дисперсия коэффициентов вязкости лесли в нематическом

120
wESTNIK sAMgu.
1997. N-3(6)
dispersiq ko|fficientow wqzkosti lesli w
nemati~eskom vidkom kristalle
e.n. kOVEWNIKOW1
oPISANY RELAKSACIONNYE PROCESSY, WOZNIKA@]IE W nvk PRI RASPROSTRANENII W NIH WQZKIH WOLN. oPREDELENY ^ASTOTNAQ I TEMPERATURNAQ ZAWISIMOSTI
DISPERSII KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI. iSPOLXZOWAN MOLEKULQRNO-KINETI^ESKIJ PODHOD.
iSSLEDOWANIE WQZKOUPRUGIH SWOJSTW NEMATI^ESKOGO VIDKOGO KRISTALLA (nvk)
W ZWUKOWYH I WQZKIH WOLNAH PRI SOOTWETSTWU@]EJ INTERPRETACIONNOJ TEORII POZWOLQET SUDITX O PROCESSAH, PROISHODQ]IH W KRISTALLE PRI PERIODI^ESKOM SVATII
ILI SDWIGE. oSNOWANNYE NA FENOMENOLOGI^ESKOM PODHODE 1-3] ILI KORRELQCIONNOM
ANALIZE FLUKTUACIJ 4] TAKIE TEORII, PRIWODQ K UDOWLETWORITELXNOMU SOGLASI@ S
\KSPERIMENTOM, PRI DOLVNOM PODBORE SWOBODNYH PARAMETROW, OSTAWLQ@T WMESTE S
TEM OTKRYTYM WOPROS O POWEDENII KRISTALLA NA MOLEKULQRNOM UROWNE. C \TOJ TO^KI
ZRENIQ BOLXU@ INFORMACI@ DAET STATISTI^ESKOE OPISANIE nvk KRISTALLA, PRI
KOTOROM IZMENENIE SOSTOQNIQ nvk, OPISYWAEMOE UGLOWYM RASPREDELENIEM ORIENTACIJ MOLEKUL, PRI WNENEM WOZDEJSTWII OPREDELQETSQ IZ PREDSTAWLENIQ O POWEDENII
OTDELXNOJ MOLEKULY. tAKOE OPISANIE POZWOLQET WY^ISLITX KO\FFICIENTY WQZKOSTI lESLI PRI STATI^ESKOM TE^ENII KRISTALLA 5], RASS^ITATX DISPERSI@ SKOROSTI
I POGLO]ENIE W ZWUKOWOJ WOLNE 6,7], OPISATX RELAKSACIONNU@ ^ASTX KO\FFICIENTOW WQZKOSTI W WQZKIH WOLNAH8,9]. w RABOTAH 6,8] U^ITYWA@TSQ MOMENTY UGLOWOGO
RASPREDELENIQ WTOROGO PORQDKA, W TO WREMQ KAK U^ET WYSIH MOMENTOW ZNA^ITELXNO MENQET REZULXTATY, POZWOLQQ, W ^ASTNOSTI, OPISATX AKUSTI^ESKU@ ANIZOTROPI@
nvk BEZ PRIWLE^ENIQ DOPOLNITELXNYH RELAKSACIONNYH PROCESSOW, MOLEKULQRNAQ
PRIRODA KOTORYH NEQSNA 7]. w RABOTE 9] MOLEKULQRNO-KINETI^ESKIJ PODHOD PRIMENEN DLQ RAS^ETA KO\FFICIENTOW WQZKOSTI I IH DISPERSII W WYSOKOMOLEKULQRNYH
VIDKIH KRISTALLAH S BOLXOJ STEPENX@ ORIENTACIONNOJ UPORQDO^ENNOSTI.
w DANNOJ RABOTE NA OSNOWE STATISTI^ESKOGO PODHODA, PREDLOVENNOGO W 6,8,9],
OPISANA RELAKSACIQ UGLOWOGO RASPREDELENIQ ORIENTACIJ MOLEKUL nvk W WQZKIH
WOLNAH I OPREDELENA DISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI. w OSNOWE OPISANIQ
LEVIT MIKROSKOPI^ESKAQ MODELX NEMATI^ESKOGO KRISTALLA, KOTORAQ STROITSQ NA OSNOWE PRINCIPOW NERAWNOWESNOJ TERMODINAMIKI, PRIMENENNYH DLQ OPISANIQ WRA]ENIQ OTDELXNOJ MOLEKULY. pRI NALI^II GRADIENTOW SKOROSTI DWIVENIQ VIDKOSTI
WOZNIKA@T WQZKIE MOMENTY, PRIWODQ]IE K WRA]ENI@ MOLEKULY I URAWNOWEENNYE
1 kOVEWNIKOW eWGENIJ nIKOLAEWI^. kAFEDRA MEHANIKI SPLONOJ SREDY sAMARSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA
121
dISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI W NEMATI^ESKOM VIDKOM KRISTALLE
UPRUGIMI MOMENTAMI, OBUSLOWLENNYMI WZAIMODEJSTWIEM S SILOWYM POLEM I TEPLOWYM DWIVENIEM, A TAKVE MIKROSKOPI^ESKIE NAPRQVENIQ, SOZDAWAEMYE EDINI^NOJ
MOLEKULOJ PRI EE WRA]ENII. mAKROSKOPI^ESKIE WQZKOUPRUGIE NAPRQVENIQ OPREDELQ@TSQ USREDNENIEM MIKROSKOPI^ESKIH NAPRQVENIJ, SOZDAWAEMYH ODNOJ MOLEKULOJ PO
UGLOWOMU RASPREDELENI@ ORIENTACIJ MOLEKUL, PLOTNOSTX KOTOROGO f OPREDELQETSQ
IZ URAWNENIQ fOKKERA-pLANKA.
s^ITAEM MOLEKULY nvk NEPOLQRNYMI I BUDEM OPISYWATX ORIENTACI@ DLINNYH
OSEJ MOLEKUL EDINI^NYM WEKTOROM L~ ( NAPRAWLENIQ L~ I ;L~ \KWIWALENTNY). wZAIMODEJSTWIE ^ASTICY S OKRUVA@]EJ SREDOJ MODELIRUEM, S ODNOJ STORONY, WQZKIMI
NAPRQVENIQMI, WOZNIKA@]IMI W SREDE, I WQZKIMI MOMENTAMI, DEJSTWU@]IMI NA
^ASTICU I WRA]A@]IMI EE, S DRUGOJ { DEJSTWIEM NA ^ASTICU SILOWOGO POLQ S ZADANNYM WIDOM POTENCIALA. nE U^ITYWAEM FLUKTUACII, S^ITAQ, ^TO PARAMETRY SAMOSOGLASOWANNOGO POLQ ODNORODNY PO PROSTRANSTWU NA MASTABAH MENXIH DLINY
ZWUKOWYH I WQZKIH WOLN. s^ITAEM TAKVE, ^TO NA MIKROSKOPI^ESKOM UROWNE MOVNO
PRIMENQTX METODY NERAWNOWESNOJ TERMODINAMIKI: SILY I POTOKI, OBUSLOWLENNYE
WKLADOM OTDELXNOJ MOLEKULY, RASKLADYWAEM PO TERMODINAMI^ESKIM SILAM SOOTNOENIQ MEVDU KINETI^ESKIMI KO\FFICIENTAMI NAHODQTSQ SPOSOBAMI, PRIMENQEMYMI
W SLU^AE MAKROSKOPI^ESKOGO OPISANIQ.
tERMODINAMI^ESKIMI SILAMI, OPREDELQ@]IMI DISSIPACI@ \NERGII PRI WRA]ENII ^ASTICY, SLUVAT TENZOR SKOROSTI DEFORMACII v I WEKTOR N~ = L~_ ; 21 (rot~v L~ ), (~v - SKOROSTX SREDY). dISSIPATIWNAQ FUNKCIQ, PRIHODQ]AQSQ NA ODNU MOLEKULU
nvk PRI DEFORMACII SREDY, MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE:
D = N~ G~ + v (1)
GDE - WKLAD ODNOJ MOLEKULY W TENZOR WQZKIH NAPRQVENIJ, G~ - WQZKAQ SILA, DEJSTWU@]AQ NA ODNU MOLEKULU W NAPRAWLENII, ORTOGONALXNOM NAPRAWLENI@ L~ , TO^KA
SWERHU OZNA^AET DIFFERENCIROWANIE PO WREMENI. w SOOTWETSTWII S FORMULOJ (1)
SILY G~ I MIKRONAPRQVENIQ IGRA@T ROLX TERMODINAMI^ESKIH POTOKOW. I L~
STROIM W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII TERMODINAMI^ESKIH SIL:
= ;b 1 (a2 N L + a3 N + a5v L L +
+ a6 v L L + a1 v L L L )
(2)
1
G = b (N ; k v )
(3)
GDE b - WRA]ATELXNAQ PODWIVNOSTX, a - KINETI^ESKIE KO\FFICIENTY, TENZOR k
IMEET WID
k = 21 ( L + L ; 2L L L )
PRI KOTOROM WYPOLNQETSQ USLOWIE ORTOGONALXNOSTI WEKTOROW L~ I G~ : L~ G~ = 0.
sLEDUQ RABOTAM 5-10], KO\FFICIENT UGLOWOJ DIFFUZII D (bT ) 1 PREDPOLAGAEM IZOTOPNYM NEKOTORYE REZULXTATY DLQ ANIZITROPNOGO KO\FFICIENTA DIFFUZII
POLU^ENY W RABOTE 11].
KINETI^ESKIE KO\FFICIENTY a NE QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI, SOOTNOENIQ MEVDU
NIMI NAJDEM IZ USLOWIQ WZAIMNOSTI oNSAGERA W WIDE:
ij
0
ij
L
L
ij
0
ij
0
ij
ij
0
ij
;
L i
j
i
j
;
i
L j
L i
i
ij k
i
j
j
jk
k
ij k
ij
ij k
k
ik
j
i
j
k
;
k
;b 1k v N = ;b 1a2N L + a3 N L ]v A TAKVE IZ SOOTNOENIQ MEVDU MOMENTAMI, DEJSTWU@]IMI NA MOLEKULU, I MIKRONAPRQVENIQMI
(L~ G~ ) = ;
ijk
jk
L j
;
i
L j
ij k
0
jk
j
L j
i
ij
122
e.n. kOVEWNIKOW
GDE - SIMWOL lEWI - ~EWITTA:
a2 + a3 = a2 ; a3 = 1 a6 ; a5 = :
(4)
wYRAZIM NAPRQVENIQ ^EREZ GRADIENTY PLOTNOSTI UGLOWOGO RASPREDELENIQ ORIENTACIJ MOLEKUL f (L~ ). dLQ \TOGO PREDSTAWIM FUNKCI@ RASPREDELENIQR f (L~ ) W WIDE
PROIZWEDENIQ KWAZIRAWNOWESNOGO BOLXCMANOWSKOGO RASPREDELENIQ f0 ( f0 d = 1),
ZAPISANNOGO DLQ POTENCIALA mAJERA-zAUPE, NA WOZMU]A@]IJ MNOVITELX (1 + f ).
f = f0 (1 + f ) = c expfd P2g (1 + f ):
(5)
zDESX P2 = P2 (L~ ~n), (k - CELOE) - POLINOMY lEVANDRA, d = d < P2 > =T d =
4:506T { POSTOQNAQ MOLEKULQRNOGO POLQ, T - TEMPERATURA ORIENTACIONNOGO PLAWLENIQ. ~n - OSX NEMATI^ESKOGO KRISTALLA, POD KOTOROJ PONIMAETSQ GLAWNAQ OSX TENZORA
ORIENTACIONNOGO PORQDKA =< L L > ;1=3 =< P2 > (n n ; 1=3 ), INTEGRIROWANIE PROWODITSQ PO ORIENTACIQM MOLEKUL nvk, -PROSTRANSTWENNYJ UGOL,
UGLOWYE SKOBKI <> OZNA^A@T USREDNENIE PO RASPREDELENI@ f0 (L~ ). uSLOWIE NORMIROWKI FUNKCII f0 (L~ ) PRIWODIT K RAWENSTWU < f >= 0.
wYRAZIM SILU G~ ^EREZ GRADIENTY PLOTNOSTI RASPREDELENIQ. dLQ \TOGO RASSMOTRIM URAWNENIE WRA]ENIQ EDINI^NOJ MOLEKULY nvk. pRENEBREGAQ INERCIEJ ^ASTIC
nvk PRI WRA]ENII, ZAPIEM URAWNENIE W WIDE RAWENSTWA SILY G~ , OBUSLOWLENNOJ WQZKOSTX@ SREDY, OKRUVA@]EJ MOLEKULU, I UPRUGOJ SILY G~ , A UPRUGU@ SILU
G~ , PREDSTAWLQQ G~ W SWO@ O^EREDX, UGLOWYM GRADIENTOM SWOBODNOJ ORIENTACIONOJ
\NERGII, PRIHODQ]EJSQ NA ODNU ^ASTICU, W SLEDU@]EM WIDE:
G = G = ;L^ (E + Tlnf ) = ;T L^ f (6)
ijk
0
0
k
0
T
k
T
c
c
ik
i
k
ik
i
k
ik
0
y
y
y
y
i
i
i
0
i
zDESX L^~ = @ ; L L @ - UGLOWOJ OPERATOR gAMILXTONA W PROSTRANSTWE WEKTOROW
L~ .
pODSTAWIM W (2) WYRAVENIE DLQ N~ , NAJDENNOE IZ (3). uMNOVAQ NA ^ISLO
^ASTIC W EDINICE OB'EMA n I USREDNQQ PO RAWNOWESNOMU UGLOWOMU RASPREDELENI@,
POLU^IM TENZOR NAPRQVENIJ W WIDE MIKRONAPRQVENIQ
@
nT
@
= ; 2 L @L ; L @L f +
@
@
@
nT
L @L + L @L ; 2L L L @L f ;
+ 2
; n2 b 1(2 + a5 + a6 )(v < L L > +v < L L >) ;
; nb 1(a1 ; 2 )v < L L L L > :
(7)
pERWYE DWA SLAGAEMYH PRIWODQT K RELAKSIRU@]IM NAPRQVENIQM, POSLEDNIE DWA
OBUSLOWLENY PERENOSOM IMPULXSA I NE SWQZANY S RELAKSACIONNYMI PROCESSAMI.
w ^ASTNOM SLU^AE DLQ ZNA^ENIJ KO\FFICIENTOW a6 = 0 ;a5 = a1 = = 1 FORMULA
DLQ NAPRQVENIJ (7) MOVET BYTX PREOBRAZOWANA K WIDU
@E
@E
= 3nT < L L ; 1=3 > +n L @L ; L L L @L i
i
j
j
0
ij
L
ij
i
0
j
j
i
i
j
j
;
i
j
0
i
i
;
j
j
i
i
j
0
ij
i
j
ij
0
j
i
i
j
dISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI W NEMATI^ESKOM VIDKOM KRISTALLE
123
R
GDE < g > = gf f0 d. |TO WYRAVENIE DLQ NAPRQVENIJ SOWPADAET S REZULXTATAMI,
POLU^ENNYMI IZ INYH SOOBRAVENIJ W RABOTAH 8,9,10] I, BEZ U^ETA PERWOGO SLAGAEMOGO, W 5].
w DALXNEJIH RASSUVDENIQH WYBEREM SLEDU@]U@ GEOMETRI@. s^ITAEM, ^TO RAWNOWESNAQ ORIENTACIQ OSI KRISTALLA ZADANA WNENIM POLEM, RASSMATRIWAQ DLQ OPREDELENOSTI MAGNITNOE POLE ~h(h 0 0). nAPRAWLENIE OSEJ 2 3 WYBIRAEM TAKIM OBRAZOM,
^TOBY KOMPONENTA SKOROSTI DEFORMACII SREDY v23 OBRA]ALASX W NOLX. w WYBRANNOJ
GEOMETRII RAWNOWESNOE NAPRAWLENIE DIREKTORA OPREDELQETSQ POLEM ~n = ~h=h(1 0 0).
pRI ANALIZE WQZKOUPRUGIH QWLENIJ W nvk OGRANI^IMSQ MALYMI POLQMI h, S^ITAQ WYPOLNQ@]IMSQ NERAWENSTWO
! 1 1
(8)
GDE ! - ^ASTOTA SDWIGA, = h2 =1 - WREMQ RELAKSACII DIREKTORA K RAWNOWESNOMU
RASPREDELENI@, - MAGNITNAQ ANIZOTROPIQ MOLEKULY nvk, 1 - WRA]ATELXNAQ
WQZKOSTX.
gRADIENTY SKOROSTI W WQZKIH WOLNAH PRIWODQT K WRA]ENI@ STRUKTURY NEMATIKA
OTNOSITELXNO SREDY SO SKOROSTX@ N~ = ~n_ ; 21 (rot~v ~n) I DEFORMACII STRUKTURY,
OPREDELQEMOJ WOZMU]ENIQMI f \TI WELI^INY OB_EDINENY KINETI^ESKIM URAWNENIEM, KOTOROE W OTSUTSTWIE SVATIQ PRINIMAET WID 14]
@f + 3d L L N + f 1 L^ f L^ f ] = f 1 L^ f L^ (L L )]v :
1
0
0
0
0
@t
w SLABOM ORIENTIRU@]EM POLE DLQ WOZMU]ENIQ f SPRAWEDLIWO RAWENSTWO <
L1L f >= 0 (s = 2 3), S U^ETOM KOTOROGO KINETI^ESKOE URAWNENIE MOVNO RAZDELITX NA URAWNENIQ DLQ f I N~ DEFORMACIQ STRUKTURY nvk W \TOM SLU^AE OPREDELQETSQ ^EREZ SIMMETRI^NYJ TENZOR SKOROSTI DEFORMACIJ v I NE SWQZANA S POWOROTOM DIREKTORA, A WEKTOR N~ NE WHODIT W WQZKOUPRUGIE NARQVENIQ . nEZAWISIMOSTX NAPRQVENIJ W WQZKIH WOLNAH OT WRA]ENIQ DIREKTORA W SLABYH ORIENTIRU@]IH POLQH LEGKO PROSLEVIWAETSQ I W GIDRODINAMIKE lESLI, GDE SKOROSTX WRA]ENIQ
N~ = ;2 =1 v n MOVNO ISKL@^ITX IZ WYRAVENIQ DLQ NAPRQVENIJ, PRIWEDQ IH K
SIMMETRI^NOJ KOMBINACII KOMPONENT v .
sOHRANQQ W LIX RELAKSIRU@]IE SLAGAEMYE
@
nT
@
= ; 2 L @L ; L @L f +
@
@
@
nT
L @L + L @L ; 2L L L @L f (9)
+ 2
PREOBRAZUEM KAVDOE SLAGAEMOE OTDELXNO. iSPOLXZUQ PRAWILO INTEGRIROWANIQ
Z
Z
Z
hL^ g d = 2 L hg d ; gL^ h d
0
0
;
h
h
0
0
T
s
;
s
i
i
0
;
i
i
i
j
ij
0
s
0
0
ij
ij
i
ij
j
ij
ij
ij
i
0
j
j
i
i
j
i
j
j
i
i
0
k
i
i
I RAWENSTWO < L1L f >= 0, POLU^IM
@
@
L @L ; L @L f = 3d < f L1 L > (n e ; n e ) = 0:
0
s
j
0
i
i
j
T
0
s
i
s
j
j
s
i
124
e.n. kOVEWNIKOW
pEREJDEM K RAS^ETU SIMMETRI^NOJ ^ASTI RELAKSIRU@]IH NARQVENIJ. wOZMU]ENIE PLOTNOSTI RASPREDELENIQ f W WQZKIH WOLNAH IMEET WID 14]
f = A11(P2 ; < P2 >) + A1111(P4; < P4 >) +
+ 21 (A22 ; A33)(L22 ; L23 ) + 2A1 L1 L +
0
0
s
s
+ 12 (A1122 ; A1133)(L22 ; L23 )(7L21 ; 1) +
+ A111 L1 L (7L21 ; 3)
s
(10)
s
A KO\FFICIENTY Aij W OTSUTSTWIE SVATIQ RAWNY
24
A11 = h2 2 + h44 v11
42
A1111 = ;h2 4 ; h4 24] v11
A1 = ; 12
7 d Q v s
T
a
is
A111 = 67 d v1 A22 ; A33 = 23 (v22 ; v33)
A1122 ; A1133 = 1123(v22 ; v33):
(11)
w \TIH FORMULAH ^EREZ h2 I h4 OBOZNA^ENY SLEDU@]IE KOMBINACII PARAMETROW
KRISTALLA:
12 R24 d ( ; 1) h2 = 3 1 1 ; d7 ; 35
R22
36
h4 = 35 d :
s
T
a
s
T
;
T
T
fUNKCII OPISYWA@T RELAKSACIONNU@ ZAWISIMOSTX KO\FFICIENTOW A OT ^ASTOTY !. s TO^NOSTX@ DO SLAGAEMYH PORQDKA MALOSTI d2 =49 10 1 1 FUNKCII IME@T WID
1
2 = (;i!+ 4 ) 4 = 42 0
; 0 1
;
i!
+ 2
24 =
= 1 ;i! 0
23
23 3 (1 + d =7) 1 ;i!
23
;i!23 1123
1123 37 d (1 ; i!
(12)
23 )(1 ; i!1123)
0 = (i! ; 2 1 )(i! ; 4 1) + 4224:
dLQ WREMEN POLU^ENY SLEDU@]IE PREDSTAWLENIQ:
12R d ( ; 1) 24
1 = 6bT 1 1 ; d
2 1 = 1 1 ; 35
R22 1 ; d =7
7
3 d 4 1 = 20 bT 1 ; 77
ij::
;
T
k
;
;
a
a
a
T
T
;
;
k
;
T
;
;
;
T
;
T
T
125
dISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI W NEMATI^ESKOM VIDKOM KRISTALLE
17 < P > 3
= 20 bT 1 ; 35 d 88 + < P4 > 1 2
1
23 = 6 bT 1 + 7 d 6
1
1123 = 20 bT 1 ; 385 d :
kINETI^ESKIE KO\FFICIENTY SWQZI PROCESSOW IME@T WID:
d R
3 24
1
24 = 20bT
7 + R42 d ( ; 1) 1 ; 77 72 bTd = 20 bT d = 6 bT d 42 = 35
1124
1142
7
7
;
a
1
T
;
T
;
(13)
T
T
;
T
T
T
(14)
T
A PARAMETRY I MOMENTY R22 I R24 OPREDELQ@TSQ FORMULAMI
1
2
= 1 ; R22 Td + dc R22 R22 =< P22 > ; < P2 >2 R24 =< P2 >< P4 > ; < P2P4 > :
wREMENA , 4 QWLQ@TSQ WREMENAMI RELAKSACII MOMENTOW < P2 > I < P4 > W
OTSUTSTWII IH KINETI^ESKOJ SWQZI WREMQ 23 QWLQETSQ WREMENEM RELAKSACII DWUHOSNOSTI KRISTALLA (PARAMETRA (A22 ; A33)), A 1123 - WREMENEM RELAKSACII DWUHOSNOSTI
^ETWERTYH MOMENTOW (PARAMETRA (A2222 ; A3333)) TAKVE W OTSUTSTWII IH SWQZI DRUG S
DRUGOM IMEET SMYSL WREMENI RELAKSACII NEDIAGONALXNYH MOMENTOW RASPREDELENIQ. wREMENA RELAKSACII 4 23 SLABO ZAWISQT OT TEMPERATURY. zAWISIMOSTX OT
TEMPERATURY WREMENI RELAKSACII OPREDELQETSQ MNOVITELEM , REZULXTATY ^ISLENNOGO RAS^ETA PRIWODQT K STEPENNOJ ZAWISIMOSTI OTT = T ; T :
(T ) 1 2:
pREOBRAZUEM USREDNENNYE PROIZWODNYE W WYRAVENII DLQ NAPRQVENIJ :
;
T
p
a
a
c
; =
ij
1 < (L @ + L @ ; 2L L L @ )P (L ) >=
2 1
2
= 92 < L21 ; L41 > N = ;11N i
j
j
i
i
j
k
k
ij
ij
1 < (L @ + L @ ; 2L L L @ )(L2 ; L2 ) >=
2
3
2
1
= 2 < 1 ; L41 > (e2 e2 ; e3 e3 ) = ;23 (e2 e2 ; e3 e3 )
1 < (L @ + L @ ; 2L L L @ )L L >=
1
2
= 21 < 2L41 ; P2 > (n e + n e ) = ;1 (n e + n e )
1 < (L @ + L @ ; 2L L L @ )P (L ) >=
4 1
2
4
6
2
4
= 15
4 (7 < L1 ; L1 > ;3 < L1 ; L1 >)N = ;1111N 1 < (L @ + L @ ; 2L L L @ )(L2 ; L2 )(7L2 ; 1) >=
1
3
2
2
i
j
j
i
i
j
i
i
j
j
i
i
i
j
j
j
i
s
j
i
k
k
j
i
i
j
j
s
i
i
j
k
k
i
j
j
i
i
j
k
k
j
s
j
j
s
i
k
ij
i
i
s
s
k
j
ij
126
e.n. kOVEWNIKOW
= 12 < ;1 + 15L41 ; 14L61 > (e2 e2 ; e3 e3 ) = ;1123(e2 e2 ; e3 e3 )
1 < (L @ + L @ ; 2L L L @ )L L (7L2 ; 3) >=
1
1
2
= 41 < 30L21 ; 3 ; 47l14 + 28L61 > (n e + n e ) =
= ;111 (n e + n e ):
zDESX ; - KO\FFICIENTY PRI PROIZWEDENIQH BAZISNYH WEKTOROW.
wWODQ KOMPLEKSNYE FUNKCII ^ASTOTY B C H IMEEM
B = nT ;11 Av 11 + ;1111 Av1111 11
A ; A 11
nT
A
22
33
1122 ; A1133
C = 2 ;23 v ; v + ;2233 v ; v
22
33
22
33
H = nT ;1 Av 1 + ;111 Av111 i
i
j
j
i
i
j
j
i
k
j
i
k
s
j
i
i
j
s
i
s
j
j
s
j
j
s
i
(15)
s
i
ij
s
s
(16)
s
s
1s
1s
W KOTORYH U^ITYWAETSQ ZAWISIMOSTX KO\FFICIENTOW A OT SKOROSTI DEFORMACIJ
v : pREDSTAWIM NAPRQVENIQ W WIDE
= Bv11 N + C (v22 ; v33 )(e2 e2 ; e3 e3 ) + Hv1 (n e2 + n e2 ):
(17)
pERWOE SLAGAEMOE W (17) OPREDELQeTSQ RELAKSACIEJ SKALQRNYH PARAMETROW ANIZOTROPII < P2 > I < P4 >, WTOROE -RELAKSACIEJ DWUHOSNOSTI, TRETXE - RELAKSACIEJ
NEDIAGONALXNYH MOMENTOW, \TO SLAGAEMOE IS^EZAET, ESLI W PLOTNOSTI RASPREDELENIQ
OGRANI^ITXSQ WTORYMI MOMENTAMI RASPREDELENIQ.
pODSTAWLQQ W B C H WYRAVENIQ DLQ ; IZ (15) I KO\FFICIENTY A IZ (12),
POLU^IM WYRAVENIQ DLQ B C H ^EREZ MOLEKULQRNYE PARAMETRY KRISTALLA, USREDNENNYE MOMENTY I FUNKCII B = 3nT Td Av 11 + 10nT Td << PP4 >> Av1111 =
11
2
11
= 3nT 1 h2 2 + 24 h4 4 ;
42
T
<
P
>
;10nT d < P 4 > 1 h24 + h4 24]
2
nT
T
A33 +
C = 6 1; < P2 > + d Av22 ;
;
A22 v;33A T < P > 10T
1133
=
+ 8 d < P 4 > + 3d + < P2 > ;1 1122
v
;
v
2
22
33
1; < P2 > + Td 23+
= 2 nT
6
+ 8 Td << PP4 >> + 103dT + < P2 > ;1 1123 2
nT
H = 6 2+ < P2 > ;4 Td Av 1 +
1
+ 14 2 + 22 < P2 > +14 Td ; 32 Td << PP4 >> Av111 =
ij
ij
ij
ij
i
j
i
s
j
i
j
j
ij i
ij
;
;
s
s
s
2
1s
127
dISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI W NEMATI^ESKOM VIDKOM KRISTALLE
<P >
nT
T
4
= d 6 ;2 < P > 2+ < P2 > ;4 d +
2
T
T
<
P
1
4>
+ 4 2 + 22 < P2 > +14 d ; 32 d < P > :
2
T
(18)
a
2
pREOBRAZUEM FORMULU (17), ISKL@^IW IZ NEE BAZISNYE WEKTORY ~e 2~e 3 . iSPOLXZUQ USLOWIE NESVIMAEMOSTI SREDY W WQZKIH WOLNAH v = 0 I USLOWIE v23 = 0 ,
OPREDELQ@]EE WYBOR WEKTOROW ~e 2~e 3 , PREDSTAWIM TENZOR v W WIDE:
kk
ij
v = 23 v11N + v1 (e n + e n ) + 21 (v22 ; v33)(e2 e2 ; e3 e3 ):
oPREDELQQ OTS@DA SLAGAEMYE, SODERVA]IE KOMPONENTY e
v1 e = v n ; v11n A TAKVE SLAGAEMYE, SODERVA]IE RAZNOSTX (e2 e2 ; e3 e3 )
1 (v ; v )(e2 e2 ; e3 e3 ) = v + 1 v (n n + ) ;
2 22 33
2 11
;v n n ; v n n I, ISKL@^AQ IH IZ WYRAVENIQ DLQ , PREDSTAWIM EGO W OKON^ATELXNOM WIDE:
= (C ; 31 B )v11 + (B + C ; 2H )v11n n +
+ (H ; 2C )(v n n + v n n ) + 2Cv :
(19)
w GIDRODINAMI^ESKOM PRIBLIVENII TENZOR WQZKIH NAPRQVENIJ nvk OPISYWAETSQ FORMULOJ lESLI 12] W WQZKIH WOLNAH, GDE UPRUGIE MOMENTY fRANKA MALY
PO SRAWNENI@ S WQZKIMI, PRINIMAET WID:
= 2 v11 + 1v11n n + 4v +
+ (5 + 2 ) v 1n + (6 + 3) v 1n (20)
GDE - KO\FFICIENTY WQZKOSTI lESLI, = ;2 =1 1 2 - KO\FFICIENTY WRA]ATELXNOJ WQZKOSTI.
sRAWNIWAQ FORMULY (19), (20), OPREDELIM WKLAD RASSMOTRENNYH RELAKSACIONNYH
PROCESSOW W KO\FFICIENTY WQZKOSTI lESLI, ILI IH KOMBINACI@
2 = C ; 31 B 1 = B + C ; 2H
(5 + 2) = (5 + 2) = H ; 2C 4 = 2C:
(21)
tEM SAMYM, ZAWISIMOSTX OT ^ASTOTY KO\FFICIENTA 4 OPREDELQETSQ RELAKSACIEJ DWUHOSNOSTI SREDY (MOMENTOW < L22 ; L23 > ), KO\FFICIENTOW (k = 2 3 5 6)
- RELAKSACIEJ DWUHOSNOSTI I RELAKSACIEJ NEDIAGONALXNYH MOMENTOW RASPREDELENIQ
< L1 L (7L21 ; 3) > , POMIMO UKAZANNYH PROCESSOW W KO\FFICIENT 1 WNOSQT WKLAD
PROCESSY RELAKSACII < P2 > < P4 >, POSLEDNIE PROCESSY I RELAKSACIQ OSI KRISTALLA OPREDELQ@T DISPERSIONNU@ ^ASTX KO\FFICIENTA 2 . |TI PROCESSY IME@T
HARAKTERNYE WREMENA RELAKSACII 4 23. s ROSTOM ^ASTOTY , KOGDA ! ! 1 ,
WKLAD RELAKSACIONNYH PROCESSOW W WQZKOUPRUGIE SWOJSTWA nvk IS^EZAET.
ij
ij
s
i
s
s
j
j
i
i
j
i
j
s
i
s
s
i
ik
k
i
i
i
j
i
ik
i
ij
j
k
j
j
j
i
jk
k
j
ij
i
ij
ij
ij
ik
k
i
j
jk
k
i
j
ij
ij
ij
ij
ij
i
i
j
j
ij
j
i
i
0
s
0
a
k
128
e.n. kOVEWNIKOW
oPREDELIM DISPERSIONNU@ ^ASTX WQZKOSTI W WQZKIH WOLNAH, RASPROSTRANQ@]IHSQ W nvk POD UGLOM K DIREKTORU ^EREZ ' OBOZNA^IM UGOL MEVDU NAPRAWLENIEM SDWIGA I PROEKCIEJ DIREKTORA NA PLOSKOSTX, ORTOGONALXNU@ NAPRAWLENI@
RASPROSTRANENIQ WOLNY. iZ (19) POLU^IM SLEDU@]EE WYRAVENIE DLQ = (!) ; (! = 1) = C sin2 sin2 ' + 21 H (1 ; sin2 sin2 ') +
+ 81 (B + C ; 2H ) sin2 2 cos2 ':
(22)
w ^ASTNOSTI, DISPERSIQ WTOROJ I TRETXEJ WQZKOSTI mESOWI^A W WOLNAH, RASPROSTRANQ@]IHSQ WDOLX DIREKTORA ( = 0) I WOLNAH, S PLOSKOSTX@ SDWIGA, ORTOGONALXLXNOJ DIREKTORU ( = =2 ' = 0), SOOTWETSTWENNO 2 3, OPREDELQ@TSQ WYRAVENIQMI:
(23)
2 = 21 H 3 = C:
pROANALIZIRUEM ^ISLENNO POLU^ENNYE REZULXTATY, OPREDELQQ TEMPERATURNU@ I
^ASTOTNU@ ZAWISIMOSTX KO\FFICIENTOW :
w PERWOM SLU^AE OPREDELIM ZAWISIMOSTX DISPERSII KO\FFICIENTOW WQZKOSTI
D = (! = 0) ; (! = 1) OT TEMPERATURY, A TAKVE OCENIM WKLAD RAZLI^NYH
PROCESSOW W WQZKOUPRUGIE SWOJSTWA KRISTALLA DLQ NEMATIKA mbba S MOLEKULQRNYM
WESOM 267, TEMPERATUROJ ORIETACIONNOGO PLAWLENIQ T = 318K I TEPLOEMKOSTX@
C = 2 106 dV M 3 GRAD 1 13], WREMQ RELAKSACII PRI T ; T = 1 S^ITAEM
RAWNYM (1) = 10 7c 1 .
nA WYSOKIH ^ASTOTAH FUNKCII B C H OBRA]A@TSQ W NOLX DISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI OPREDELQETSQ ^EREZ NIZKO^ASTOTNYE ZNA^ENIQ FUNKCIJ B0 C0 H0:
1 = B0 + C0 ; 2H0
4 = 2C0
(5 + 2) = (6 + 3) = H0 ; 2C0:
(24)
KOTORYE POLU^IM IZ FORMUL (12), (18), S^ITAQ W NIH WYPOLNQ@]IMSQ NERAWENSTWO
1! 1:
1
2
4
B0 = 27
2 nT (1 ; d =7) < L1 ; L1 >=
= 9nT 1 Td (1 ; d =7)
C0 = nT 1 (1 ; d =7) 34 < 1 ; L41 >=
3 (7 ; 5 < P > ;2 < P >)
= nT 1 (1 ; d =7) 35
2
4
9d H0 = nT 1 (1 ; d =7) 35
14 (30 < L21 > ;3 + 47 < L41 > +28 < L61 >);
;2 << PP4 >> (2 < L41 > ; < P2 >) :
(25)
k
o
c
;
p
;
;
;
k
H
;
o
c
;
;
T
;
;
;
T
T
T
;
T
T
2
sRAWNIM OTNOSITELXNU@ ROLX OPISANNYH PROCESSOW W DISPERSII KO\FFICENTA WQZKOSTEJ lESLI, SOPOSTAWLQQ ZNA^ENIQ KO\FFICIENTOW B0 C0 H0: iH OTNOENIE
i
h
B0 : C0 : H0 = 1 : 12 < 1 ; L41 >: 1052 22 ;111 ; 2 24 ;1 d
T
<P >d
T
s
<P >
<P >
s
dISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI W NEMATI^ESKOM VIDKOM KRISTALLE
129
RAWNO B0 : C0 : H0 = 1 : 0 2 : 0 08 PRI TEMPERATURE T ; T = 10 I B0 : C0 : H0 = 1 :
0 15 : 0 12 PRI TEMPERATURE T ; T = 30 . iZ PRIWEDENNYH OCENOK WYTEKAET, ^TO W
DISPERSI@ KO\FFICIENTA 1 OSNOWNOJ WKLAD WNOSIT RELAKSACIQ DIAGONALXNYH MOMENTOW RASPREDELENIQ, RELAKSACIQ DWUHOSNOSTI I NEDIAGONALXNYH MOMENTOW WNOSQT
SRAWNIMYE WKLADY W (5 + 2).
rEZULXTATY ^ISLENNOGO RAS^ETA TEMPERATURNOJ I ^ASTOTNOJ ZAWISIMOSTEJ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI PREDSTAWLENY NA RIS.1,2. sPLONYE KRIWYE POSTROENY
S U^ETOM ^ETWERTYH MOMENTOW RASPREDELENIQ, PUNKTIRNYE { S U^ETOM LIX WTORYH
MOMENTOW.
o
c
o
c
; ;
rIS. 1.
rIS. 2.
tEMPERATURNAQ ZAWISIMOSTX DISPERSII
zAWISIMOSTX Re1(1)
WQZKIH NAPRQVENIJ D4 (1) D1 (2)
Re (5 + 6)(2) OT ^ASTOTY
D(5 + 2)(3)
nA RIS.1 PO FORMULAM (6), (10) POSTROENY KRIWYE TEMPERATURNOJ ZAWISIMOSTI
DLQ D4 D1 D(5 + 2 ) NA rIS.2 NANESENA ZAWISIMOSTX Re1 I Re (5 + 2)
OT ^ASTOTY PRI TEMPERATURE T ; T = 5 , POSTROENNAQ PO FORMULAM (21),(18).
w PRIBLIVENII WTORYH MOMENTOW FORMULY (21) PRINIMA@T WID
1 < 1 ; L4 > 3 < L2 ; L4 > 1
1
1
2 = 2nT
bT 4 1 ; i!23 ; 2 1 ; i! + 9 < L21 ; L41 > + 1 < 1 ; L41 > 1 = 2nT
bT 2 1 ; i!
4 1 ; i!23
< 1 ; L41 > :
(5 + 2) = ;4 = 8nT
(26)
bT 1 ; i!
c
o
23
w \TIH FORMULAH H = 0 I WYPADAET RELAKSACIQ WOZMU]ENIQ f , OPISYWA@]AQ
SDWIGOWU@ DEFORMACI@ STRUKTURY nvk.
dLQ SRAWNENIQ NA RIS. 1,2 NANESENY KRIWYE DLQ DISPERSII WQZKOSTEJ 4 1
(5 + 2) (RIS.1) I ^ASTOTNAQ ZAWISIMOSTX 1 (5 + 2) (RIS.2), POSTROENNYE
S U^ETOM LIX WTORYH MOMENTOW RASPREDELENIQ (PUNKTIRNYE KRIWYE) PO FORMULAM (26). sRAWNENIE KRIWYH POKAZYWAET, ^TO U^ET WYSIH MOMENTOW RASPREDELENIQ
(BOLXIH WTOROGO) PRI RAS^ETE WQZKOUPRUGIH SWOJSTW NEMATIKA MENQET KAK ^ASTOTNU@ ZAWISIMOSTX KO\FFICIENTOW WQZKOSTI, TAK I WELI^INU \FFEKTA: DISPERSIQ 1
MENQETSQ OT 10 = DO 30 = S UDALENIEM OT TO^KI PEREHODA T , DISPERSIQ (5 +2)
MENQETSQ DO POLUTORA-DWUH RAZ.
dISPERSIQ KO\FFICIENTOW WQZKOSTI lESLI OPREDELQLASX RANEE W RABOTE 8], GDE
WOZMU]ENIE f PREDSTAWLENO KOMBINACIEJ WTORYH MOMENTOW RASPREDELENIQ, I W RABO0
o
0
o
o
o
c
130
e.n. kOVEWNIKOW
TE 9], GDE f OPREDELQETSQ DLQ WYSOKOMOLEKULQRNYH KRISTALLOW S BOLXOJ KONSTANTOJ SAMOSOGLASOWANNOGO POLQ d > 8: w WYRAVENII DLQ f W WQZKIH WOLNAH, KOTOROE
I]ETSQ W 9] W WIDE ASIMPTOTI^ESKOGO RAZLOVENIQ W RQD PO OBRATNYM STEPENQM POSTOQNNOJ POLQ 1=d , TAKVE FAKTI^ESKI U^TENY LIX WTORYE MOMENTY. wYRAVENIQ
DLQ B0 C0, PERES^ITANNYE PO REZULXTATAM \TIH RABOT SOWPADA@T S PRIWEDENNYMI
WYE WYRAVENIQ DLQ , POLU^ENNYE W 8], I 3 = 4=2, POLU^ENNOE W 9], TAKVE
SOWPADA@T (S TO^NOSTX@ DO WREMEN RELAKSACII) S SOOTWETSTWU@]IMI WYRAVENIQMI W FORMULAH (26). pROCESSY, SWQZANNYE S RELAKSACIEJ NEDIAGONALXNYH MOMENTOW
< L1 L (7L21 ; 3) > W RABOTAH 8,9] WYPADA@T IZ RASSMOTRENIQ I KO\FFICIENT H0,
A SLEDOWATELXNO, I DISPERSIQ WQZKOSTI 2 , OBRA]A@TSQ W NOLX. w REZULXTATE, W RABOTE 9] SDELAN OIBO^NYJ WYWOD O TOM, ^TO DEFORMACIQ STRUKTURY W WQZKOJ WOLNE,
RASPROSTRANQ@]EJSQ WDOLX DIREKTORA, SWODITSQ LI]X K POWOROTU OSI KRISTALLA.
0
T
T
k
s
0
lITERATURA
1] ImuraH., Okano K. // Chem. Phys. Lett. 1973. V19. N3. P.387-390.
2] kOVEWNIKOW e.n., ~ABAN i.a. // aKUST. VURN. 1978. t.24. N3. s.363-371.
3] aLEKSEEW n.i., rOMANOW w.p., uLXQNOW s.w. // aKUST. VURN. 1988. t.34. N3.
s.398-401.
4] nEMCOW w.b., tABIDZE a.a. // aKUST. VURN., 33 (1987), WYP. 3, s.529-524.
5] oSIPOW m.a., tERENTXEW e.m. wRA]ATELXNAQ DIFFUZIQ MOLEKUL I REOLOGI^ESKIE
SWOJSTWA VIDKIH KRISTALLOW // pREPRINT N5. m.: iNSTITUT KRISTALLOGRAFII.
1988.
6] sTEPANOW w.i. sB. k STATISTI^ESKOJ TEORII NEMATI^ESKIH VIDKIH KRISTALLOW.
sWERDLOWSK: iZD-WO. uRALXSKOGO NAU^NOGO CENTRA, 1982, C.39-61.
7] kOVEWNIKOW e.n. // aKUST. VURN., 40 (1994), 412.
8] sTEPANOW w.i. // sB. sTATISTI^ESKIE I DINAMI^ESKIE ZADA^I UPRUGOSTI I WQZKOUPRUGOSTI. sWERDLOWSK: iZD-WO uRALXSKOGO NAU^NOGO CENTRA, 1983.C.46-57.
9] sEMENOW a.n. // v|tf. 1983. t.85. wYP 2(8). s.549-460.
10] Doi V.J. // J. Polym. Sci. Polym. Phys. Ed. 1981. V.19. P.229.
11] pOKROWSKIJ w.n. // v|tf. 1976. t.71. wYP. 5(11). s.1880-1892.
12] dE vEN. fIZIKA VIDKIH KRISTALLOW. m.: mIR, 1977.
13] sONIN a.s. lEKCII PO VIDKIM KRISTALLAM. m.: iZD-WO mgu, 1779. ~.1. s.122.
14] kOVEWNIKOW e.n., dOLMATOWA n.g. // iZW. ran. sER. FIZ., 60(1996), N4. C.66-71.
DISPERSION OF LESLIE VISCOUS COEFFICIENTS IN
NEMATIC LIQUID CRYSTAL
2
E.N.Kozhevnikov
Relaxation processes in Nematic Liquid Crystal under shear waves are described
on the base of molecular-kinetic model. Frequency dependence and dispersion temperature dependence of Leslie viscous koecients are determined.
2
Kozhevnikov Evgeniy Nikolaevich Dept. of Continuum Mechanics of Samara State University.