Задачи отборочного этапа. 7 класс - Интернет

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий,
механики и оптики
«Открытая интернет-олимпиада школьников по математике
по Северо-Западному федеральному округу»
Отборочный этап. 7 класс (2009-2010)
Тур 1
1. Все числа от 1 до 100 выписали на доску. Сколько раз на доске встретилась цифра 2?
Ответ:20 Балл: 1.
2. Некоторое число увеличили на 25%. На сколько процентов надо уменьшить результат,
чтобы число стало таким же как прежде?
Ответ:20% Балл: 1.
3. Найдите коэффициент при первой степени x в
многочлене
.
Ответ:21 Балл: 1.
4. В книге, написанной на марсианском языке, в каждой строке 50 букв. Первая строка
написана слева направо, вторая — справа налево, третья слева направо и далее
направления строк чередуются. Марсианин прочитал 1170 букв из текста. В какой
строке он остановился и на какой букве, если отсчитывать буквы от левого края
страницы?
Напишите через запятую номер строки и номер буквы.
Подсказка: если бы марсианин прочитал 50 букв, то остановился бы в первой строке
на букве номер 50. Если бы он прочитал 51 букву, то остановился бы во второй строке
на букве номер 50, если бы он прочитал 52 буквы, то остановился бы во второй строке
на букве номер 49. И т.д.
Ответ:24,31 Балл: 2.
5. Квадрат какого числа записан выражением
Ответ:2000001 Балл: 2.
, если a = 1000001?
6. В треугольнике ABC проведена медиана BM. На медиане выбрана точка P так, что BP
в два раза длиннее PM. Во сколько раз площадь треугольника ABP больше площади
треугольника MPC?
Ответ:2 Балл: 2.
7. Все прямые, задаваемые уравнением
через одну точку. Напишите координаты этой точки.
Ответ: (2,2)
, при разных a походят
8. На доске написано число. Операция X добавляет единицу к написанному числу,
операция Y увеличивает его в два раза. Т.о., например, последовательность операций
YXX превратит число 2 в 6. Какая кратчайшая последовательность операций
превратит число 1 в 20?
Ответ:YYXYY
9. Стопку из нескольких листов сложили пополам и пронумеровали страницы в
получившейся «книге». На одном из листов оказались страницы 101,102,203,204.
Сколько листов было в стопке?
Ответ:16
Тур 2
1. Василий решил посчитать, сколько знаков препинания напечатано в его книге. После
того как он посчитал знаки на первых 500 страницах, у него получилось 100000
знаков. Сколько примерно знаков он насчитает, когда дойдет до последней 600
страницы?
Ответ:120000 Балл: 1.
2. Сколько существует правильных положительных несократимых дробей со
знаменателем 12?
Ответ:4 Балл: 1.
3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Оказалось, что угол CAB равен углу
LBC. Точка H лежит на BC и BC перпендикулярно LH. Найдите BH, если известно,
что AB = 10.
Ответ:5 Балл: 1.
4. Найдите коэффициенты многочлена
.
В качестве ответа выпишите коэффициенты многочлена через запятую, начиная с со
старшего.
Ответ:1,1,1 Балл: 2.
5. Трехзначное число делится на 9, а если от него отбросить первую цифру оно будет
делиться 3 и составлять 1/21 от исходного числа. Найдите это число, если известно,
что оно находится в диапазоне от 100 до 500.
Ответ:315 Балл: 2.
6. На клетчатой бумаге по линиям сетки нарисован прямоугольник 70 на 100. Сколько
клеточек пересекает диагональ этого прямоугольника? (Пересечение считается, если
диагональ проходит внутри клетки)
Ответ:160 Балл: 2.
7. В эксперименте участвовали две колбы с бактериями, и изначально в обеих колбах
было одинаковое число бактерий. При этом в первой колбе 10% бактерий были
добрыми, а остальные — злыми. А во второй колбе 20% бактерий были добрыми, а
остальные злыми. Через неделю бактерии размножились, и в первой колбе количество
бактерий увеличилось в 3 раза, а процент добрых уменьшился до 5%. Во второй колбе
количество бактерий увеличилось в X раз, а процент добрых уменьшился до 18%.
Чему равен X, если известно, что доли всех добрых бактерий от общего числа
бактерий в начале и в конце эксперимента совпадали?
Ответ:10 Балл: 3.
8. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. За ход можно стереть любые два числа и
написать вместо них их разность. После четырех ходов на доске останется одно число.
Какое максимальное число может остаться?
Ответ:13 Балл: 3.
9. Найдите многочлен p(x), если известно, что p(x + 1) - p( x ) = 2x+3 и p(0) = 0. В ответе
через запятую перечислите коэффициенты многочлена, начиная со старшего.
Ответ:1,2,0 Балл: 3.