ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУР Е ФУНКЦИЙ

PUBLICATIONS DE L'INSTITUT MATHEMATIQUE
Nouvelle serie, tome 38 (52), 1985, pp. 153{156
OCENKA KOFFICIENTOV FUR^E FUNKCI
PRINADLEAWIH KLASSAM BESOVA
Muharem Berixa
Rezme.
V to rabote opredeleny dostatoqnye uslovi kotorym dolny
udovletvort~ kofficienty Fur~e funkcii f (x) qtoby ona prinadleala klassu
B (p; ; ).
0. V rabote [1] byli poluqeny neobhodimye i dostatoqnye uslovi
(v terminah kofficientov Fur~e) dl prinadlenosti qetnyh funkci
s monotonnymi kofficientami Fur~e klassam funkci tipa Besova.
V rabote [2] byli opredeleny neobhodimye uslovi kotorye dolny udovletvort~ kofficienty Fur~e qtoby funkci prinadleala
klassu B (p; ; k; ).
V nastowe rabote ukazany dostatoqnye uslovi kotorym dolny
udovletvort~ kofficienty Fur~e qtoby v obwem sluqae funkci
f (x) 1
X
=
1
c exp(ix) gde c = 1=(2)
prinadleala klassu
tvoret uslovi:
( )
Z 2
0
f (t) exp( it)dt;
B (p; ; ). V dannom sluqae funkci (t) udovle-
ZÆ
0
(t)t dt CÆ
Z 2Æ
0
(t)dt
dl vseh Æ 2 (0; Æ0 ).
Otmetim, qto v nastowe rabote utverdeni dokazyvac pri
pomowi nailuqih priblieni.
Neobhodimye opredeleni smotri v rabote [2].
AMS Subject Classication
(1980): Primary 42A32.
Berixa
154
1.
metrike
t.e.
Qerez En (f )p oboznaqim nailuqxe priblienie funkcii f (x) v
Lp pri pomowi trigonometriqeskih polinomov ne vyxe qem n,
En (f )p = inf kf (x) Tn (x)kp
Tn
Budem govorit~ qto nekotora funkci (t) est~ funkci tipa , esli
ona izmerima na [0; 1], summiruema na [Æ; 1] dl lbogo Æ 2 (0; 1) i esli
suwestvut destvitel~nye qisla ; Æ > 0 i qislo Æ0 2 (0; 1) takie qto:
1. (t) C dl vseh t 2 [0; 1]
RÆ
2. 0 (t)ts dt < 1 dl vseh s < i Æ 2 (0; Æ0 )
RÆ
3. 0 (t)ts dt = 1 dl vseh s < i Æ 2 (0; Æ0 ).
Budem govorit~, qto f (x) 2 B (p; ; ) esli:
1. f (x) 2 Lp , dl nekotorogo p iz promeutka 1 p 1
2. nekotoroe qislo iz promeutka 0 < < 1
3. (t) funkci tipa R1
4. I = 0 (t)!k0 (f; t)p dt < 1,
gde k nekotoroe natural~noe qislo udovletvorwee k > =. Uslovie
k > garantiruet, qto klass B (p; ; ) sastoit ne tol~ko iz konstant [5].
Dl dokazatel~stva osnovnyh rezul~tov raboty nam ponadobc sleduwie lemmy
2
1
1
Lemma 1. [5] Pust~ f (x) Lp , 1 p
, 0< <
i (t) funkci
tipa , togda dl lbogo natural~nogo qisla k udovletvorwego k < =
spravedlivo neravenstvo:
Z1
0
gde
C1
(t)!k0 (f; t)p dt C1 fE0 (t)p + E10 (t)p +
ne zavisit ot
f (x ) i
Z
2=2
( ) =
1
X
=1
( )E2 (f )p g
(t)dt; 1; (0) = 1:
1=2
0
Lemma 2. [4, T. 19, str. 43] Pust~ qisla ; i a
< < < 1, togda spravedlivo neravenstvo:
1 !1=
1 !1=
X
X
a
a
=1
=1
takovy, qto a
0,
3. [7] Pust~ qisla a ; b i takovy, qto a 0, b 0 i
P1 aLemma
1 = an n , togda dl p iz promeutka 1 p < 1 spravedlivo neravenstvo:
1 X
1 !p
1
X
X
b pp a (b )p
=1 =1
=1
Ocenka kofficientov Fur~e funkci prinadleawih klassam. . .
2.
155
Teorema 1. Dl togo qtoby periodiqeska funkci
f (x) 1
X
=
1
c exp(ix)
1
prinadleala klassu B (p; ; ) pri 2
p
, dostatoqno qtoby e
kofficienty Fur~e udovletvorli sleduwim uslovim:
dl
p:
dl
p:
1
X
j j=1
1
X
jc j j j
jc j j j
j j=1
Z 1=
A
gde
=
1= +1
2=p
2=p
b(j j) < 1
b(j j)fb(j j)=A(j j)g=p
(t)dt
i
b =
Z1
1= +1
1
<1
(t)dt
3
Dokazatel~stvo . Ispol~zu lemmu 1 i neravenstvo [ ]:
1
X
=1
( )E2 (f )p C2
P A( )E (f ) .
imeem I C3 1
p
=1
Dl p 2 imeem:
1
X
=1
Esli
A( )E (f ) C
4
1
X
=1
1
X
=1
A( )E (f )p
01
1=p
X
A(j j) @
jcn jp jnjp 2 A :
jnj=
p, togda primen lemmu 2 imeem:
1
1
1
X
X
X
I C5 A( )
jcn j jnj 2=p A( ) =
=1
=1
j j=1
1
X 2=p
=
jcn j jnj
b(jnj):
=1
p, togda primen lemmu 3 imeem:
1
X
I C6
A(j j)[ (j j)jc jp j jp 2 ]=p
j j=1
P
gde b(n) = 1
=1 A( ) = A(n) (n). Znaqit,
1
X
I C7
jc j j j 2=pb(j j)fb(j j)=A(j j)g=p 1 :
j j=1
Esli
Berixa
156
Teorema 2. Dl togo qtoby periodiqeska funkci
f (x) 1
X
ck exp(ikx)
1
B (p; ; ) pri 1 < p 2 dostatoqno
=
prinadleala klassu
cienty Fur~e udovletvorli sleduwim uslovim:
dl
dl
1
X
2
1
X
2
j j=1
j j=1
qtoby e koffi-
jcn j b(jnj) < 1
jcn j b(jnj)fb(jnj)=A(jnj)g=2 1 < 1
Dokazatel~stvo. Pust~ 1
< p 2, togda oqevidno, qto
En (f )p C8 En (f )2
Na osnovanii ravenstva Parseval sleduet
I C9
Esli
1
X
=1
A( )E C10
=1
01
1=2
X
A( ) @
jcn j2 A :
j j=1
2, primen lemmu 2 imeem:
I C11
1
X
=1
01
1
1
1
X
X
X
A( ) @
jcn j A = C11 jcn j A( ) =
j j=1
=
Esli
1
X
C11
1
X
j j=1
j j=1
=1
jcn j b(jn):
2, togda na osnovanii lemmy 3 imeem:
1
X
I C12
A( )[ (j j)jc j2 ]=2 =
j j=1
1
X
=
jc j A1 =2 (j j)b=2 (jnj) =
j j=1
1
X
=
jc j b(j j)fb(j j)=A(j j)=2 1 :
j j=1
LITERATURA
[1] M. Berixa, O koficientah Fur~e nekotoryh klassov funkci, Glasnik Mat. 16(36)
(1981, 75{90.
Ocenka kofficientov Fur~e funkci prinadleawih klassam. . .
157
[2] M. Berixa, Neobhodimye uslovi kofficientov Fur~e periodiqeskih funkci
prinadleawih B (p; ; k; ) klassam tipa Besova, Publ. Inst. Math. (Beograd)(N.S.)
35(49)(1984), 87{91.
[3] M. Berixa, O koficientah Fur~e periodiqeskih funkci prinadleawih B (p; ,
k; ) { klassam, Mat. Balkanica, (v peqti).
[4] G.B. Hardi, D.E. Lit~vud, G. Polia, Neravenstva, GIIL Moskva, 1984.
[5] K.M. Potapov, O vloenii i sovpadenii nekotoryh klassov funkci, Izv. AN
SSSR 4(1969), 840{860.
[6] K.M. Potapov, Ob odno teoreme vloeni, Matematica (Cluj), 14(37)(1972), 123{
146.
Prirodno-matematiqki fakultet
38000 Prixtina
Jugoslavija
(Postupila 28 09 1984)