м.н. В.П.Чуваков. Лекция.Определенный интеграл

Лекция: Определенный интеграл
1. Введение.
Р ас с м от р и м г р аф и к ф ун кц ии
на
о т р ез к е
a; b
и
y  f (x) н еп р е р ы вн ой
в ыч ис л и м
п л ощ ад ь
ф и гу р ы,
о г ра ни че нн о й л ин и ям и y  0, y  f ( x), x  a, x  b. Эт у
ф иг у ру бу д е м на зы в ат ь к ри в ол ин е йн о й т ра пе ц и ей.
Р ас с м от р и м
р аз б ие ни е
о т ре з ка
T
a  x0  x1  x2  ...  xn1  xn  b. Д ля ка жд о г о р аз б и ен ия
T н аи б о ль ш ее з на че ни е xi буд е м о б оз н ач ат ь  .
В е лич ин а  х а ра к т е р изу ет ся т ем, чт о   0  xi  0  i.
a; b :
n
S n   yi  xi , S  lim S n .
i 0
n 
1
О пр ед е л е н и е. И нт ег р а л ь но й сум м о й наз ыв а ет ся с ум м а
n
 (n)   f (t i )  xi , гд е xi  t i  xi 1
i 0
Ко н ечн ы й
п ред е л
ин т ег р а ль н ы х
с ум м
 0
п ри
b
на зы ва е тс я оп р ед е л ен н ым и нт ег р а л о м:
на зы ва е тс я
инт е г р ал
и нт е г р и ру ем о й
a;b,
на
I   f (t )dt.
Ф ун кц ия
a
если
оп р ед е ле нн ы й
I су щ е ст ву е т.
Чи с л о a наз ы ва ет с я ни ж ни м п ред е л о м ин те г р и р ов ан ия,
b  ве р х ни м п р ед е л о м инт е г ри р о ва ни я.
2. Суммы Дарбу.
Р ас с м от р и м
a; b :
р аз б и ен ие
О б оз н ачи м
от р ез к а
T
a  x0  x1  x2  ...  xn1  xn  b.
mi  min f ( x), M i  max f ( x).
че р ез
xi
Т о гд а
xi
mi  f (t i )  M i .
Ни ж н ей
с у мм о й
Да р б у
буд е м
н аз ыв ат ь
с ум м у
вид а
n
s T   mi  xi ,
в е р хн е й
i 0
n
S T   M i  xi .
i 0
Т о гд а
су м м ой
sT  I  S T .
2
Дарбу
–
с ум му
Ут в. 1 С во й с тв а су м м Д а рб у :
sT  S T .
1)
2)
Ес л и
п ол уч и т ь
к д ан н о му р аз б ие ни ю T
р аз б и ен и е т о
T1 : xk ; xk 1

до б ав ит ь
т оч к у
 xk ; xx; xk 1 ,
и
то
ни жн яя с у мм а ув е л ичи тс я, а ве р х н яя – у ме нь ши т ся, т. е.
s T1  sT , S T1  S T
3)
Д ля
лю б ы х
д ву х
ра з би ен ий
сп р ав ед ли в о н е р ав е нс тв о
T1 и T2 от р е з ка
s T1  S T2 .
Док аз ат ель ст во п у нк т а 3 . П у ст ь
м ес т о ц еп о ч ка не р а ве нс тв
Т а ки м о б р а з ом,
T  T1  T2 . Т о г да и м ее т
s T1  s T  ST  S T2
s  во з р ас т аю щ ая п о с лед о ва те л ьн о ст ь, а
S   уб ы ваю щ а я
T
a; b 
T
и сущ е ст ву ет ч ис л о, р азд е ляю щ е е дв а
мн о ж е ств а.
Ут в . 2
( Н е об ход и м о е
и нт егр и ру ем о ст и )
f (x)
и
д о с т ат очн о е
 S T  sT  0 
инте г р и ру ем а
сущ е ств уе т р аз би е н ие, д л я к от о р о г о
n
n
i 0
i 0
S T  s T   ( M i  mi )xi   i  xi ,
на зы ва е тс я к о ле б ан ие м ф ун кц ии.
3
для
у с ло в и е
лю б о г о

S T  sT   .
где
в е ли чи на
i
Те о р е ма .
f (x) 
Ес л и
м о н от о н на я
ф у нк ц ия ,
то
S T  sT  0.
f (x)  в оз р а ст а ет. Р а сс м о т ри м
р аз б ие ни е T от р ез к а a; b : a  x0  x1  x2  ...  xn1  xn  b.
Т о гд а m1  f (a), M 1  m2 , M 2  m3 , .... , M n1  mn .
Док аз ат ель ст во.
П уст ь
Т о гд а
n
S T  s T   ( M i  mi )xi    ( M 1  m1  M 2  m2  ...  M n  mn ) 
i 0
   ( f (b)  f (a) ).
  0.
Сл е дс тв и е1 .
О т сю д а
Е с ли
сл ед уе т,
чт о
S T  sT  0
пр и
f (x)  н е пр е рыв н а я ф ун к ци я , т о
S T  sT  0.
Док аз ат ель ст во . Р аз о бъ е м от р ез о к
a; b :
м он о т он н о ст и:
a ; b
на ин те р ва л ы
a  c0  c1  c2  ...  cn1  cn  b.
На
к а жд о м и нт е рв а л е f (x) м о н от о нн а и из д о к аз ат е ль ст ва
те о р е м ы
м о жн о
п ол уч ит ь
сл ед ую щ ие
н е ра ве н ств а:
S 1  s1   | f (c1 )  f (a) |,
S 2  s 2   | f (c2 )  f (c1 ) |, S 3  s 3   | f (c3 )  f (c2 ) |.... и т. д.
Т. е.
S T  s T    M , гд е M  не к о т о ра я к о нс та нт а.
f (x) 
Сл е дс тв и е2 .
Е с ли
о тр ез ке
т о он а и нт ег ри р у е ма н а э т о м от р ез к е .
a ; b,
н е пр е рыв н а я
3. Свойства определенного интеграла.
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
4
ф ун к ци я
на
f (x)  н е пр е ры вн а н а a ;b,
т очк а
та ка я ,
что
c (a; b)
Те о р е ма ( о с р ед н е м) . Е с ли
то
с у щ ес тв у е т
b
 f ( x)dx  f (c)  (b  a).
a
Доказательство. Пусть
m и M - н аи м ен ьш е е и на и б о ль ш е е
зн ач ен ие ф ун к ци и на о т ре з ке a ;b. Т о гд а
b
m  (b  a) 

a
b
1
f ( x)dx  M  (b  a)  m 
 f ( x)dx  M 
b  a a
b
1
 f ( x)dx  п р ом е жу т оч н ое з н ач ен ие не п р е ры в н ой
b  a a
ф ун кц ии f (x), к о т о р о е д о ст иг а ет ся в н е к от о р о й т оч к е c.
b
1
 f ( x)dx .
Т. е. f (c) 
b  a a
4. Дифференцирование интеграла по верх нему
пределу.
x
Р ас с м от р и м ф у н кц и ю
Ф( x ) 
 f (t )dt ,
x (a; b).
a
f (x)  н еп р ер ыв на н а a ;b, то F (x) 
ди ф фе р ен ц ир у е м а на (a ; b) и Ф ( x)  f ( x).
( F ( x)  пе р в о о б ра зн ая д л я ф ун кц ии f (x) )
Те о р е ма . Ес л и
x  x
F  F ( x  x)  F ( x) 
Док аз ат ель ст во.
 f (t )dt.
x
П о т е о р ем е о с р ед не м с ущ е с тву ет з н ач ен ие
c ( x ; x  x)
x  x
та к о е, ч т о
F 
 f (t )dt  f (c)  x.
x
От сю д а п о луч а ем, ч то
F
 f (c)  f ( x) п ри x  0.
x
5
Ф о р м ул а Н ь ют о н а - Ле й бн и ца
Ес ли
н еп р е р ыв на я
f (x) 
ф у н кц ия
a ;b,
на
то
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a), гд е
F (x)  п е рв о о б р аз на я дл я f (x).
a
x
Ф( х ) 
 f (t )dt  F ( x)  C  Ф(а)  0  С   F (а).
a
x
Ф( х ) 

b
f (t )dt  F ( x)  F (а)   f (t ) dt  F (b)  F (а).
a
a
Св о й ст ва о пр е де ле нн ог о ин т ег ра ла
b
1.
a
2.
b
b
a
a
 ( f (t )  g (t )) dt   f (t )dt   g (t )dt
b
b
a
a
   f (t ) dt     f (t )dt
b
3. Если
f ( x)  0, т о
 f (t )dt  0.
a
b
4. Если
f ( x )  g ( x) , т о

a
5.
Формула
a
интегрирования
b
интеграле
b
f (t )dt   g ( x) dx
 u  vdx
a
по
частям
в
определенном
b
 uv   u   v dx
a
6. Ф о р му л а з ам е ны пе р е ме нн ы х в оп р ед е ле нн о м ин те г р ал е
Ес ли f (x) не п ре р ы вн а на a ;b , x   (t ), t   ;  , a   ( ),

b   ( ), то



b
 f ( (t ))  (t ) dt   f ( x)dx
a
Д о ка за т ел ь ств о с л ед ует из ф о р м у лы
6
F ( (t ))  f ( (t ))   (t )
Приложение
Выч ис л ен и е п л ощ а де й
Выч ис л ен и е о б ъ е м ов
П ус ть в п р ос т р ан ст ве з ад ан о те л о V и и зве с тн ы п л ощ ад и
S (x) ег о се че ни й п л ос к о ст ям и, п е рп ен ди к ул я рн ы ми о си
7
OX и п р о х од я щ и ми ч е ре з т о ч ку x.
Т о гд а о бъ е м т е л а
вы р а жа е тс я ф о р му л о й
b
V   S ( x)dx
a
О б ъ ем т ел в ра щ ен и я.
Ес ли т е л о V пол уч ен о в р ащ е ни е м к рив о й
y  f (x) во к ру г
2
о си OX , т о пл о щ ад ь с еч ен ия р ав н а S ( x)   y , а
о бъ е м
b
те л а
V выч ис л яе т ся п о ф о р му л е V    y 2 dy
a
8
Пр и м ер ы.
1, 5
1.
 4x
0,5
2
dx

 4x  5
2
2.
 xe
x
dx 
1
3
3.

3
2
18
x
dx 
3
4. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и
ф ун кц ий y  x, y  5  x, x  1, x  2.
5. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и
ф ун кц ий y  x  2, y  x  4 x,2.
6. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и
2
ф ун кц ий
y  x, y  x  2.
7. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и
ф ун кц ий
y  1  x, y  x  1  2, y  2( x  2) 3  2.
9
8. В ы чи с ли ть п л ощ ад ь ф и гу р ы, ог р ан и че нн о й г раф и к ам и
ф ун кц ий
y  2 x , y   x  3.
9. Н айд ит е
объем
о г ра ни че нн о г о
ци ли нд р ам и
т ел а,
д вум я
x2  y2  R2 , x2  z 2  R2.
1 0. Н айд ит е
о бъ е м
пи р а мид ы ,
у
к о т о р ой
пл о щ ад ь о сн о ва ни я ра вн а
S и в ыс о т а ра вн а H .
1 1. На йди т е о бъ е м
о г ра ни че нн о г о
п ов е р хн о ст я ми
т ел а,
x 2  4 y 2 1, z  x ( x  0), z  0.
10
1 2. Н а йди те о бъ е м те л а,
о б р аз ов а нн о г о
в р а щ ен и ем
во к р уг ос и
OX ф иг ур ы,
о г ра ни че нн о й
г р а ф и ка м и
ф ун кц ий
y  2x  x 2 , y  x  2
1 3. Н айд ит е о бъ е м т ел а,
о б р аз ов а нн о г о
в р а щ ен и ем
во к р уг
п ря м о й
x  2
о б л ас ти,
ог р а н ич ен н ой
г ра ф и к а ми ф ун кц и й
y  x 3 , x   1, x  0, y  4
1 4. В ы чи с ли ть о бъ е м т е л а,
п ол уч ен н ог о
в р ащ ен ие м
э лл ип с а
о си
x2 y2

1
a2 b2
во к р уг
OX .
Т. е. г р аф и ка
y2 
b2 2
(a  x 2 )
2
a
во к р уг о с и
OX .
4
V   a b2
3
В о к ру г о си
OY .
4
V   b a2
3
11
Пр и л ож е ни е о пр е де ле н н ог о
физ ич е ск их з ад ач
ин т ег р ал а
дл я
ре ш е ни я
а) П ут ь, п р ой д е нн ый т е л о м, д ви га ю щ им ся с о с к о р ос ть ю
v(x) за п р о м е жу т о к в р е м ен и t1 ; t 2 , в ы ра ж а ет ся ф о р му л о й


b
V   S ( x)dx
a
F  F (x), и
a ; b р ав н а
б) Р а б от а п е ре м ен н о й си л ы, з ад ан н ой ф о р му л о й
на п ра в ле нн о й
в д ол ь
о си
OX
b
V   F ( x)dx
a
в) Д ав л ен и е ж ид к о ст и н а
ве р ти к а ль ную
пл а ст ин у,
о г ра ни че нн ую
ли ни я ми
x  a, x  b, y  f1 ( x), y  f 2 ( x) ,
вы чи с ля ет ся
по
ф о р му л е
b
P  g  ( f1 ( x)  f 2 ( x) )  x dx
a
г) Да вл е ни е жид к о ст и н а
г о ри з он та л ьну ю п л ас ти ну п о
«за к о ну П а с к а ля » р ав н о в е су
ст о л б а
э т ой
ж ид к о ст и,
и
P  g  S h, гд е   пл от н о ст ь
жи д к ос ти,
пл а ст ин ы,
п ог р уж е ни я.
S
пл ощ ад ь
h  глу б ин а
12
на
о т ре з к е
1 5. Н айд ит е р а б оту , к от о р у ю
ну жн о
з ат р ат ит ь,
чт о б ы
вы к ач ат ь
жи д к ос ть
пл о тн о с тью  из ци ст е рн ы ,
им ею щ е й
форму
па р а б о ли че с к о г о ц и ли нд р а.
1 6. Н айд ит е д ав л е ни е в од ы
пл о тн о с тью
на

ве р ти к а ль ную
пл а ст ин у,
им ею щ ую ф о р му т р ап ец ии с
ве р х ни м
о с н ов ан ие м,
л еж ащ и м
на
п о ве р х н ос т и
во ды.
1 7. Н айд ит е
пл о тн о с тью

д ав л е ни е в од ы
на к ру г л ы й
ил лю м ин ат о р д и а м ет р о м
на п о л ови ну п ог р у ж ен ны й
во ду.
D,
в
1 8. Н айд ит е р а б от у , к о т о рую
ну жн о
з ат р ат ит ь ,
чт о б ы
р ас тя ну ть п р уж ин у с од ни м
ук р е пл е нн ы м
к о нц о м
ж ес т к ос ти c на р а сс т оя ни е
S.
13