 

Интерференция электромагнитных волн с произвольной ориентацией линий
поляризации
В статье 1, с.165  166
утверждается, что интерференция двух когерентных
радиоволн с произвольной ориентацией электрических векторов Е1 и Е 2 приводит к
результирующей интенсивности «пропорциональной величине
А12  А22  2 А1 А2Cos(1  2 )t  (1   2 )Cos ,
где  - угол между векторами E1 и E 2 ». Однако, данное выражение не является
справедливым. Во-первых, эта общеизвестная формула определяет интенсивность
(точнее квадрат амплитуды) результирующей волны, полученной от сложения двух
когерентных волн, линии поляризации которых совпадают (теория сложения
однонаправленных колебаний). Когерентность волн предполагает, что частоты волн
одинаковы: 1  2 , а разность начальных фаз постоянна или равна нулю. Под
(1   2 ) в указанной формуле понимается разность фаз когерентных волн, с которой они
приходят в точку наблюдения, а А1 и А2 - амплитуды когерентных волн, а не их
мгновенные значения, зависящие от времени. Заметим, что данная формула может быть
получена тригонометрическим путем сложения колебаний ( см. учебник по физике О.
Хвольсона), но более просто она получается на основе метода векторных диаграмм. Вовторых, в формулу автором введен угол  , который определяет проекцию одного
вектора на другой, т.е. A2  A1Cos , но тогда следует записать в формулу дополнительно
А12Cos 2 . В-третьих, для наблюдения интерференции волн с произвольной ориентацией
линий поляризации необходимо на их пути установить анализатор, который выделяет
однонаправленные когерентные компоненты рассматриваемых волн, что
было
установлено в опытах Араго и Френеля 2  5. Однако, об анализаторе в указанной
статье нет никакой информации. Все сказанное говорит о сложности данного вопроса и
необходимости его подробного обсуждения. В методике физики еще не выработана
единая терминология и единые взгляды на данный вопрос. Например, равнозначны ли
термины: сложение, суперпозиция, интерференция, взаимодействие ?
Пусть в точку наблюдения от двух когерентных источников
приходят
электромагнитные волны, линии поляризации которых E m1 и
E m 2 составляют
произвольный угол
 , АО - главная линия анализатора, установленного на их пути
(рис. 1). Волны распространяются перпендикулярно к плоскости рисунка. Анализатор
выделяет две параллельные составляющие Е11 и Е 22 от когерентных волн Е m1 и
E m 2 , которые могут интерферировать. Амплитуды интерферирующих волн могут быть
найдены из пространственной диаграммы (рис.1). При Еm1  Em 2  Em найдем
E11  EmCos , E22  EmCos(   ),
(1)
где  - угол, определяющий положение главной линии анализатора по отношению к
линиям поляризации когерентных волн. В результате сложения однонаправленных
колебаний анализатор пропускает результирующую волну, амплитуда которой может
быть найдена на основе векторной диаграммы интерферирующих волн Е11 и Е 22 при
их разности фаз  в точке наблюдения:
2
2
E 2  E11
 E22
 2E11E22Cos ,
(2)
или
E 2  ( E11  E22 ) 2  4 E11E22 Sin 2

2
.
(3)
От разности фаз  интерферирующих волн можно перейти к соответствующей
разности хода  волн, приходящих в точку наблюдения от двух источников:
2
  k 
 , где k - волновое число. Учитывая формулы (1), получим



2
(4)
E 2  Em2 Cos  Cos(   )  4Cos  Cos(   ) Sin 2 .
2

Учитывая, что E m2  I 0 - интенсивность одной из первичных когерентных волн;
E 2  I - интенсивность результирующей волны, полученной при интерференции,
получим основную формулу:


2
(5)
I  I 0 Cos  Cos(   )  4Cos  Cos(   )  Sin 2 .
2

Из оптики известно, что наиболее контрастная интерференционная картина
наблюдается, когда амплитуды интерферирующих компонент Е11 и Е 22 одинаковы. Из
формул (1) следует, что при


2
и
 (

2
 900 )
получим в первом случае
Е11  Е22  ЕСos
во втором
E11  E22  EmCos(


2
,
(6)
(7)
 900 ).
(8)
2
В качестве примера рассмотрим частный случай интерференции двух когерентных
волн, линии поляризации которых образуют угол  = 600. Согласно формул (6) наиболее
контрастная интерференция наблюдается при двух положениях анализатора:   300 и
  1200.
1. При  = 600 и  = 300 интерферирующие амплитуды согласно формуле (7)
3
равны E11  E22  EmCos300 
Em . На основании формулы (5) найдем
2



I  3I 0 1  Sin 2   3I 0Cos 2 .
(9)
2
2

Интерференционная картина показана на рис. 2 а. Если в точку наблюдения
когерентные волны приходят с разностью фаз, равной четному числу  ( = 2m, где m =
0, 1, 2, 3, …), то интенсивность принимаемой волны равна I=3I0 и, следовательно,
наблюдается максимум интерференции. При этом в центре интерференционного поля при
 =0 наблюдается максимум интерференции. Если разность фаз волн, приходящих в
точку наблюдения, равна нечетному числу  ( = (2m – 1) , где m = 1, 2, 3, … ), то I =
0 и, следовательно, наблюдается минимум интерференции.
2. При  = 600 и  = 1200 интерферирующие компоненты согласно формуле (8)
1
равны E11  E22  EmCos600  Em . На основании формулы (5) найдем
2
I  I 0 Sin 2

.
(10)
2
Соответствующая интерференционная картина показана на рис 2 б. При разности
фаз интерферирующих волн  = 2m наблюдается минимум интерференции I = 0; при 
=(2m – 1) 
максимум интерференции
I=I0 . В центре картины при = 0
наблюдается минимум интерференции. Следовательно, при переходе от  = 300 к  =
1200, т.е. при повороте анализатора на 900 интерференционная картина становится
дополнительной.
3. При  = 600 и  = 900 или  =900 + 600 из формулы (5) следует, что
3
(11)
I  I 0  Const.
4
Следовательно, при указанных положениях анализатора
(рис. 2 в)
интерференционная картина не наблюдается, так как главная линия анализатора ОА (рис.
1) оказывается перпендикулярной к одному из векторов E m1 или
E m 2 и одна из
интерферирующих компонент Е11 или Е 22 оказывается равной нулю.
Если в рассматриваемом случае при =600 главная линия анализатора составляет
произвольный угол , который не равен углам, указанных в п. 1 – 2, то интерферирующие
компоненты
Е11 и
Е 22 оказываются не равными друг другу и интерференционная
картина становится менее выразительной: в точках минимумов интенсивность
результирующей волы становится не равной нулю, а величина максимумов уменьшается.
Таким образом, под интерференцией волн понимается сложение или
суперпозиция однонаправленных колебаний, которое приводит к перераспределению
энергии в пространстве. Для волн, линии поляризации которых совпадают, термины
сложение, суперпозиция и интерференция эквивалентны. Волны с взаимно
перпендикулярными линиями поляризации или волны с произвольной ориентацией
линий поляризации непосредственно интерферировать не могут. Для наблюдения
интерференции этих волн требуется наличие анализатора. Однако можно осуществить
непосредственное сложение как волн с взаимно перпендикулярными, так и
с
произвольными ориентациями линий поляризации, которое сводится к математическому
исключению времени из уравнений колебаний 6  9. Сложение таких волн приводит к
образованию результирующей волны, обладающей в общем случае эллиптической
поляризацией, которая может вырождаться при некоторых условиях в волну с круговой
или линейной поляризацией. Следовательно, говоря о волнах с произвольной ориентацией
линий поляризации, следует различать понятия: интерференция и сложение волн.
Интерференция возможна только при наличии анализатора, сложение когерентных волн
может осуществляться непосредственно. Однако, здесь дополнительно возникает вопрос
об анализе результирующей волны, которая получилась в результате сложения двух
линейно поляризованных волн, электрические векторы которых перпендикулярны или
составляют произвольный угол. Из оптики известно, что такой анализ осуществляется с
помощью анализатора: если при вращении анализатора интенсивность принимаемой
волны не изменяется, то результирующая волна обладает круговой поляризацией, если
интенсивность изменяется от максимального значения до некоторого минимального
значения не равного нулю, то результирующая волна обладает эллиптической
поляризацией, для линейно поляризованной волны изменение интенсивности
принимаемой волны подчиняется закону Малюса.
Учитывая изложенное, полученная формула (5) допускает другую трактовку.
Действительно, данная формула определяет зависимость интенсивности I
волны,
выходящей из анализатора от угла  его поворота, т.е. I= I() в данной точке
пространства, характеризуемой постоянным значением разности фаз
 = Const
взаимодействующих волн E m1 и E m 2 . Данная зависимость I=I() , выраженная в
полярных координатах называется полярной диаграммой результирующей волны, с
помощью которой осуществляется анализ поляризованного излучения в любой точке
пространства.
Найдем полярные диаграммы результирующих волн, полученных от сложения
двух когерентных волн, линии поляризации которых образуют угол  = 600 .
1. В центре интерференционного поля при разности фаз  = 0
найдем
из формулы (5)
2
3

3
(12)
I ( )  I 0  Cos 
Sin  .
2
2

Данная полярная диаграмма результирующей волны показана на рис. 3 а. Она
соответствует линейно поляризованной волне в соответствии с законом Малюса
(13)
I ( )  3I 0Cos 2 (  300 ).
2. Полярная диаграмма результирующей волны при разности фаз  =/2
описывается формулой
(14)
I ( )  I 0 Cos 2  Cos 2 (600   ),
которая соответствует волне с эллиптической поляризацией (рис. 3 б). Полуоси эллипса
можно найти из соотношения
I
а
1,5
 max 
 3.
в
I min
0,5
3. Полярная диаграмма результирующей волны при разности фаз  =  показана
на рис.3 г. Она соответствует волне с линейной поляризацией и описывается уравнением
(15)
I ( )  I 0Cos 2 (  1200 ).
4. Рассматривая интерференционные картины (рис. 2), можно заметить, что
интенсивности волн, проходящих через анализатор, в некоторых точках, например, при
разности фаз  = 1200 , одинаковы, т.е. интенсивность волн в этих точках не зависит от
углового положения анализатора. Следовательно, при сложении двух когерентных волн,
2
линии поляризации которых составляют угол  = 600 при разности фаз равной  
3
образуется волна с круговой поляризацией. Полярная диаграмма этой волны согласно
формуле (5) описывается уравнением
3
(16)
I ( )  I 0  Const
4
и показана на рис. 3 в.
Таким образом, рассмотрев различные аспекты взаимодействия двух когерентных
волн с произвольной ориентацией линий поляризации, на основании формулы (5) можно
получить законы взаимодействия двух когерентных волн, линии поляризации которых
взаимно перпендикулярны E m1  E m 2 . При  = 900 из формулы (5) получим законы
наиболее контрастной интерференции поляризованных волн 3, с.759  761 :
при  =450
при  = 135
I  2 I 0Cos 2

I  2 I 0 Sin 2
2
,

.
2
Из формулы (5) так же вытекают законы интерференции волн линии поляризации
которых совпадают. При  = 0 и  = 0 найдем обычный закон интерференции двух
когерентных волн
I  4 I 0Cos 2

.
2
Рассмотренная теория взаимодействия волн с произвольной ориентацией линий
поляризации подтверждена экспериментально в диапазоне СВЧ 8. .
Литература
1. Ерухимов Л.М. Интерференция радиоволн. Физическая энциклопедия, т. 2. – М.: Сов.
Энциклопедия, 1990. – 703 с.
2. Френель О. Избранные труды по оптике. М.: ГИТТЛ, 1955. – 604 с.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1970. – 856 с.
4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики, т.3. – М.: Высшая школа, 1979. - 512 с.
5. Молотков Н.Я. Волновые электромагнитные процессы. Оптика и СВЧ. Palmarium
Academik Publishing, 2014. - 538 c.
6. Хайкин С.Э. Поляризация света. Физический энциклопедический словарь, т.4. –М.:
Сов. Энциклопедия, 1965. 592 с.
7. Молотков Н.Я. Колебательные процессы. Учебные эксперименты. Долгопрудный.
Интеллект, 2013. – 288 с.
8. Молотков Н.Я. Учебные эксперименты по волновой оптике. СВЧ демонстрации.
Долгопрудный. Интеллект, 2010. – 348 с.
9. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. – М.: Наука, 1980. – 752 с.
.