09 Классическое определение вероятности

Лекция 9. Классическое определение вероятности
Теория вероятностей – математическая наука, позволяющая по вероятностям
одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных
каким-либо образом между собой.
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных
закономерностей массовых однородных случайных событий.
Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию
равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не
подлежит формальному определению. Это определение применимо в случаях, когда
удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий –
элементарных исходов. Для примера рассмотрим урну с шарами.
Пусть в урне содержится 7 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2
из них – красных, 1 – синий и 4 – белые. Испытание будет заключаться в том, что из урны
наудачу берется один шар. Каждое событие, которое может наступить в проводимом
испытании, является элементарным исходом. В данном примере семь элементарных
исходов, которые мы обозначим Е1, Е2,..., Е7. Исходы Е1, Е2 – появление красного шара, Е3
– появление синего шара, Е4, Е5, Е6, Е7 - появление белого шара. В нашем примере
события Е1, Е2,... Е7 – попарно несовместны. Кроме того, они еще и равновозможны в
данном испытании. Пусть событие А заключается в том, что наудачу взятый из урны шар
оказался цветным (красным или синим).
Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие А наступает,
называют исходами, благоприятствующими событию А. В нашем примере исходами,
благоприятствующими событию А, являются исходы Е1, Е2 и Е3. Разумно в качестве меры
возможности появления события А, то есть вероятности Р(А), принять число, равное
отношению исходов, благоприятствующих наступлению события А, к числу всех
возможных исходов. В нашем примере
3
Р (А) = 7 .
Рассмотренный пример привел нас к определению вероятности, которое принято
называть классическим.
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих
этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов:
m
(1)
Р (А) = n .
Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью
тех случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы –
равновозможны.
ПРИМЕР 1. Бросается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет не
более четырех очков.
Решение. Общее число элементарных исходов n = 6 (могут выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Среди этих исходов благоприятствуют событию А (выпадет не более четырех очков)
только четыре исхода m = 4. Следовательно искомая вероятность
4
2
Р (А) = 6 = 3 .
ПРИМЕР 2. Какова вероятность, заполняя карточку спортлото «6» из «49» угадать
4 номера?
Решение. Общее число элементарных исходов опыта равно числу способов,
6
которыми можно зачеркнуть 6 номеров из 49, то есть n = C 49 . Найдем число исходов,
благоприятствующих интересующему нас событию А = {угадано 4 номера}, 4 номера из 6
4
выигрывших можно зачеркнуть C 6 способами, при этом остальные два номера должны
быть не выигрышными. Зачеркнуть 2 неправильных номера из 43 невыигрышных можно
2
4
2
C 43 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов m = C 6 ⋅ C 43 .
Принимая во внимание, что все исходы опыта являются несовместными и
равновозможными, находим искомую вероятность по формуле классической вероятности:
m C 64 ⋅ C 432
=
⋅
Р (А) = n
C 496
ПРИМЕР 3. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика
вероятность, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные?
Решение. 1. Так как на каждом из пяти мест в пятизначном номере может стоять
любая из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных пятизначных номеров будет 105
(00000 – 1-й, 00001 – 2-й, 00002 – 3-й, ... , 99998 – 99999-й, и, наконец, 99999 – 100 000 -й).
Номера, у которых все цифры различные, – это размещения из 10 элементов по 5.
Формула для числа размещений из n элементов по k:
n!
Akn = C kn k ! =
= n (n - 1) ... (n - k + 1).
(n − k)!
5
Поэтому число благоприятствующих случаев m = А10 = 10⋅ 9⋅ 8⋅ 7⋅ 6 и искомая
вероятность
m A105 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
Р (А) = = 5 =
= 0,3024.
n 10
10 5
2. Из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать 55 различных пятизначных
номеров. 55 - это число благоприятных исходов m. Так как всех равновозможных случаев
n= 105, то искомая вероятность
5
55
m
1
1
Р (А) = n = 5 =   =
= 0,03125.
10
32
2
ПРИМЕР 4. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по
26 листов. Найти вероятности следующих событий:
А - в каждой из пачек окажется по два туза;
В - в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре;
С - в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу
способов, которыми можно извлечь 26 карт из 52 , то есть числу сочетаний из 52 по 26, n
26
= C 52 . Число благоприятных событию А случаев
m = C 42 ⋅ C 4824 (по основному правилу комбинаторики), где первый сомножитель
2
показывает, что два туза из четырех можно взять C 4 способами, второй сомножитель
24
показывает, что остальные 24 карты берутся из 48 карт, не содержащих тузов, C 48
способами. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих
событию А, к общему числу всех исходов:
C 2 ⋅ C 24
P (A) = 4 26 48 .
C 52
Событие В может осуществиться двумя равновозможными способами: либо в
первой пачке будут все четыре туза, а во второй - ни одного, либо наоборот:
C 4 ⋅ C 22
Р (B) = 2 4 26 48 .
C 52
Аналогично:
C 3 ⋅ C 23
Р(C) = 2 4 26 48 .
C 52
Заметим, что классическое определение вероятности было введено для случая,
когда пространство элементарных событий конечно, а все исходы и испытания
равновозможны и несовместны.
Примерные тесты
1. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков меньшее, чем 5, равна …
1
- 3
2
- 3
-0
5
- 6
2. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков меньшее, чем 4, равна …
5
- 6
2
- 3
1
- 2
4
- 5
3. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков меньшее, чем три, равна …
-0
1
- 3
1
- 2
-1
4. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков большее, чем 4, равна …
-1
1
- 3
2
- 3
1
- 2
5. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков более трёх, равна …
-1
-0
1
- 3
1
- 2
6. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет 4 очка, равна …
- 0,1
2
- 3
1
- 4
1
- 6
7. Игральный кубик бросают один раз. Тогда вероятность того, что на верхней
грани выпадет число очков больше, чем три, равна …
1
- 3
1
- 2
-1
-0
8. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, большее чем пять, равна …
-1
1
6
-0
5
6
9. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, большее чем один, равна …
-1
1
- 6
-0
5
- 6
10. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, кратное пяти, равна …
5
- 6
1
- 3
1
- 6
-1
11. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, кратное четырём, равна …
5
- 6
1
- 6
1
- 2
-0
12. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, равное двум или четырём, равна …
1
- 2
1
- 6
1
- 3
2
- 3
13. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, равное пяти или шести, равна …
2
- 3
1
- 2
1
- 6
1
- 3
14. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет нечётное число очков, равна …
1
- 2
-1
2
- 3
1
- 3
15. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, равное трём или пяти, равна …
2
- 3
1
- 3
1
- 6
1
- 2
16. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, равное четырём или пяти, равна …
1
- 3
1
- 6
1
- 2
2
- 3
17. Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того, что на верхней грани
выпадет число очков, меньшее чем два, равна …
1
- 3
2
- 3
1
- 6
5
- 6