СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА

Известия вузов. Математика
2014, № 11, c. 50–63
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: [email protected]
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА
ДОСТИЖИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Аннотация. Для управляемых систем со случайными коэффициентами исследуется свойство
статистической инвариантности, выполненное с заданной вероятностью. Получены достаточные условия инвариантности множества относительно управляемой системы, выраженные в
терминах функций Ляпунова и динамической системы сдвигов. Изучаются статистические
характеристики множества достижимости управляемой системы, которая параметризована с
помощью метрической динамической системы.
Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, статистически инвариантные множества.
УДК: 517.977
Введение
Данная статья является продолжением работ [1]–[4], в которых введено расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных
включений. Это расширение состоит в исследовании множеств, которые не являются инвариантными в “классическом” смысле, но обладают свойством статистической инвариантности. Напомним приведенные в работах [1]–[4] определения статистически инвариантных
множеств для управляемой системы
ẋ = f (ht σ, x, u),
(t, σ, x, u) ∈ R × Σ × Rn × Rm ,
(0.1)
параметризованной топологической динамической системой (Σ, ht ); здесь Σ — полное метрическое пространство, ht — поток на Σ. Обозначим через D(t, σ, X) множество достижимости системы (0.1) в момент времени t при фиксированном σ ∈ Σ из начального множества
X. Инвариантность заданного множества M(σ) = {(t, x) : t 0, x ∈ M (ht σ)} понимается в
статистическом смысле, т. е. множество M(σ) является статистически инвариантным относительно управляемой
системы
(0.1), если относительная частота поглощения множества
достижимости D t, σ, M (σ) системы (0.1) множеством M (ht σ) равна единице. Отметим
также, что множество M(σ) называется статистически слабо инвариантным относительно системы (0.1), если для любой точки x ∈ M (σ) найдется такое решение ϕ(t, σ, x) этой
системы, удовлетворяющее начальному условию ϕ(0, σ, x) = x, что верхняя относительная
частота попадания данного решения в множество M(σ) равна единице.
Поступила 14.06.2013
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 12-01-00195.
50
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
51
Работа посвящена исследованию статистически инвариантных множеств и статистических характеристик управляемых систем со случайными коэффициентами. В отличие от
детерминированных систем, для систем со случайными
коэффициентами часто возникает
ситуация, когда множество достижимости D t, σ, M (σ) находится в множестве M (ht σ) с
относительной частотой, равной единице, причем это происходит не для всех, а для почти
всех σ из некоторого множества Σ∗ ⊂ Σ, вероятностная мера которого ν(Σ∗ ) = µ, µ ∈ (0, 1].
Поэтому для таких систем необходимо рассматривать свойства статистической инвариантности, выполненные с заданной вероятностью. В данной работе исследуются условия инвариантности (в указанном выше смысле) множества M(σ), выраженные в терминах функций
Ляпунова, производной Кларка, динамической системы сдвигов и характеристики κ(σ),
которая является относительной частотой попадания траектории верхнего решения z ∗ (t, σ)
задачи Коши
ż = w(ht σ, z), z(σ, 0) = z0 (σ)
в множество (−∞, 0]. Здесь также получены оценки различных статистических характеристик для управляемых систем со случайными коэффициентами.
Результаты работы могут найти применение в задачах, возникающих в биологии, экономике и технике, которые описываются следующей вероятностной моделью. Рассматривается
управляемая система, которую можно отождествить со стационарным случайным процессом. Для этого процесса длины промежутков между моментами переключения с одного
состояния на другое являются случайными величинами с заданной функцией распределения. Множество состояний процесса конечно; для него заданы начальное вероятностное
распределение и вероятности перехода с одного состояния на другое. Представляет интерес оценить относительную частоту поглощения множества достижимости управляемой
системы заданным множеством M(σ) и получить условия инвариантности и статистической
инвариантности множества M(σ), выполненные с заданной вероятностью.
1. Характеристики инвариантности множества достижимости управляемой
системы со случайными коэффициентами
Исследуются статистические характеристики множества достижимости семейства управляемых систем
ẋ = f (ht σ, x, u),
u ∈ U (ht σ, x),
(t, σ, x) ∈ R × Σ × Rn ,
(1.1)
зависящих от параметра σ ∈ Σ. В частности, будем изучать управляемую систему, порожденную метрической динамической системой (Σ, A, ν, ht ) и функциями f и U . Напомним,
что метрической динамической системой называется четверка (Σ, A, ν, ht ), где Σ — фазовое пространство динамической системы; A — некоторая сигма-алгебра подмножеств Σ;
ht — однопараметрическая группа измеримых преобразований фазового пространства Σ в
себя; ν — вероятностная мера с носителем на пространстве Σ, инвариантная относительно потока ht , т. е. ν(ht A) = ν(A) для всех A ∈ A и любого t ∈ R (например, [5], с. 12).
Предполагаем, что множество Σ содержит бесконечное число элементов.
Условие 1. Существует σ ∈ Σ, для которого выполнены следующие свойства:
1) для каждого t ∈ R функция (x, u) → f (ht σ, x, u) непрерывна;
2) для каждой точки (x, u) ∈ Rn × Rm функция t → f (ht σ, x, u) кусочно-непрерывна;
3) функция (t, x) → U (ht σ, x) принимает значения в пространстве comp(Rm ) непустых
компактных подмножеств Rm и полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа для всех
(t, x) ∈ R × Rn .
52
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
Пусть σ ∈ Σ фиксировано и удовлетворяет условию 1. Системе (1.1) поставим в соответствие дифференциальное включение
ẋ ∈ F (ht σ, x),
F (ht σ, x) = co H(ht σ, x),
Rn
(1.2)
множество
состоит из
где для каждой фиксированной точки (σ, x) ∈ Σ ×
всех предельных значений функции (t, x) → f ht σ, x, U (ht σ, x) при (ti , xi ) → (t, x). Далее,
запись co H(ht σ, x) означает замыкание выпуклой оболочки множества H(ht σ, x).
Каждому множеству X ∈ comp(Rn ) и моменту времени t 0 поставим в соответствие
множество D(t, σ, X), состоящее из всех значений в момент t решений t → ϕ(t, σ, x) включения (1.2), когда начальное условие ϕ(0, σ, x) = x пробегает все множество X. Множество
D(t, σ, X) является сечением в момент времени t 0 интегральной воронки включения
(1.2) и называется множеством достижимости управляемой системы
(1.1). Предполагаем, что для заданного множества X ∈ comp(Rn ) множество D t, σ, X существует при
всех t 0. Это означает, что для каждого x ∈ X существует решение ϕ(t, σ, x) включения (1.2), удовлетворяющее начальному условию ϕ(0, σ, x) = x и продолжаемое на полуось
R+ = [0, ∞).
Введем отображение t → M (ht σ) со значениями в пространстве comp(Rn ) и множество
H(ht σ, x)
M(σ) = {(t, x) : t 0, x ∈ M (ht σ)}.
Предполагаем, что функция t → M (ht σ) непрерывна в метрике Хаусдорфа. Для определения статистических характеристик множества достижимости рассмотрим подмножество
числовой прямой
. α(ϑ, σ, X) = t ∈ [0, ϑ] : D t, σ, X ⊆ M (ht σ) .
Определение 1 ([1], [2]). Относительной частотой поглощения множества достижимости
D(t, σ, X) системы (1.1) множеством M(σ) называется характеристика
mes α(ϑ, σ, X)
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t, σ, X) ⊆ M (ht σ)}
.
= lim
,
(1.3)
freq(σ, X) = lim
ϑ→∞
ϑ→∞
ϑ
ϑ
где mes — мера Лебега на числовой прямой. Если предел (1.3) не существует, то характеристики
mes α(ϑ, σ, X)
mes α(ϑ, σ, X)
.
.
, freq∗ (σ, X) = lim
freq∗ (σ, X) = lim
ϑ→∞
ϑ
ϑ
ϑ→∞
называются, соответственно, верхней и нижней относительной частотой поглощения множества достижимости D(t, σ, X) системы (1.1) множеством M(σ).
Определение 2 ([1], [2]). Множество M(σ) называется статистически
инвариантным
относительно управляемой системы (1.1), если выполнено равенство freq σ, M (σ) = 1.
Множество M(σ) называется положительноинвариантным
относительно системы (1.1),
если для любого t 0 выполнено вложение D t, σ, M (σ) ⊆ M (ht σ).
Пусть задано положительное число r. Обозначим через M r (σ) = M (σ)+Or (0) замкнутую
r-окрестность множества M (σ) в Rn , через N r (σ) = M r (σ)\M (σ) — внешнюю r-окрестность
границы M (σ), также построим множество Nr (σ) = {(t, x) : t 0, x ∈ N r (ht σ)}.
Определение 3 ([6]). Скалярная функция x → V (σ, x) называется функцией Ляпунова
(относительно заданного множества M(σ)), если функция (t, x) → V (ht σ, x) удовлетворяет
локальному условию Липшица и выполнены условия
1) V (ht σ, x) 0 для всех (t, x) ∈ M(σ);
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
53
2) V (ht σ, x) > 0 для некоторого r > 0 и всех (t, x) ∈ Nr (σ).
Для локально липшицевой функции V (σ, x) обобщенной производной в точке (σ, x) ∈
Σ × Rn по направлению вектора q ∈ Rn называется предел ([7], с. 17)
.
V o (σ, x; q) =
.
o (σ, x) =
а выражения Vmin
V (hε ϑ, y + εq) − V (ϑ, y)
,
ε
(ϑ,y,ε)→(σ,x,+0)
lim sup
inf
q∈F (σ,x)
.
o (σ, x) =
V o (σ, x; q), Vmax
sup V o (σ, x; q) называются
q∈F (σ,x)
нижней и верхней производными функции V в силу дифференциального включения (1.2).
Рассмотрим скалярную задачу Коши
ż = w(ht σ, z),
z(0, σ) = z0 (σ).
(1.4)
Условие 2. Существует σ ∈ Σ такое, что имеют место следующие свойства:
1) для каждого t 0 функция z → w(ht σ, z) непрерывна и удовлетворяет неравенству
|w(ht σ, z)|
< ∞;
|z|
|z|→∞
lim
2) для каждого z ∈ R функция t → w(ht σ, z) кусочно-непрерывна.
Если условие 2 выполнено для заданного σ ∈ Σ, то существует верхнее решение z ∗ (t, σ)
задачи Коши (1.4), определенное для всех t ∈ [0, ∞) ([3], [8], [9]).
Рассмотрим характеристику
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t, σ) 0}
.
.
κ(σ) = lim
ϑ→∞
ϑ
(1.5)
Если предел (1.5) существует, то κ(σ) является относительной частотой попадания траектории решения z ∗ (t, σ) в множество (−∞, 0]. Если предел (1.5) не существует, исследуем
характеристики
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t, σ) 0}
.
,
κ ∗ (σ) = lim
ϑ→∞
ϑ
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t, σ) 0}
.
κ∗ (σ) = lim
.
ϑ
ϑ→∞
Теорема 1. Пусть для σ ∈ Σ выполнены условия 1 и 2 и для каждой точки x ∈ M (σ)
все решения включения (1.2) с начальным условием ϕ(0, σ, x) = x продолжаемы на полуось
R+ . Предположим, что существуют функции V (σ, x) и w(σ, z) такие, что V (σ, x) является функцией Ляпунова относительно множества M(σ) и для всех x ∈ Rn справедливо
неравенство
o
(σ, x) w σ, V (σ, x) .
(1.6)
Vmax
Тогда, если X ∈ comp(Rn ) и max V (σ, x) z0 (σ), то выполнены неравенства
x∈X
∗
freq (σ, X) κ ∗ (σ),
freq∗ (σ, X) κ∗ (σ).
(1.7)
Следовательно, если z0 (σ) = 0 и κ(σ) = 1, то множество M(σ) статистически инвариантно относительно управляемой системы (1.1).
Доказательство. Для заданного σ ∈ Σ и для каждого x ∈ X обозначим через ϕ(t, σ, x)
некоторое решение включения (1.2), удовлетворяющее начальному условию ϕ(0, σ, x)=x∈X.
54
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
Рассмотрим функцию v(t, σ) = V ht σ, ϕ(t, σ, x) . Функция t → v(t, σ) удовлетворяет локальному условию Липшица [6], поэтому в силу теоремы Радемахера она дифференцируема при
почти всех (п. в.) t 0. Поскольку ϕ(0, σ, x) ∈ X, то имеет место неравенство
v(0, σ) = V (σ, x) max V (σ, x) z0 (σ).
x∈X
В работе [6] показано, что в точках дифференцируемости функции v(t, σ) выполнено нераo
ht σ, ϕ(t, σ, x) , поэтому, учитывая (1.6), при всех t 0 имеем неравенство v̇(t, σ) Vmax
t
венство v̇(t, σ) w(h σ, v(t, σ)). Из последнего неравенства и v(0, σ) z0 (σ) в силу теоремы
18.1 работы [3] верхнее решение z ∗ (t, σ) задачи (1.4) определено и удовлетворяет неравенству v(t, σ) z ∗ (t, σ) при всех t 0. Обозначим через freq∗ (ϕ) нижнюю относительную
частоту попадания решения ϕ(t, σ, x) в множество M(σ), тогда
mes t ∈ [0, ϑ] : ϕ(t, σ, x) ∈ M (ht σ)
mes t ∈ [0, ϑ] : v(t, σ) 0
.
= lim
.
freq∗ (ϕ) = lim
ϑ
ϑ
ϑ→∞
ϑ→∞
Далее, из v(t, σ) z ∗ (t, σ) следует freq∗ (ϕ) κ∗ (σ) и, так как ϕ(t, σ, x) является произвольным решением включения
(1.2) с начальным условием ϕ(0, σ, x) = x ∈ X, то имеет место
неравенство freq∗ σ, X κ∗ (σ). Аналогично получаем freq∗ (σ, X) κ ∗ (σ).
данного
Пусть z0 (σ) = 0 и κ(σ)
= 1. Рассмотрим множество X = M (σ), тогда для
(σ)
=
κ(σ)
=
1,
следовательно,
freq
σ,
M
(σ)
=
σ,
M
(σ)
κ
σ ∈ Σ выполнено
freq
∗
∗
freq∗ σ, M (σ) = 1, т. е. множество M(σ) статистически инвариантно относительно управляемой системы (1.1).
Будем говорить, что σ ∈ Σ обладает свойством 1, если для него выполнены условия
теоремы 1, т. е. условия 1 и 2 и условие продолжаемости на полуось R+ всех решений
включения (1.2) с начальным условием ϕ(0, σ, x) = x, x ∈ M (σ). Также предполагаем,
что для заданного σ существуют функции V (σ, x) и w(σ, z) такие, что функция V (σ, x)
является функцией Ляпунова относительно множества M(σ) и для всех x ∈ Rn справедливо
неравенство (1.6).
Следствие 1. Пусть существует множество Σ∗ ⊆ Σ с мерой ν(Σ∗ ) = µ, µ ∈ (0, 1], такое,
что для п. в. σ ∈ Σ∗ выполнено свойство 1. Тогда, если X ∈ comp(Rn ) и max V (σ, x) z0 (σ)
x∈X
для п. в. σ ∈ Σ∗ , то неравенства (1.7) выполнены с вероятностью ν µ.
Следовательно, если z0 (σ) = 0 и κ(σ) = 1 для п. в. σ ∈ Σ∗ , то множество M(σ) статистически инвариантно относительно управляемой системы (1.1) с вероятностью ν µ (если
µ = 1, то множество M(σ) статистически инвариантно с вероятностью единица).
Теорема 2. Пусть для σ ∈ Σ выполнены условия 1 и 2 и для каждой точки x ∈ M (σ)
все решения включения (1.2) с начальным условием ϕ(0, σ, x) = x продолжаемы на полуось
R+ . Предположим, что существуют функции V (σ, x) и w(σ, z) такие, что V (σ, x) является функцией Ляпунова относительно множества M(σ) и для всех x ∈ Rn справедливо
неравенство
o
(σ, x) w σ, V (σ, x) .
Vmin
Тогда, если X ∈ comp(Rn ) и min V (σ, x) z0 (σ), то имеют место неравенства
x∈X
∗
freq (σ, X) κ ∗ (σ),
freq∗ (σ, X) κ∗ (σ).
(1.8)
Доказательство данного утверждения аналогично доказательству теоремы 1. Если для
заданного σ ∈ Σ выполнены условия теоремы 2, будем говорить, что σ удовлетворяет свойству 2.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
55
Следствие 2. Пусть существует множество Σ∗ ⊆ Σ с мерой ν(Σ∗ ) = µ, где µ ∈ (0, 1] такое,
что для п. в. σ ∈ Σ∗ выполнено свойство 2. Тогда, если X ∈ comp(Rn ) и min V (σ, x) z0 (σ)
для п. в. σ ∈ Σ∗ , то неравенства (1.8) выполнены с вероятностью ν µ.
x∈X
2. Оценка статистических характеристик множества достижимости
управляемых линейной и билинейной систем
В этом разделе исследуются управляемая линейная система
ẋ = A(ht σ)x + B(ht σ)u,
(t, σ, x, u) ∈ R × Σ × Rn × Rm
(2.1)
(t, σ, x, u) ∈ R × Σ × Rn × R.
(2.2)
и билинейная система
ẋ = A(ht σ) + uB(ht σ) x,
Покажем, что каждую из данных систем
можно отождествить
со стационарным в узком
. t
t
t
смысле случайным процессом ξ(h σ) = A(h σ), B(h σ) . Для этого опишем метрическую
динамическую систему (Σ, A, ν, ht ), которая параметризует системы (2.1), (2.2), и, таким
образом, эти системы превращаются в системы со случайными коэффициентами [3], [10]. В
дальнейшем каждую из этих систем будем называть системой ξ.
Определим вероятностное пространство (Σ, A, ν), которое является прямым произведением вероятностных пространств (Σ1 , A1 , ν1 ) и (Σ2 , A2 , ν2 ). Здесь Σ1 означает множество
∞
θk = +∞, A1 явчисловых последовательностей θ = (θ1 , . . . , θk , . . . ), где θk ∈ (0, ∞),
k=1
.
ляется наименьшей сигма-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами Ek =
.
{θ ∈ Σ1 : θ1 ∈ I1 , . . . , θk ∈ Ik }, где Ii = (ti , si ], а вероятностная мера ν1 определена следующим образом. Для каждого полуинтервала Ii определим вероятностную меру ν1 (Ii ) =
Fi (si ) − Fi (ti ) с помощью функций распределения Fi (t), t ∈ (0, ∞) (последняя запись означает, что Fi (t) = 0 при t ∈ (−∞, 0]). На алгебре цилиндрических множеств построим меру
ν1 (I2 ) . . . ν1 (Ik ). Тогда в силу теоремы А.Н. Колмогорова (например, [11],
ν1 (Ek ) = ν1 (I1 )
с. 176) на измеримом пространстве (Σ1 , A1 ) существует единственная вероятностная мера
ν1 , которая является продолжением меры ν1 на сигма-алгебру A1 .
.
Далее, пусть Ψ = {ψi }i=1 — конечное множество матричных пар ψi = (Ai , Bi ), Ai и Bi
— матрицы размеров n × n и n × m соответственно (для билинейной системы (2.2) Ai и Bi
имеют размеры n × n). Каждой матричной паре ψi поставим в соответствие линейную или
билинейную стационарную систему с матрицами Ai и Bi . Обозначим через Σ2 множество
.
последовательностей Σ2 = {ϕ : ϕ = (ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕk , . . . ), ϕk ∈ Ψ}. Систему множеств A2
определим как наименьшую сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами
Gk = G(ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕk ), где Gk — совокупность всех последовательностей из Σ2 , у которых
фиксированы k + 1 первых членов.
πi = 1,
Пусть заданы неотрицательные функции πi = p0 (ψi ), pij = p (ψi , ψj ) такие, что
i=1
pij = 1 для всех i = 1, . . . , , и числа π1 , . . . , π удовлетворяют системе уравнений
j=1
πj =
i=1
πi pij ,
j = 1, . . . , .
(2.3)
56
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
Всякое неотрицательное решение данной системы, удовлетворяющее условию
πi = 1,
i=1
принято называть стационарным или инвариантным распределением вероятностей цепи
Маркова. Меру цилиндрического множества Gk определим равенством ν2 (Gk ) =
p0 (ϕ0 )p(ϕ0 , ϕ1 ) . . . p(ϕk−1 , ϕk ) и обозначим через ν2 продолжение меры ν2 с алгебры цилиндрических множеств на сигма-алгебру A2 .
k
θi , где θ ∈ Σ1 .
Введем последовательность {τk }∞
k=0 следующим образом: τ0 = 0, τk (θ) =
i=1
Предположим, что θi ∈ (0, ∞), i = 1, 2, . . . , являются независимыми случайными величинами, причем θ2 , θ3 , . . . имеют одинаковое распределение с функцией распределения F (t) и
последовательноматематическим ожиданием mθ . Обозначим через z = z(t,θ) число точек
сти {τk }, расположенных левее t, тогда z = z(t, θ) = max k : τk t , где t 0. Величина
z(t, θ) называется процессом восстановления. Зададим функцию распределения случайной
величины θ1 равенством
t
1
1 − F (s) ds, t ∈ (0, ∞),
(2.4)
F1 (t) =
mθ 0
тогда z(t, θ) является стационарным процессом восстановления ([12], c. 145–147).
На вероятностном пространстве (Σ1 , A1 , ν1 ) определим преобразование сдвига
ht1 θ = τz+1 − t, θz+2 , θz+3 , . . . , t > 0.
Поскольку z(t, θ) — стационарный процесс восстановления, преобразование ht1 сохраняет меру ν1 , т. е. для любого множества G ∈ A1 и всех t 0 выполнено равенство ν1 (ht1 G) = ν1 (G).
На пространстве (Σ2 , A2 , ν2 ) при каждом θ ∈ Σ1 зададим преобразование сдвига ht2 (θ)ϕ =
(ϕz , ϕz+1 , . . . ). Из стационарности цепи Маркова следует, что преобразование ht2 сохраняет
меру ν2 . На пространстве (Σ, A, ν) также определим преобразование сдвига равенством
(2.5)
ht σ = ht (θ, ϕ) = ht1 θ, ht2 (θ)ϕ .
Построенная динамическая система (Σ, A, ν, ht ) называется косым произведением динамических систем (Σ1 , A1 , ν1 , ht1 ) и (Σ2 , A2 , ν2 , ht2 (θ)), а преобразование ht σ сохраняет меру
ν = ν1 × ν2 ([5], с. 190), которая является прямым произведением вероятностных мер ν1 и ν2 .
На пространстве (Σ2 , A2 , ν2 ) введем последовательность случайных величин ζ=(ζ0 , ζ1 , ...),
где ζk (ϕ) = ϕk , ϕk ∈ Ψ. Если выполнены равенства (2.3), то последовательность ζ образует однородную цепь Маркова, которая является стационарной в узком смысле. В данной
работе предполагаем, что цепь Маркова ζ неприводима и положительно возвратна (наприна вероятностном
пространмер, [11], с. 598–603). Пусть ξ(σ) = ϕ0 — случайная величина
. стве (Σ, A, ν). Определим случайный процесс ξ(ht σ) = A(ht σ), B(ht σ) , тогда для каждого
фиксированного σ ∈ Σ функция t → ξ(ht σ) кусочно-постоянная и принимает значения в
множестве Ψ. Функция ξ(t, σ) = ξ(ht σ) является стационарным в узком смысле случайным
процессом ([5], с. 167; [11], с. 433).
Предполагаем, что случайные величины θ2 , θ3 , . . . имеют функцию распределения F (t),
которая удовлетворяет следующему условию.
Условие 3. 1) F (t) = 0 при t 0, mθ =
∞
0
t dF (t) < +∞;
2) найдутся такие постоянные a > 0, C 0 и δ > 0, что F (t) C ta при t ∈ (0, δ).
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
57
Если выполнено условие 3, то найдется множество Σ0 ⊆ Σ такое, что ν(Σ0 ) = 1 и для
любого σ ∈ Σ0 моменты переключения τ1 , τ2 , . . . случайного процесса ξ(ht σ) изолированы
и число этих моментов бесконечно ([3], с. 106).
Рассмотрим промежутки [τ1 , τ2 ), [τ2 , τ3 ), . . . , длины которых θ2 , θ3 , . . . имеют функцию
распределения F (t). Распределение θ1 длины первого промежутка [0, τ1 ) определяется равенством (2.4) и в общем случае отлично от F (t), но поскольку значение freq∗ (σ, M ) не
зависит от поведения системы на [0, τ1 ), данный промежуток в дальнейшем рассматривать
не будем. Из указанных промежутков выберем те, на которых система ξ находится в состоянии ψi , обозначим их J1i , J2i , . . . . Пусть ai 0 — фиксированное число (не исключается
равенство ai = +∞). Введем случайные величины θki , где θki равна длине промежутка Jki
и случайные величины ski , k = 2, 3, . . . , где ski = θki − ai , если θki > ai , и ski = 0, если θki ai . Обозначим через ni количество тех промежутков из [τ1 , τ2 ), . . . , [τn , τn+1 ), для
которых система находится в состоянии ψi (n1 + . . . + n = n).
Лемма 1. Пусть выполнено условие 3 и цепь Маркова ζ неприводима и положительно
возвратна. Тогда для п. в. σ ∈ Σ справедливы соотношения
ni
lim k=1
n
n→∞ ski
θk
πi
=
mθ
∞
t dF (t) − ai 1 − F (ai ) ,
i = 1, . . . , .
(2.6)
ai
k=1
Доказательство. В силу эргодической теоремы для неприводимой положительно возвратной цепи Маркова ζ для п. в. σ выполнено равенство lim nni = πi ([12], c. 202). Из усиленного
n→∞
закона больших чисел следует, что для п. в. σ имеет место соотношение
1
θ k = mθ .
n→∞ n
n
lim
(2.7)
k=1
Далее, для каждого фиксированного i = 1, . . . , случайные величины θki , θk+1,i независимы, это следует из независимости θk , θk+1 ; также независимы случайные величины ski ,
sk+1,i , k = 2, 3, . . . . Поскольку математическое ожидание случайной величины ski равно
∞
t dF (t) − ai 1 − F (ai ) , то для п. в. σ в силу усиленного закона больших чисел
ai
∞
ni
ni
1
ni 1 ski = lim
ski = πi
t dF (t) − ai 1 − F (ai ) .
lim
n→∞ n
n→∞ n ni
ai
k=1
(2.8)
k=1
Равенства (2.6) следуют из (2.7) и (2.8).
Пусть задано подмножество M пространства comp(Rn ). Обозначим через Di (t, X) множество достижимости стационарной линейной или билинейной системы ψi = (Ai , Bi ), i =
1, . . . , , в момент времени t из начального множества X, также введем обозначения
αi = αi (X, M ) = min τ ∈ [0, ∞) : Di (t, X) ⊆ M при t τ ,
(2.9)
βi = βi (X, M ) = inf τ ∈ [0, ∞) : Di (t, X) ∩ M = ∅ при t τ , i = 1, . . . , .
Если какого-либо из этих моментов времени не существует, положим αi = ∞ или βi = ∞.
58
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
Теорема 3. Пусть σ ∈ Σ таково, что для него выполнены равенства (2.6); M ⊆ X и
множество {(t, x) : t 0, x ∈ X} положительно инвариантно относительно системы ξ.
Тогда справедливы оценки
∞
1
πi
t dF (t) − αi 1 − F (αi ) ,
(2.10)
freq∗ (σ, M ) mθ
αi
{i:αi <∞}
∞
1
∗
πi
t dF (t) − βi 1 − F (βi ) .
(2.11)
freq (σ, M ) 1 −
mθ
βi
{i:βi <∞}
σ, X), которое при t ∈
Доказательство. Для заданного σ ∈ Σ построим множество D(t,
[τk , τk+1 ) совпадает с множеством Di (t − τk , X) = D(t − τk , σ, X), если система ξ находится в
состоянии ψi при t ∈ [τk , τk+1 ). Множество {(t, x) : t 0, x ∈ X} положительно инвариантно
относительно системы ξ, поэтому для M ⊆ X имеют место включения D(t, σ, M ) ⊆ X и
σ, X). Из последнего включения следует неравенство
D(t, σ, M ) ⊆ D(t,
σ, X) ⊆ M }
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t, σ, M ) ⊆ M }
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t,
.
lim
,
freq∗ (σ, M ) = lim
ϑ
ϑ
ϑ→∞
ϑ→∞
из которого получаем оценку
ni
ski
σ, X) ⊆ M }
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t,
i=1 k=1
= lim
.
freq∗ (σ, M ) lim
n
n→∞
ϑ
ϑ→∞
θk
(2.12)
k=1
Здесь случайные величины ski = θki − αi , если θki > αi , и ski = 0, если θki αi , k = 2, 3, . . . .
Оценка снизу (2.10) следует из (2.6) и (2.12).
Для нахождения оценки сверху для freq∗ (σ, M ) воспользуемся неравенством
σ, X) ⊆ X \ M }
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t, σ, M ) ⊆ X \ M }
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t,
lim
.
ϑ→∞
ϑ→∞
ϑ
ϑ
Рассмотрим случайные величины ϑki , k = 2, 3, . . . , которые равны θki − βi , если θki > βi , и
ϑki = 0, если θki βi . Тогда
lim
ni
ϑki
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t, σ, X) ⊆ X \ M }
i=1 k=1
lim
lim
.
n
n→∞
ϑ→∞
ϑ
θk
k=1
Оценку (2.11) получим аналогично доказанному выше, учитывая неравенство
freq∗ (σ, M ) + lim
ϑ→∞
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t, σ, M ) ⊆ X \ M }
1.
ϑ
Следствие 3. Пусть θk = d, d > 0, k = 2, 3, . . . , и для заданного σ ∈ Σ выполнены равенства
(2.6); M ⊆ X и множество {(t, x) : t 0, x ∈ X} положительно инвариантно относительно
системы ξ. Тогда справедливы оценки
1 1 πi (d − αi ) freq∗ (σ, M ) freq∗ (σ, M ) 1 −
πi (d − βi ).
(2.13)
d
d
{i:αi <d}
{i:βi <d}
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
59
Замечание. Можно получить более точную оценку, чем (2.13), если сгруппировать интервалы [τ1 , τ1 + d), [τ1 + d, τ1 + 2d), . . . парами (тройками и т. д.). При группировке парами
множество Ψ будет содержать 2 состояний ψ11 , . . . , ψ , где ψij = (ψi , ψj ), если система ξ
находилась на первом интервале в состоянии ψi и на втором интервале в состоянии ψj . Отметим, что для новой цепи Маркова вероятности перехода из состояния ψij в ψkl равны pjk pkl ,
а стационарным распределением является вектор (π1 p11 , . . . , π1 p1 , . . . , π p1 , . . . , π p ). Рассмотрим числа
αij = αij (X, M ) = mes t ∈ [0, d] : Di (t, X) ⊆ M + mes t ∈ [0, d] : Dj t, Di (t, X) ⊆ M ,
βij = βij (X, M ) = mes t ∈ [0, d] : Di (t, X) ⊆ X \ M +
+ mes t ∈ [0, d] : Dj t, Di (t, X) ⊆ X \ M ,
i = 1, . . . , ,
тогда аналогично теореме 3 получаем
1 1 πi pij αij freq∗ (σ, M ) freq∗ (σ, M ) 1 −
πi pij βij .
2d
2d
i,j=1
i,j=1
Функцию V (x) будем называть функцией Ляпунова относительно множества M , если
она удовлетворяет локальному условию Липшица, V (x) 0 для всех x ∈ M и V (x) > 0 для
всех x ∈ M r \ M .
Лемма 2. Пусть M ⊆ X, X ∈ comp(Rn ). Предположим, что существуют функция
Ляпунова V (x) относительно множества M и постоянные ai , bi такие, что ai = 0,
bi < 0, bi + ai v0 < 0, где v0 = max V (x). Если для всех x ∈ Rn выполнено неравенство
x∈X
.
o
(x) =
Vmax
sup
V o (x; q) ai V (x) + bi ,
(2.14)
q∈Ai x+Bi co U
.
то αi (X, M ) = min τ ∈ [0, ∞) : Di (t, X) ⊆ M при t τ 1
ai
bi
ln bi +a
.
i v0
Доказательство. Для каждого x из множества X через ϕ(t, x) обозначим некоторое решеначальному условию ϕ(0, x) =
ние управляемой системы ψi = (Ai , Bi), удовлетворяющее
x ∈ X. Рассмотрим функцию v(t) = V ϕ(t, x) , которая дифференцируема при п. в. t 0.
Поскольку
ϕ(0,
x) ∈ X, то имеет место неравенство v(0) = V (x) v0 . Из (2.14) и v̇(t) o
ϕ(t, x) получаем v̇(t) ai v(t) + bi при всех t 0. Обозначим через z(t) решение
Vmax
задачи Коши
ż = ai z + bi , z(0) = v0 ,
тогда z(t) = ai eai t − 1 + v0 eai t , и в силу теоремы о дифференциальных неравенствах
v(t) z(t) при всех t 0. Если ai = 0, bi < 0 и bi + ai v0 < 0, то z(t) 0 при всех
bi
. Поскольку M ⊆ X и V (x) является функцией Ляпунова относительно
t ti = a1i ln bi +a
i v0
множества M , то v0 = max V (x) 0, поэтому ti 0. Таким образом, при t ti выполнено
bi
x∈X
неравенство v(t) 0, из которого следует, что Di (t, X) ⊆ M при t ti . Из определения αi
получаем неравенство αi ti .
Аналогично лемме 2 доказывается
60
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
Лемма 3. Пусть X ∈ comp(Rn ), M ⊆ X. Предположим, что существуют функция
Ляпунова V (x) относительно множества M и постоянные ai , bi такие, что ai = 0,
bi > 0, bi + ai s0 > 0, где s0 = min V (x) < 0. Если для всех x ∈ Rn выполнено неравенство
x∈X
o
(x)
Vmin
.
=
inf
q∈Ai x+Bi coU
V o (x; q) ai V (x) + bi ,
.
то βi (X, M ) = inf τ ∈ [0, ∞) : Di (t, X) ∩ M = ∅ при t τ 1
ai
bi
ln bi +a
.
i s0
3. Примеры оценивания статистических характеристик
Отметим, что для оценки статистических характеристик системы (2.1) или (2.2) с помощью теорем 1 и 2 удобно рассматривать функцию вида w(σ, z) = a(σ)z + b(σ) и предполагать, что для каждого σ ∈ Σ функции t → a(ht σ) и t → b(ht σ) кусочно-постоянные и
имеют точки
совпадающие
с точками разрыва реализаций случайного процесса
разрыва,
t
t
t
ξ(h σ) = A(h σ), B(h σ) . Таким образом, нужно исследовать поведение решения z(t, σ)
задачи Коши
(3.1)
ż = a(ht σ)z + b(ht σ), z(0, σ) = z0 (σ)
и найти оценки для п. в. σ ∈ Σ характеристик κ(σ), κ ∗ (σ) и κ∗ (σ).
Для параметризации задачи (3.1) выбираем метрическую динамическую систему
(Σ, A, ν, ht ), которая отличается от динамической системы (Σ, A, ν, ht ) только тем, что для
.
пространства Σ2 множество Ψ содержит пары чисел ψi = (ai , bi ), i = 1, . . . , . Каждому
состоянию ψi поставим в соответствие линейное уравнение
ż = ai z + bi , i = 1, . . . , .
. Определим случайный процесс η(ht σ) = a(ht σ), b(ht σ) , порождаемый потоком ht σ (см.
функция t → η(ht σ) кусочно-постоянная и η(ht σ) =
(2.5)) и отметим, что при каждом σ ∈ Σ
ϕk при всех t ∈ [τk , τk+1 ), где ϕk = (ak , bk ) ∈ Ψ. Точки τ1 , τ2 , . . . разрыва реализаций
случайного процесса η(ht σ) будем называть моментами переключения данного процесса,
а систему (3.1) назовем системой η.
Пример 1. Найдем оценки (с вероятностью единица) пределов κ ∗ (σ) и κ∗ (σ) для задачи
Коши (3.1). Рассмотрим случай, когда ai < 0 для всех i = 1, . . . , и обозначим Ci = − abii .
Предположим, что C1 < C2 < · · · < C , C1 < 0, C > 0, и случайные величины θ2 , θ3 , . . .
имеют функцию распределения F (t), которая удовлетворяет условию 3. Отметим, что числа
Ci являются пределами решений уравнений ż = ai z + bi при фиксированном i, т. е. в случае,
когда система η соответствует паре ψi при всех t 0. Отсюда следует, что множество Σ×X,
где X = [C1 , C ], является положительно инвариантным относительно системы η.
Пусть zi1 (t), i = 1, . . . , , — решение задачи Коши
ż = ai z + bi ,
z(0) = z0
(3.2)
с начальным условием z0 = C1 ; zi (t), i = 1, . . . , , — решение задачи Коши (3.2) с начальным
условием z0 = C . Тогда Di (t, X) — множество достижимости системы ψi в момент времени
t из начального множества X = [C1 , C ] является отрезком [zi1 (t), zi (t)], i = 1, . . . , . Пусть
M = [C1 , 0], найдем
αi = αi (X, M ) = min τ ∈ [0, ∞) : zi (t) 0 при t τ ,
βi = βi (X, M ) = inf τ ∈ [0, ∞) : zi1 (t) > 0 при t τ , i = 1, . . . , .
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
61
bi
Несложно посчитать, что αi = a1i ln bi +a
, если Ci < 0, и αi = ∞, если Ci 0; βi =
i C
bi
1
ai ln bi +ai C1 , если Ci > 0, и βi = ∞, если Ci 0. Таким образом, в силу теоремы 3 справедливы оценки
∞
1
πi
t dF (t) − αi 1 − F (αi ) ,
κ∗ (σ) mθ
α
i
{i:Ci <0}
∞
1
πi
t dF (t) − βi 1 − F (βi ) .
κ ∗ (σ) 1 −
mθ
βi
{i: Ci >0}
Если ai < 0 для всех i = 1, . . . , и C1 < C2 < · · · < C < 0, то κ(σ) = 1 для всех σ ∈ Σ;
если ai < 0 для всех i = 1, . . . , и 0 < C1 < C2 < · · · < C , то κ(σ) = 0 для всех σ ∈ Σ.
Пример 2. Рассмотрим управляемую линейную систему
(t, σ, x, u) ∈ R × Σ × R2 × R,
(3.3)
. которую отождествляем со случайным процессом ξ(ht σ) = A(ht σ), B(ht σ) . Предполагаем, что система (3.3) параметризована метрической динамической системой (Σ, A, ν, ht ),
которая описана в предыдущем разделе. Здесь Σ = Σ1 × Σ2 , множество Σ1 является множеством числовых последовательностей θ = (θ1 , . . . , θk , . . . ), где θk = d, d > 0, k = 2, 3 . . . .
Множество Ψ содержит два состояния ψi = (Ai , Bi ), i = 1, 2, где
−1 −1
0
−1 0
0.5
, B1 =
, A2 =
, B2 =
.
A1 =
1 −1
0.5
0 −1
−0.5
ẋ = A(ht σ)x + B(ht σ)u,
0.8 0.2 ) для цеЗадано множество U = [0.5, 1] и матрица переходных вероятностей P = ( 0.6
0.4
пи Маркова ζ. Найдем оценку (с вероятностью единица) характеристики freq∗ (σ, M ) для
множества M = Σ × M , где M = O 2 (0) — замкнутый шар с центром в начале координат
3
радиуса 23 .
Системе (3.3) поставим в соответствие дифференциальное включение
ẋ ∈ F (ht σ, x),
(3.4)
где для каждой фиксированной точки (σ, x)
Σ × Rn множество F (ht σ, x) состоит из всех
∈
t
предельных значений функции (t, x) → f h σ, x, U = A(ht σ)x + B(ht σ)U при (ti , xi ) →
(t, x).
Обозначим через Σ2i , i = 1, 2, подмножество Σ2 , которое является множеством последовательностей с фиксированной первой координатой: ϕ0 = ψi = (Ai , Bi ), i = 1, 2. Поскольку множество Ψ содержит два состояния ψ1 , ψ2 , то Σ2 = Σ21 ∪ Σ22 и пространство Σ можно представить в виде суммы непересекающихся множеств Σ = Σ1 ∪ Σ2 , где
Σ1 = Σ1 × Σ21 , Σ2 = Σ1 × Σ22 . Такое представление Σ связано с тем, что для множеств Σ1 и
Σ2 по разному находятся производные в силу включения. Рассмотрим функцию Ляпунова
V (σ, x) = x21 + x22 − 49 относительно множества Σ × O 2 (0) и найдем верхнюю производную
3
данной функции в силу включения (3.4). Если σ ∈ Σ1 , то
−2x21 − 2x22 + x2
при x2 0,
o
Vmax (σ, x) =
1
2
2
−2x1 − 2x2 + 2 x2 при x2 < 0,
62
Л.И. РОДИНА, А.Х. ХАММАДИ
если σ ∈ Σ2 , то
o
(σ, x)
Vmax
−2x21 − 2x22 + x1 − x2
при x1 x2 ,
=
1
2
2
−2x1 − 2x2 + 2 (x1 − x2 ) при x1 < x2 .
Отметим, что множество M = Σ × O 2 (0) содержится в множестве Σ × O √1 (0), положи3
2
тельно инвариантном относительно управляемой системы (3.3). Это следует из неравенства
o (σ, x) 0, которое верно для функции Ляпунова V (σ, x) = x2 +x2 − 1 относительно данVmax
1
2 2
ного множества для всех (σ, x) ∈ Σ × R2 \ O √1 (0) (условия положительной инвариантности
2
получены в [6], [13]).
Для функции Ляпунова V (x) =x21 +x22 − 49 линейной системы ψ1 относительно множества
7
такие, что для всех x ∈ R2
M существуют постоянные a1 , b1 например, a1 = −1, b1 = − 36
1
выполнено неравенство (2.14). Найдем v0 = max V (x) = 18 , где X = O √1 (0), поэтому в силу
x∈X
2
леммы 2 имеем α1 ln 97 . Для цепи Маркова ζ вектор предельного распределения равен
(π1 , π2 ) = (0.75, 0.25). Можно показать, что для функции V (x) и системы ψ2 не существует
постоянных a2 , b2 , удовлетворяющих условиям леммы 2, поэтому положим α2 = +∞. Таким
9
3
,
то
с
вероятностью
единица
справедлива
оценка
freq
(σ,
M
)
d−
образом,
если
d
>
ln
∗
7
4d
9
ln 7 .
Литература
[1] Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем,
Вестн. Удмуртск. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки 1, 67–86 (2011).
[2] Родина Л.И. Пространство clcv(Rn ) с метрикой Хаусдорфа–Бебутова и статистически инвариантные множества управляемых систем, Тр. Матем. инст. им. В.А. Стеклова 278, 217–226 (2012).
[3] Родина Л.И. Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем,
Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск 2 (40), 3–164 (2012).
[4] Родина Л.И. Оценка статистических характеристик множества достижимости управляемых систем, Изв. вузов. Матем., № 11, 20–32 (2013).
[5] Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория (Наука, М., 1980).
[6] Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений, Тр. Матем. инст. им. В.А. Стеклова 262, 202–221 (2008).
[7] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ (Наука, М., 1988).
[8] Lakshmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities: theory and applications, Mathematics in
Science and Engineering (Academic Press, New York, 1969), 55.
[9] Lakshmikantham V., Leela S., and Martinyuk A.A. Stability analysis of nonlinear systems (Marcel Dekker,
New York, 1989).
[10] Мастерков Ю.В., Родина Л.И. Достаточные условия локальной управляемости систем со случайными
параметрами для произвольного числа состояний системы, Изв. вузов. Матем., № 3, 38–49 (2008).
[11] Ширяев А.Н. Вероятность (Наука, М., 1989).
[12] Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и
математической статистике (Наука, М., 1985).
[13] Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Распространение теорем Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы, Тр. Инст. матем. и механики УрО РАН 15 (3), 185–201
(2009).
Л.И. Родина
заведующая кафедрой математического анализа,
Удмуртский государственный университет,
ул. Университетская, д. 1, г. Ижевск, 426034, Россия,
e-mail: [email protected]
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
А.Х. Хаммади
аспирант, кафедра математического анализа,
Удмуртский государственный университет,
ул. Университетская, д. 1, г. Ижевск, 426034, Россия,
e-mail: [email protected]
L.I. Rodina and A.Kh. Khammadi
Statistical characteristics of attainability set of controllable systems with random
coefficients
Abstract. For controllable systems with random coefficients we study a property of statistical
invariance, satisfied with given probability. We obtain sufficient conditions for invariance of a set
with respect to controllable system expressed in terms of Lyapunov functions and shift dynamic
system. We study the statistical characteristics of attainability set of a controllable system which
is parameterized by metric dynamic system.
Keywords: controllable systems, dynamic systems, differential inclusions, statistically invariant
sets.
L.I. Rodina
Head of the Chair of Mathematical Analysis,
Udmurt State University,
1 Universitetskaya str., Izhevsk, 426034 Russia,
e-mail: [email protected]
A.Kh. Khammadi
Postgraduate, Chair of Mathematical Analysis,
Udmurt State University,
1 Universitetskaya str., Izhevsk, 426034 Russia,
e-mail: [email protected]
63