1 Тема 1. Совокупности множеств. (в скобках указаны номера

Тема 1. Совокупности множеств. (в скобках указаны номера для домашней работы, номера, составленные из двух чисел, взяты из задачника Ульянова).
Аргумент меры – множество. Следовательно область определения меры — совокупноть множеств.1
Какие бывают совокупности множеств?
Пример. Пусть X — произвольное множество. Положим P(X) := {A : A ⊂ X}. Тогда имеем:
A ⊂ X, но A ∈
/ X.
Конкретнее. Пусть R1 = {[0, 1), ∅}. Тогда [0, 1) ∈ R1 , но [0, 1) 6⊂ R1 . При этом 1/2 ∈ [0, 1), но
1/2 6⊂ R1 и 1/2 ∈
/ R1 .
Определение. Совокупность множеств S называется полукольцом,
F если 0) ∅ ∈ S; 1) A ∩ B ∈ S
∀A, B ∈ S; 2) ∀A, B ∈ S : A ⊂ B выполнено ∃Aj ∈ S : B = A t ( nj=1 Aj ).
Задание: 1, (2), 3, (4), 5, (5.4, 5.5), 6, (5.7, 5.13), 7, (5.26), (5.25?), 8, (9-по возможности в ауд.), (5.33),
5.47, (5.48).
Задачи.
1. Является ли {(a, b) : a, b ∈ R, a 6 b} полукольцом? (
)
2. Является ли {[a, b) : a, b ∈ R, a 6 b} полукольцом? (
)
3. Является ли {[a, b) : a, b ∈ R, a 6 b} кольцом? (
)
4. Пусть S – кольцо множеств. Доказать, что R = {
n
G
Aj : n ∈ N, Aj ∈ S} является кольцом. (
j=1
)
5. Доказать, что совокупность всех подмножеств произвольного фиксированного множества X является σ-алгеброй. ( Ульянов 5.1 )
6. Пусть A – множество. Пусть B совокупность подмножеств множества A, которые либо сами являются не более чем счетными, либо их дополнения до множества A являются таковыми. Доказать,
что B является σ-алгеброй. ( Ульянов 5.6 )
7. Доказать, что пересечение произвольной системы σ-колец является σ-кольцом. Верно ли данное
утверждение для полуколец? ( Ульянов 5.24 )
8. Доказать, что любое σ-кольцо R является δ-кольцом. ( Ульянов 5.32 )
9. Доказать, что не каждое δ-кольцо R является σ-кольцом. ( Ульянов 5.34 )
10. Пусть ... ( Ульянов 5.47 )
11. Доказать, что R является кольцом множеств тогда и только тогда, когда для любых множеств
A, B ∈ R выполнено A∆B ∈ R и A ∩ B ∈ R. ( )
12. Пусть для любых A, B ∈ R выполнено A ∩ B ∈ R и A \ B ∈ R. Следует ли отсюда, что R –
кольцо множеств? ( )