Теория вероятностей и математическая статистика_СЦЛ
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный гуманитарный университет» (ФГБОУ «МГГУ») МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ Б2.Б.2 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Основная образовательная программа подготовки бакалавра по направлению подготовки бакалавриата 040100 Социология общий профиль Утверждено на заседании кафедры математики и математических методов в экономике факультета физико-математического образования, информатики и программирования (протокол № 5 от 25 января 2013 г.) Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов 11. Программа учебной дисциплины Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика 2. Авторы программы: Богданова Елена Алексеевна, к. пед. н., доцент кафедры МиММЭ, Побойкин Владимир Яковлевич, старший преподаватель кафедры МиММЭ 3. Рецензенты: кандидат ф.-м. н. Б.М. Верещагин, доцент кафедры ПМ и МОМ МГГУ, кандидат ф.-м. н. Р.А. Богомолов, доцент кафедры ВМ и ПО ЭВМ МГТУ. 4. Цели освоения дисциплины Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика Ознакомление студентов с основами математического аппарата теории вероятностей и математической статистики, необходимого для решения теоретических и практических задач, развития логического мышления студентов; повышение общего уровня математической культуры студентов. Изучение методов обработки результатов опытов и получение обоснованных выводов о закономерностях стохастических явлений. 5. Место дисциплины Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» относится к базовой части дисциплин математического и естественнонаучного цикла с кодом ООП ВПО Б2.Б.2. Она продолжает изучение дисциплин данного цикла после курса «Высшая математика». Освоение дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» необходимо для успешного изучения дисциплин базовой и вариативной частей математического и естественнонаучного цикла, дисциплин по выбору, использующих статистические исследования и математические методы, для выполнения заданий различных практик, качественного выполнения курсовых работ и выпускной квалификационной работы. Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами дискретной математики, элементарной математики, информационных технологий в математике, геометрии, алгебры, физики, информатики, прикладной статистики. Успешное усвоение теории вероятностей и математической статистики - залог более лёгкого и глубокого изучения этих курсов. В профессиональной подготовке бакалавра дисциплина занимает особое положение. Большинство глав курса даёт научное обоснование основных разделов теории вероятностей и математической статистики, ее приложений и большинства дисциплин по выбору. Для изучения теории вероятностей и математической статистики 1 Нумерация разделов сохранена в соответствии с УМК требуется качественное знание школьного курса комбинаторики, алгебры и начал анализа, геометрии, тригонометрии. 6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика ОК-11 - осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности В результате освоения дисциплины обучающийся должен: 1) Знать: понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства теорем. В частности, знать понятия: вероятность (классическая и статистическая), распределение вероятности и его характеристики, случайная величина и её характеристики, схема независимых испытаний, теоремы Муавра и Пуассона, цепь Маркова, законы больших чисел, центральная предельная теорема, генеральная совокупность, выборка, выборочные характеристики, вариационный ряд, порядковые статистики, оценивание параметров, точечные оценки, интервальные оценки; знать количественные методы оценки случайных событий, величин, систем величин; 2) Уметь: - формально ставить задачи определения вероятностей, определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями; - применять методы обработки результатов наблюдений, решать задачи по разделам курса, применяя теоретический материал, - творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы. - строить математические модели задач, приводить их к нужному виду; 3) Владеть: - математическим аппаратом обработки статистических данных; - методами выбора и реализации наиболее рациональных методов решения поставленной задачи. 7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на которых обеспечивается данная дисциплина). Общая трудоемкость дисциплины (модуля) составляет 7 зачетных единиц (из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов); 252 часа. ПР/ СМ Вид итогового контроля (форма отчетности) ЛК Часы на СРС (для дисц-н с экзаменом, включая часы на экзамен)* Часов в интеракт. форме. (из ауд.) Всего аудит. Трудоемкость в Часах / ЗЕТ Курс Семестр Шифр и наименование направления с указанием профиля (названием магистерской программы), формы обучения № п/ п Виды учебной работы в часах экзамен 040100 1 2 216/6 50 20 20 30 166 Социология экзамен 2. 040100 1 2 252/7 70 20 28 42 182 Социология * Общее количество часов по СРС в данной таблице для дисциплин с формой контроля «Экзамен» высчитывается так же как и для дисциплин с формой контроля «Зачёт», где общее количество часов на СРС равно разности общей трудоёмкости по дисциплине и общего количества аудиторной работы. 1. 8. Содержание дисциплины Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени: Количество часов Вариант 1 Вариант 2 № Наименование Всего Всего Часов п/п раздела, темы ауд.ч./в ПР/ Л Часов ауд.ч./в Л ПР/ Л интерак т. ф. 1 2 3 4 5 Случайные события и вероятности Случайные величины. Распределение вероятностей. Многомерные случайные величины Закон больших чисел и предельные теоремы Элементы теории случайных ЛК СМ Б на СРС интера кт.ф. К СМ Б на СРС 6/2 2 4 26 18/2 6 12 42 10/2 4 6 30 14/2 6 8 30 4/2 2 2 15 4/2 2 2 15 4/2 2 2 15 4/2 2 2 15 4/4 2 2 10 4/4 2 2 10 6 7 8 9 процессов Вариационные ряды и их характеристики. Теория выборочного метода Статистическая проверка статистических гипотез Дисперсионный анализ Корреляционный анализ Итого: 6/2 2 4 30 10/2 4 6 30 8/2 2 6 20 8/2 2 6 20 4/2 2 2 10 4/2 2 2 10 4/2 2 2 10 4/2 2 2 10 50/20 20 30 166 70/20 28 42 182 9. Содержание разделов дисциплины Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика 1. Случайные события. Понятие стохастического опыта и случайного события. Классификация событий. Полная группа событий. Изображение событий. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятности. Применение комбинаторики при вычислении вероятностей. Относительная частота случайного события и ее свойства. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее следствия. Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия. Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли. Формула Пуассона. Простейший поток событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Понятие цепи Маркова. 2. Случайные величины. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ. Биноминальное и пуассоновское распределения вероятностей ДСВ. Операции над ДСВ. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный смысл и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ и их свойства. Связь числовых характеристик среднего арифметического взаимно-независимых и одинаково распределенных ДСВ с числовыми характеристиками каждой из них. Моменты случайных величин. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства. Непрерывные случайные величины (НСВ). Дифференциальная функция распределения вероятностей НСВ, ее вероятностный смысл и свойства. Числовые характеристики НСВ. Равномерное распределение вероятностей НСВ. Показательное распределение вероятностей НСВ. Функция надежности. Показательный закон надежности. Нормированное и нормальное распределения вероятностей НСВ. Вероятность попадания нормальной НСВ в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины. Правило трех сигм. 3. Двумерные случайные величины. Понятие n-мерной случайной величины. Геометрическое истолкование двумерной и трехмерной случайной величины. Закон распределения вероятностей двумерной ДСВ. Интегральная функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства. Дифференциальная функция двумерной НСВ, ее вероятностный смысл и ее свойства. 4. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Теорема Чебышева и ее значение для практики. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова. 5. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Понятие аксиоматизации теории. Пространство элементарных событий. Понятие события, требования к событиям, классификация событий. Аксиомы А.Н. Колмогорова, задающие понятие вероятности события. Вероятностные модели. Вероятностная модель стохастического опыта с конечным числом исходов. Классическая вероятностная модель. Случайные величины. 6. Основы выборочного метода. Понятие о математической статистике. Задачи математической статистики. Историческая справка. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок. Способы отбора. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Основные характеристики вариационного ряда. Выборочная функция распределения. Полигоны и гистограммы. 7. Статистическая проверка статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы. Виды статистических гипотез. Ошибки, допускаемые при статистической проверке статистических гипотез. Статистический критерий проверки гипотезы. Область принятия гипотезы. Критическая область, критические точки. Виды критических областей. Отыскание критической области и критических точек. Мощность критерия. Сравнение двух генеральных средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны. Сравнение двух генеральных средних произвольно распределенных генеральных совокупностей при больших независимых выборках. Сравнение выборочной средней и гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Сравнение двух генеральных дисперсий нормальных совокупностей. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. 8. Статистические оценки параметров распределения. Понятие статистических оценок параметров распределения. Точечные статистические оценки и их виды. Генеральная и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и выборочная дисперсии и средние квадратические отклонения (с.к.о.). Оценка генеральной дисперсии. Оценка генерального с.к.о. Интервальные оценки параметров распределения, их точность и надежность. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормально распределенного признака X при известном и неизвестном σ(X). Доверительные интервалы для оценки с.к.о. нормального распределения. Использование доверительных интервалов при оценке истинного значения измеряемой величины и при оценке точности измерений. Метод произведений вычисления выборочной средней, выборочной дисперсии и выборочного с.к.о. 9. Элементы теории корреляции. Виды зависимостей между случайными величинами. Корреляционная зависимость. Функция регрессии и линия регрессии. Задачи теории корреляции. Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным с использованием метода наименьших квадратов. Выборочный коэффициент регрессии. Корреляционная таблица. Нахождение выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и вычисление. Простейшие случаи криволинейной корреляции. Понятие о множественной корреляции. Понятие о ранговой корреляции. 10. Темы для самостоятельного изучения № п/п Наименование раздела дисциплины 1. Случайные события и вероятности Случайные величины. Распределение вероятностей. Многомерные случайные величины Закон больших чисел и предельные теоремы Элементы теории 2. 3. 4. 5. Форма самостоятельной работы - контрольные работы - тестирование в системе i-exam Форма контроля Кол-во выполнения часов самостоятельной работы - выполнение 42 тестов - проверка контрольных 30 работ -коллоквиумы 15 15 10 6. 7. 8. 9. случайных процессов Вариационные ряды и их характеристики. Теория выборочного метода Статистическая проверка статистических гипотез Дисперсионный анализ Корреляционный анализ 30 20 10 10 11. Образовательные технологии В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки бакалавра 040100 «Социология» реализация компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения учебных занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся. В рамках учебных курсов должны быть предусмотрены встречи с представителями российских и зарубежных компаний, государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов. В рамках учебной дисциплины «Социология» используются активные и интерактивные формы обучения в следующих формах: выступления студентов по индивидуальным темам с презентацией наработанного материала, коллективная защита индивидуальных домашних работ, коллективное обсуждение («круглый стол») по возникающим в процессе решения задач ошибкам, кейс-задания, тестирование и т.д. 13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины Основная литература [1] Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. [2] Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов ВУЗов. - М. ВШ, 2000. - 400с. [3] Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов ВУЗов. - М. ВШ, 2002. - 479с. [4] Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2003. [5] Шипачев В. С. Высшая математика: Учеб. для вузов / Шипачев В.С. – 6 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003. Дополнительная литература [6] Ватутин В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. – М. : Дрофа, 2003. – 328с. [7] Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. - М.: Агар, 2003. 328с. [8] Виленкин Н.Я., Потапов В. Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: Учебное пособие для студентов-заочников физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1979. – 111с. [9] Г. Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. –М.: ИКИ. 2003. – 272 с. [10] Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, т. II. - М..: Высшая школа, 2000. - 415с. [11] Зотиков С.В. Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».- Авторская программа.Базис: Сборник научно – методических работ и нормативных документов кафедры математического анализа и методики преподавания математики МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2005, том 1, с. 6 – 10. [12] Зотиков С.В., Зотикова Н.Н. Задачник-практикум по теории вероятностей: Учебно-методическое пособие для студентов ФМФ МГПУ. – Мурманск, МГПУ. – 2003. –45с. [13] Кремер Н.Ш.. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ_ДАНА. 2000. – 543 с. [14] Кэрролл Л. История с узелками. –М.: Мир. 2000. – 397 с. [15] Пытьев Ю.П., Шишкарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков: Учебное пособие. - М.: МГУ, 1983. - 256с. [16] Солодовников А.С. Теория вероятностей: для студентов педагогических институтов по математическим специальностям. – М.: Просвещение, 1983. – 207с. [17] Солодовников А.С.. Теория вероятностей. – М.: Вербум-М, 1999. – 208 с. [18] Тутубалин В.Н.. Теория вероятностей и случайных процессов. –М.: МГУ, 1992. – 400 с. [19] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.1,2. –М.: Мир. 1967. – 752 с. [20] Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Агар, 1996, - 256с. [21] Чистяков В.П.. Курс теории вероятностей. –М.: Наука. 1982. – 256 с. Электронные образовательные ресурсы (ЭОР) 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld. 15. Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», 1 курс, 2 семестр, направление подготовки 040100.62 «Социология» Комбинаторика 1. Комбинаторика, задачи комбинаторики. Правило суммы и произведения. Основные комбинаторные формулы для соединений. Применение комбинаторики при вычислении вероятностей. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Случайные события и их вероятности Понятие стохастического опыта и случайного события. Классификация событий. Полная группа событий. Изображение событий. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятности. Относительная частота случайного события и ее свойства. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее следствия. Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия. Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли. Формула Пуассона. Простейший поток событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Случайные величины 10. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ. 11. Биноминальное и пуассоновское распределения вероятностей ДСВ. 12. Операции над ДСВ. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный смысл и его свойства. 13. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ и их свойства. Связь числовых характеристик среднего арифметического взаимно-независимых и одинаково распределенных ДСВ с числовыми характеристиками каждой из них. 14. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства. 15. Непрерывные случайные величины (НСВ). Дифференциальная функция распределения вероятностей НСВ, ее вероятностный смысл и свойства. 16. Числовые характеристики НСВ. 17. Равномерное распределение вероятностей НСВ. Показательное распределение вероятностей НСВ. Функция надежности. 18. Показательный закон надежности. Нормированное и нормальное распределения вероятностей НСВ. 19. Вероятность попадания нормальной НСВ в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины. Правило трех сигм. 20. Распределение вероятностей НСВ «Хи-квадрат», распределение Стьюдента, распределение Фишера – Снедекора. Закон больших чисел и предельные теоремы 21. Неравенства Маркова и Чебышёва. 22. Теорема Чебышева и ее значение для практики. 23. Теорема Бернулли. Математическая статистика 24. Математическая статистика, её задачи. 25. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок. Способы отбора. 26. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Основные характеристики вариационного ряда. 27. Выборочная функция распределения. Полигоны и гистограммы. 28. Понятие статистических оценок параметров распределения. Точечные статистические оценки, виды и требования, предъявляемые к ним. 29. Генеральная и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной средней. 30. Генеральная и выборочная дисперсии и средние квадратические отклонения (с.к.о.). Оценка генеральной дисперсии. 31. Дополнительные характеристики вариационного ряда. 32. Оценка генерального с.к.о. Интервальные оценки параметров распределения, их точность и надежность. Доверительные интервалы. 33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормально распределенного признака X при известном и неизвестном (X). 34. Доверительные интервалы для оценки с.к.о. нормального распределения. Использование доверительных интервалов при оценке истинного значения измеряемой величины и при оценке точности измерений. 35. Виды зависимостей между случайными величинами. Корреляционная зависимость. 36. Функция регрессии и линия регрессии. Задачи теории корреляции. 37. Выборочный коэффициент корреляции, его свойства и вычисление. Простейшие случаи криволинейной корреляции. Понятие о множественной корреляции. Понятие о ранговой корреляции. 38. Понятие статистической гипотезы. Виды статистических гипотез. Ошибки, допускаемые при статистической проверке статистических гипотез. 39. Статистический критерий проверки гипотезы. Область принятия гипотезы. Критическая область, критические точки. Виды критических областей. 40. Отыскание критической области и критических точек. Мощность критерия. Критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Список основных определений 1. Событие 2. Достоверное событие 3. Невозможное событие 4. Полнаягруппа событий 5. Элементарные исходы опыта 6. Равновозможные события 7. Несовместные события 8. Вероятность события А 9. Классическое определение вероятности 10. Относительная частота события А 11. Статистическая вероятность события 12. Геометрические вероятности 13. Равные события 14. Сумма событий 15. Произведение событий 16. Разность событий 17. Противоположное событие 18. Независимые события 19. Зависимые события 20. Условная вероятность 21. Случайная величина 22. Дискретная случайная величина (ДСВ) 23. Непрерывная случайная величина (НСВ) 24. Закон распределения дискретной случайной величины. 25. Ряд распределения ДСВ 26. Многоугольник распределения ДСВ 27. Числовые характеристики СВ 28. Математическое ожидание ДСВ 29. Дисперсия (рассеивание) ДСВ 30. Среднее квадратическое отклонение ДСВ 31. Функция распределения НСВ - F(x) 32. Плотность распределения вероятностей НСВ - f(x) 33. Математическое ожидание НСВ 34. Дисперсия (рассеивание) НСВ, среднее квадратическое отклонение НСВ 35. Мода ДСВ 36. Медиана СВ 37. Равномерное распределение НСВ на отрезке [a, b] 38. Показательное (экспоненциальное) распределение вероятностей НСВ 39. Функция надежности R(t), показательный закон надежности R(t) 40. Нормальное распределение вероятностей НСВ 41. Математическая статистика 42. Генеральная совокупность 43. Выборочная совокупность (выборка) 44. Репрезентативная выборка 45. Объём генеральной или выборочной совокупности 46. Варианта, вариационный ряд, частота варианты 47. Относительная частота варианты 48. Эмпирическая (выборочная) функция распределения 49. Полигон частот, полигон относительных частот 50. Гистограмма частот (относительных частот) 51. Выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) 2 52. Исправленная выборочная дисперсия. S 53. Исправленное выборочное с.к.о. S 54. Размах вариации R 55. Мода вариационного ряда 56. Медиана 57. Статистика 58. Статистическая оценка 59. Точечная статистическая оценка (т.с.о.) 60. Несмещённая т.с.о. параметра, смещённая т.с.о. параметра 61. Состоятельная, эффективная т.с.о. параметра 62. Интервальная т.с.о. параметра 63. Доверительный интервал 64. Надёжность оценки или доверительная вероятность 65. Независимые случайные величины X и Y 66. Статистическая зависимость между случайными величинами Х и Y 67. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y 68. Уравнение регрессии СВ 69. Статистическая гипотеза (или просто гипотеза) 70. Нулевая (основная) гипотеза, конкурирующая (альтернативная) гипотеза 71. Ошибка первого рода 72. Ошибка второго рода 73. Уровень значимости 74. Статистический критерий (или просто критерий) 75. Наблюдаемое значение статистического критерия 76. Критическая область 77. Область принятия гипотезы 78. Критические точки или квантили 79. Правосторонняя (левосторонняя) критическая область, двусторонняя критическая область 80. Критерий согласия 18. Словарь терминов (глоссарий) В данном разделе термины учебной дисциплины (модуля) должны быть сгруппированы по алфавиту и темам учебного курса. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей возможностью. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. P( A) m n Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Статистической вероятностью события А наз. относительную частоту этого события . Геометрические вероятности - вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства). Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. Суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk. Произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В. Противоположным к событию А называется событие А ,означающее,что событие А не происходит. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В. Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее не известно какое именно. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице. Числовыми характеристиками случайной величины называются величины , которые определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности. n mx M ( X ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi i 1 Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее 2 математического ожидания. D( X ) M X M ( X ) Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии ( X ) D( X ) Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х. F ( x) P( X x) Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения. Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид: F ( x) P( X xi ) xi x Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х. Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). f ( x) F ( x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется b определенный интеграл M ( X ) xf ( x)dx a Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: M (X ) xf ( x)dx При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. D( X ) [ x M ( X )] 2 f ( x)dx По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: D( X ) x 2 f ( x)dx [ M ( X )]2 Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из дисперсии. ( X ) D( X ) Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум. f (M 0 ) max. Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего P( X M D ) P ( X M D ) значения случайной величины Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk.: k M [ X k ]. Для дискретной случайной n величины: k xik pi . Для непрерывной случайной величины: k i 1 x k f ( x)dx . Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины ( X mx )k . : k M [( X mx )k ] n Для дискретной случайной величины: k ( xi mx )k pi . i 1 Для непрерывной случайной величины: k ( x mx )k f ( x)dx . Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии. Для ax 3 x3 характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом. Cx 4 3 x4 Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной 0, x a величины постоянна, а вне него равна нулю : f ( x) C , a x b 0, x b Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью при x 0 0, f ( x) x e , при x 0 где - положительное число. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t. Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна: R(t ) 1 F (t ) et . Данное соотношение называют показательным законом надежности. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности f ( x) 1 x 2 ( x mx )2 e 2 x2 ; Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса. График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. Функция ( x) 2 x e t 2 dt называется функцией Лапласа или 0 интегралом вероятностей. Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах. Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x. Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с 1 x 1 t 2 /2 функцией Лапласа соотношением: ( x) e dt; 2 2 2 0 x При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. P( X m 3 ) 2(3) 2 0, 49865 0,9973 , т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую , чем утроенное среднее квадратическое отклонение практически равна нулю. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.: F ( x, y) P( X x, Y y) Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения: 2 F ( x, y ) f ( x, y ) xy Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей Генеральная совокупность – совокупность всех подлежащих изучению объектов относительно некоторого признака (с.в.) Х. Выборочная совокупность ( выборка ) – ограниченная совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности. Выборка репрезентативная, если она достаточно хорошо представляет изучаемый признак Х объектов генеральной совокупности. Объём генеральной или выборочной совокупности – число объектов (наблюдений) в соответствующей совокупности. Варианты x1 , x2,..., xn – значения изучаемого признака (с.в.) Х. Ранжирование статистических данных – операция расположения вариант по неубыванию. Вариационный ряд - последовательность вариант, записанных в неубывающем порядке. Частота варианты xi - число ni , показывающее, сколько раз встречается эта варианта в ряде наблюдений. Относительная частота варианты wi - отношение частоты варианты к объёму выборки. Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Эмпирической ( выборочной ) функцией распределения называется функция, определяемая соотношением Fn* ( x) W(X<x). Полигон частот - ломаная с вершинами в точках ( хi , ni ). Полигон относительных частот - ломаная с вершинами в точках ( xi , wi ). Гистограмма частот (относительных частот) - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны плотностям частот относительных частот wi ). h ni h ( плотностям Выборочная средняя xв - среднее арифметическое всех вариант выборки. Выборочная дисперсия Dв среднее арифметическое квадратов отклонений всех вариант от выборочной средней. Выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) в есть квадратный корень из выборочной дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия. S 2 определяется соотношением S2 n D в n 1 Исправленное выборочное с.к.о. S есть квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии. Размах вариации R - разность между наибольшей и наименьшей вариантами Мода M 0 вариационного ряда - варианта, имеющая наибольшую частоту. Медиана me - варианта, стоящая в середине вариационного ряда. Статистикой называют всякую функцию результатов наблюдений, т.е. любую функцию выборки * ( X1 , X 2 ,..., X n ) Статистической оценкой * неизвестного параметра теоретического распределения изучаемого признака Х называется статистика * , которая в определённом смысле близка к истинному значению . Точечная статистическая оценка (т.с.о.) есть стат. оценка * , определяемая одним числом. * . Т.с.о. * называется несмещённой т.с.о. параметра , если M() В противном случае, т.с.о. * называется смещённой т.с.о. параметра . Т.с.о. * параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Т.с.о. * параметра называется эффективной, если её дисперсия минимальна. Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами - концами интервала, в котором находится . Интервал ( 1* , *2 ), покрывающий с заданной вероятностью истинное значение параметра , называется доверительным интервалом, а вероятность - надёжностью оценки или доверительной вероятностью. Случайные величины X и Y называются независимыми, если изменение любой из них не влечёт изменение распределения другой. Если изменение хотя бы одной из случайных величин X или Y влечёт изменение распределения другой, то зависимость между Х и Y называется статистической. Статистическая зависимость, при которой изменение одной с.в. влечёт изменение среднего значения другой с.в. наз. корреляционной. Условным средним y x наз. среднее арифметическое значений с.в. Y, соответствующих значению с.в. Х: Х=х Корреляционной зависимостью с. в. Y от с. в. Х наз. функциональную зависимость условной средней y x от х: y x = f(x). Соотношение y x = f(x) наз. уравнением регрессии с.в. Y на с.в. X. Функцию f(x) наз. функцией регрессии с.в. Y на с.в. X. График Функции f(x) наз. линией регрессии с.в. Y на с.в. X. Аналогично определяются уравнение регрессии с.в. X на с.в. Y, функция g(y) регрессии с.в.. X на с.в. Y, линия регрессии с.в. X на с.в. Y. Если обе функции регрессии f(x) и g(y) - линейны, то корреляцию наз. линейной; в противном случае – нелинейной корреляцией. Уравнения линий регрессии, найденные по результатам выборки, наз. выборочными уравнениями регрессии. Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется всякое предположение о виде распределения изучаемого признака или о неизвестных параметрах известного распределения изучаемого признака. Выдвинутую гипотезу H 0 называют нулевой или основной Конкурирующей или альтернативной называют гипотезу H 1 , которая противоречит основной гипотезе. Гипотезу, содержащую только одно предположение, называют простой, в противном случае — сложной. При стат. проверке стат. гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов: Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом деле верна. Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза, когда она на самом деле верна. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается через . Специально подобранная случайная величина K , которая служит для проверки нулевой гипотезы, наз. статистическим критерием или просто критерием. Наблюдаемое значение статистического критерия K набл - это значение стат. критерия, вычисленное по произведённой выборке. Критическая область - это множество возможных значений стат. критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается. Область принятия гипотезы – это множество возможных значений стат. критерия , при которых нулевая гипотеза принимается. Критические точки kкр , или квантили - это точки, которые разграничивают критическую область и область принятия гипотезы. Правосторонняя критическая область определяется неравенством K> k кр1 >0 . Левосторонняя критическая область определяется неравенством K< k кр 2 <0 . Двусторонняя критическая область определяется совокупностью указанных выше неравенств. Критерием согласия наз. стат. критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения изучаемого признака генеральной совокупности. 19. Балльно-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по дисциплине. Должна быть представлена в виде технологической карты (является приложением к УМК). ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА 040100 Социология (общий профиль) ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА Шифр дисциплины по РУП Дисциплина Курс 1 семестр 2 Кафедра Ф.И.О. преподавателя, звание, должность Б2.Б.2 Теория вероятностей и математическая статистика Математики и математических методов в экономике Богданова Елена Алексеевна, к.п.н., доцент кафедры МиММЭ Общ. Интерактивные формыобщ./тек. Кол-во семестров 1 252/7 20/20 Трудоемкостьчас/ЗЕТ сем. ЛКобщ./тек. Форма 28/28 ПР/СМобщ./тек. сем. 42/42 ЛБобщ./тек. сем. Нет ЭКЗАМЕН контроля сем. № п/п Содержание задания 1. 2. Посещение занятий Домашняя контрольная работа 3. 4. 5. Контрольная работа №1 Контрольная работа №2 Коллоквиум № 1 Количество мероприятий Максимальное количество баллов Срок предоставления Основной блок 35 1 20 10 1 1 1 10 10 10 По расписанию По согласованию с преподавателем По расписанию По расписанию По согласованию с преподавателем Итого: ЭКЗАМЕН Итого: 1. 2. Коллоквиум № 2 Дополнительный блок 1 10 10 30 Тестирование Решение примеров Итого: 3. 60 40 100 дополнительных 2 10 50 По расписанию По согласованию с преподавателем По согласованию с преподавателем По согласованию с преподавателем
