выборки;
(b) найти медиану и первый и третий квартили;
(c) найти 0.3-квантиль и 0.9-квантиль;
(d) изобразить на графике выборочную функцию распределения.
И. В. Щуров, Д. А. Филимонов
2