Задание 2. Курс “Квантовые явления в наноструктурах”

Задание 2. Курс “Квантовые явления в наноструктурах”
Вам нужно выбрать одну задачу, отличную от выбранных остальными. Срок сдачи 11 мая
2016 г. После этой даты ваш результат умножается на коэффициент 1−x/300, где x – это число
дней, прошедших после 11 мая. Сдача задания подразумевает аккуратно написаное решение
задачи и умение объяснить то, что написано.
Задача 1. Определить к какому классу симметрии по классификации Вигнера-Дайсона относятся следующие гаp2
p2
мильтонианы: (а) H = 2m
+ V (r), (б) H = 2m
+ h(r)σ, где V (r) и h(r) заданные скалярный потенциал и
магнитное поле.
Задача 2. Определить к какому классу симметрии по классификации Вигнера-Дайсона относятся следующие га2
+V (r), (б) H = pσ+V (r), где V (r) и A(r) заданные скалярный потенциал
мильтонианы: (а) H = (p−eA/c)
2m
и векторный потенциал магнитного поля.
Задача 3. Гамильтониан, описывающий квазичастицы в графене, представляет собой матрицу 4 × 4, H = vτ3 (σx px +
σy py ). Он обладает симметрией по отношению к обращению времени: H = T0 H T T0 , где T0 = σ1 τ1 , и
киральной симметрией: H = −C0 HC0 , где C0 = σ3 τ0 . Здесь σ0,1,2,3 и τ0,1,2,3 стандартные матрицы Паули.
H ′ = vτ3 (σx px + σy py ) + V (r)τ3 σ1 .
Задача 4. Гамильтониан, описывающий квазичастицы в графене, представляет собой матрицу 4 × 4, H = vτ3 (σx px +
σy py ). Он обладает симметрией по отношению к обращению времени: H = T0 H T T0 , где T0 = σ1 τ1 , и
киральной симметрией: H = −C0 HC0 , где C0 = σ3 τ0 . Здесь σ0,1,2,3 и τ0,1,2,3 стандартные матрицы Паули.
H ′ = vτ3 (σx px + σy py ) + V (r)τ0 σ0 .
Задача 5. Гамильтониан, описывающий квазичастицы в графене, представляет собой матрицу 4 × 4, H = vτ3 (σx px +
σy py ). Он обладает симметрией по отношению к обращению времени: H = T0 H T T0 , где T0 = σ1 τ1 , и
киральной симметрией: H = −C0 HC0 , где C0 = σ3 τ0 . Здесь σ0,1,2,3 и τ0,1,2,3 стандартные матрицы Паули.
H ′ = vτ3 (σx px + σy py ) + V (r)τ0 σ1 .
Задача 6. Гамильтониан, описывающий квазичастицы в графене, представляет собой матрицу 4 × 4, H = vτ3 (σx px +
σy py ). Он обладает симметрией по отношению к обращению времени: H = T0 H T T0 , где T0 = σ1 τ1 , и
киральной симметрией: H = −C0 HC0 , где C0 = σ3 τ0 . Здесь σ0,1,2,3 и τ0,1,2,3 стандартные матрицы Паули.
H ′ = vτ3 (σx px + σy py ) + V (r)τ3 σ0 .
Задача 7. Для ортогонального случая для d = 2 β-функция имеет вид β(g) = −2/π в области g ≪ 1. Оценить с
экспоненциальнoй точностью зависимость длины локализации от параметра kF l.
Задача 8. Для унитарного случая для d = 2 β-функция имеет вид β(g) = −1/(2π 2g) в области g ≪ 1. Оценить с
экспоненциальнoй точностью зависимость длины локализации от параметра kF l.
Задача 9. Пусть β-функция имеет вид β(g) = (g/π)[(g − 1)/(g + 1)] ln(1 + 1/g). Найти критический индекс корреляционной длины.
Задача 10. Построить фазовый портрет уравнений ренормгруппы (c1 = 0.8 и c2 = 0.08):
dt
= −tγ + t2 (1 + c1 γ 2 ),
d ln L
dγ
= t − 4t2 (1 + c2 γ 3 ).
d ln L
и найти значение критического индекса корреляционной длины в фиксированной точке.
Задача 11. Построить фазовый портрет уравнений ренормгруппы для унитарного класса с взаимодействием в размерности d = 2 + ǫ
dt
= ǫt − 2t2 (1 − (1 + 1/γ) ln(1 + γ)),
d ln L
dγ
= −tγ(1 + γ).
d ln L
и найти значение критического индекса корреляционной длины в фиксированных точках.
Задача 12. Построить фазовый портрет уравнений ренормгруппы
1
dσxx
2 −2πσxx
cos(2πσxy ),
− Dσxx
e
=− 2
d ln L
2π σxx
dσxy
2 −2πσxx
sin(2πσxy ).
= −Dσxx
e
d ln L
и найти значение критического индекса корреляционной длины в фиксированной точке. Считать, D > 10.
2
1
∂G
∂G
Задача 13. Найти общее решение уравнения −t ∂G
∂t + ν ∆θ ∂∆θ + y∆σ ∂∆σ = 0.
Задача 14. Показать, что в критической точке при r
L−d(q1 +q2 )−∆q1 −∆q2 (r/L)∆q1 +q2 −∆q1 −∆q2 .
≪ L справедливо равенство
D
E
ψε (r)2q1 ψε (0)2q2 =
Задача 15. Найти скейлинговую зависимость корректора плотностей состояний ρ(ε, r)ρ(ε + ω, r + R) в области
l ≪ R ≪ Lω ≪ min{ξε , L}.
Задача 16. Вычислить функцию распределения для Pq , считая, что τq = d(q − 1) − γq(q − 1), где γ < 0.
Задача 17. Вычислить плотность трёхчастичных состояний, в которых есть два электрона и дырка. Считать, что
энергия одного из электронов равна ǫ, суммарная энергия трехчастичного состояния равна нулю, а типичное расстояние между одночастичными уровнями равно ∆.
Задача 18. Для термически-активированного проскальзывали фазы в квазиодномерный проволоках вычислить сопротивление с экспоненциальный точностью (определить численный коэффициент) при Tc − T ≪ Tc .
Задача 19. Для квазиодномерного сверхпроводящего кольца, через который проходит магнитное поле, определить
зависимость незатухающего тока от магнитного пота через кольцо при высоких температурах T ≫ ER =
(π/2)2 SνD∆20 /(RTc ).
Задача 20. Вычислить среднеквадратичное расстояние для пары вихрь-антивихрь, взаимодействующих по логарифмическому закону в d = 2.
Задача 21. Оценить взаимодействие зарядов на островках j и j + r для одномерного джозефсоновского массива.
Задача 22. Вычислить электростатический потенциал, создаваемый электрическим зарядом Q на расстоянии R в
настоящем двумерном мире.