УДК 517.9 ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ

УДК 517.9
ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
В ОДНОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
Девальд А.В.
научный руководитель канд. физ.-мат. наук Полынцева С.В.
Сибирский федеральный университет
В работе рассматривается задача идентификации двух неизвестных коэффициентов параболического уравнения с условиями переопределения, заданными на двух
различных гиперповерхностях. С помощью условий переопределения, поставленная
обратная задача приводится к прямой задаче для нагруженного уравнения. На основании достаточно гладких входных данных, методом слабой аппроксимации доказана
разрешимость прямой задачи.
Решение обратной задачи выписано в явном виде через решение прямой задачи.
Доказана теорема существования и единственности классического решения обратной
задачи в классе гладких ограниченных функций.
Задачи идентификации коэффициентов для различных уравнений и систем уравнений в частных производных исследовались Ю.Е. Аниконовым, Ю.Я. Беловым,
Н.И. Иванчовым, В.М. Исаковым, А.И. Кожановым, А.В. Костиным, М.М. Лаврентьевым, А.И. Прилепко и другими.
В полосе
, , |0 ≤ ≤ , ∈ , ∈ }рассматривается задача Ко, =
ши
,
−
,
=
,
+
,
+ ! ,
+
0, ,
=
,
+
,
"
,
,
+# ,
∈
.
$ , ,
,
(1)
(2)
Здесь функции $ , , , соответственно, коэффициенты
, заданы в
, и
****
, ' = 1,5, непрерывные действительнозначные функции переменных , ,
& ,
причем
, > 0,
, > 0, 0 ≤ ≤ , > 0, = 2345 , ∈ . 6 − 4 –
мерное евклидово пространство, 4 > 1, 4 ∈ 7.
Неизвестными в задаче являются коэффициенты
, , # , и решение
, , задачи (1), (2).
Предположим, что выполняются условия переопределения на двух различных
гиперповерхностях
8 , ,
8 , ,#
9=:
9=:
,
,
, ,
∈П
, ,
∈П
,
,
,
,
где П , =
, |0 ≤ ≤ , ∈ },
,#
∈ ; 0, , ≠#
: , −заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования:
: 0,
=
8 ,
0 9,: 0,
=
8 , # 0 9,
∈
,
0 ≠# 0 .
(3)
(4)
и :
,
,
(5)
Ниже мы рассматриваем классические (достаточно гладкие) решения.
Под решением обратной задачи (1)-(4) в полосе
, ∗ 0 ≤ ∗ ≤ , понимается
тройка функций
, , ,
, , # , ,которые удовлетворяют соотношениям (1) –
(4).
Приведем задачу (1) – (4) к некоторой вспомогательной прямой задаче. Положим =
, =#
в (1) получим систему алгебраических уравнений, из которой
определяются неизвестные коэффициенты
, , # , . Они имеют вид
>? @ , ,AB
C>B @ , ,DB
F
, =
,# , = ,
(6)
E
где
,
G
H
H
,
G
=
,
=
=G
,
=G
,
,
K = −$ , , #
+$ , ,
N = −H L:
,
+
,
:
,
:
,
,
+
I|
′
O = H $ , ,
I|
JDB
I|
I|
"
JAB
I|
,
"
+
′
L: − # ′
− #′
+
I|
,
L: −
+H L: −
E
+
,
+
JAB
:
:
−
−
−
,
−
JAB
,
!
−H $ , , #
,
,
,
,
!
JDB
JDB
,
,
:
.
I|
I|
,
:
,
:
,
JDB
:
M,
,
JAB
M+
M,
M +
Подставив найденные коэффициенты a(t,x), b(t,x) в уравнение (1), получим прямую задачу
O
O
=
+
+
+ ! ,
+
,
,
,
K
K
+
"
F
,
+E$ , ,
,
(7)
0, , =
(8)
, , , ∈ .
Предполагаем, что входные данные достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следующее соотношение и удовлетворяют ему
R STU
′
′
P
| + |#
P + Q S U :V , Q + | & , | +
R R
WTX
WTX
R
R
+Q W X
, Q + Q W X $ , , Q ≤ ;, 9
R R
R R
****; 5 = 0,1; ] = 1,2; ' = ****
****; a = 0,10
*************
Здесь Z = 0,6
1,5; _ = 0,4
− 2_, ; − постоянная, ; > 1.
В П , предполагаем, что
|
K 0,
+$80, ,
|+Q
,
&
R
:V ,
R
= −$80, , # 0 9L:
0 9L:
O 0,
K 0,
0,
=
− #c 0
H 0,
$80, ,
I|
0,
JDB
Q+|
cc
−
0
−
c
0,
0 9 − H 0,
K 0,
| + |# cc
I|
:
JAB
| ≤ ;,
−
0,
:
M+
M ≥ e > 0, 10
$ 0, , # 0
≥ e > 0,
где
G 0,
H 0,
=
G 0,
H 0,
= G 0,
=
= G 0,
e , e − 2345 ; ' = ****
1,5; ] = 1,2.
ния
0,
+
0,
+
:
0,
:
0,
0,
+
I|
+
I|
0,
"
"
JAB
JDB
0,
0,
+
+
: 0,
,
0,
I|
: 0,
!
!
,
I|
0,
JAB
JDB
,
,
Методом слабой аппроксимации, в силу (9), (10), доказано существование реше, , прямой задачи (7), (8) в классе ; , , ,, 8 , ∗ 9 ∩ ; , , ,,! 8 , ∗ 9, где
; , , ,, 8
, ∗
|$ ∈ ;8
9= $ , ,
gl
, ∗
9, g
g hij
hg j
$ ∈ ;8
, ∗
****},
9,a = ****
0,2, k = 0,2
; , , ,,! 8 , ∗ 9 = $ , , | g l $ ∈ ;8 , ∗ 9, _ = ****
0,4}.
При этом, при , , ∈
, ∗ справедливы оценки
WTm
X
R
R
****,
Q W m
, , Q ≤ ;,
n X
, , n ≤ ;,
a, k = 0,2
_ = *****
0,4. 11
R R
R
В силу (9), (11) из 6 , 7 получим, что тройка функций
, ,# , ,
, , ,
где a(t,x) и b(t,x) имеют вид (6), принадлежит классу
7 ∗ = p , ,# , ,
, , | ∈ ; ,, ,, 8 , ∗ 9 ∩ ; , , , ,! 8 , ∗ 9;I
I , , # , ∈ ; , 8П , 9q
,
∗
и удовлетворяет неравенствам
!
RX
rn X
R
XJ
Здесь
, ,
R WTm
n ≤ ;; r r Q W m
R R
R
rn
R
mJ
,
; , 8П
m
WJ mJ
m
, ∗
,
, ,
Rm
n+ r n m# ,
R
9 = tu ,
mJ
Rm
n mu ,
R
Q ≤ ;,
, ,
n ≤ ;,
,
∈ ;8П
, ∗
∈
, ∗
, 12 ∈П
, ∗
. 13
****v.
9,k = 0,2
Имеет место
Теорема. Пусть выполняются условия (5), (9), (10). Тогда существует единственное решение
, ,# , ,
, , задачи (1)−(4) в классе Z ∗ , удовлетворяющее соотношениям (12), (13). Постоянная ∗ , 0 < ∗ ≤ T, зависит от постоянных C, e , e
из соотношений (9),(10).