Простейшие преобразователи информации

1
Простейшие преобразователи информации
Математическая логика с развитием вычислительных машин оказалась в тесной
взаимосвязи с вычислительной математикой, со всеми вопросами конструирования и
программирования электронных счетных машин. все началось с того, что ученые сначала
предположили, что возможно построение электронных схем на базе математической
логики, а затем построили эти схемы. Теперь всевозможные электронные схемы лежат в
основе вычислительных машин. Аппарат математической логики находит применение в
вычислительной математике и в технике при конструировании сложных автоматических
устройств. Алгебра высказываний применяется при синтезе релейно-контактных и
электронных схем.
Чтобы сконструировать устройство, мы должны знать:
 каким способом следует реализовать логические значения 0 и 1 в виде электрических
сигналов на входе и выходе устройства;
 каким образом описать работу этого устройства: в виде формулы, схемы, таблицы
истинности;
 существует ли алгоритм, позволяющий по известной таблице истинности построить
схему устройства;
 из каких элементов должно состоять устройство.
Поиск ответов на поставленные вопросы привели к построению преобразователей
информации, составляющих основу вычислительной техники.
Логическим элементом называется преобразователь, который, получая сигнал об
истинности отдельных высказываний, обрабатывает их и в результате выдает
значение логического отрицания, логической суммы или логического произведения этих
высказываний.
В большинстве схем преобразователи с электронной природой сигнала принято, что
появление на выходе напряжения от (+2.4В до +5В) соответствует 1 (высокий уровень
сигнала), если же напряжение до 0.5В, то сигнал равен 0 (низкий уровень). Уровни (0.5;
2.4) считаются неопределѐнными.
В преобразователях на пневматической основе входы и выходы являются
трубками, по которым соответственно в элемент подаѐтся из него выходит давление.
Давление в одну атмосферу соответствует 1 на входе А, если же давление 0.5 атмосферы,
то на входе А подается сигнал 0.
Логическим элементом называется преобразователь, который получая сигналы об
истинности отдельных высказываний, выдаѐт результат обработки в виде логического
отрицания, логической сумму или логического произведения.
Введѐм условные обозначения логических элементов:
1. Инвертор (Логический элемент НЕ). Физически можно реализовать с помощью
реле.
2. Конъюнктор (логический элемент И). Физически последовательное соединение
переключателей
3. Дизъюнктор (логический элемент ИЛИ). Физически параллельное соединение
2
Условное обозначение:
«и - не»
«или – не»
Функциональной схемой логического устройства называется схема соединения
логических элементов, реализующая логическую функцию.
Структурная формула логического устройства - это форма описания функции,
реализуемой логическим устройством.
Построим функциональную схему по формуле и наоборот:
Пример 1. F (X, Y)= X  Y
Пример 2. F (X, Y)= ( X  Y )  X .
X
1
X Y
X Y
&
X Y
X
Y
Задания для самостоятельного выполнения
1) Задана структурная формула. Постройте соответствующую ей функциональную схему.
a) F(A,B,C)= ABC+(A+B+C)B;
Решение:
3
b) F(A,B)= A (A  B);
Решение:
c) F(A,B,C)= (A  B) (A  C) (B  C) .
Решение:
2) Определить структурную формулу по заданной функциональной схеме.
X
Y
&
1
F(X,Y,Z)
Z
&
_____________________________________________________________________________
3) Придумайте любую логическую функцию трех переменных. (Д/З)
a) Постройте для нее таблицу истинности.
b) Постройте соответствующую ей функциональную схему.
4
Типовые логические устройства
К типовым логическим устройствам ЭВМ относятся сумматоры, полусумматоры,
триггеры, счетчики, шифраторы, дешифраторы.
Сумматор является основным узлом арифметико-логического устройства ЭВМ.
Сумматор выполняет сложение многозначных двоичных чисел. Он представляет собой
последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров, каждый из которых
осуществляет сложение в одном разряде. При этом если сумма в этом разряде больше
или равна основанию используемой системы счисления, то возникает перенос старшего
разряда в соседний сумматор.
Одноразрядный сумматор должен иметь:
 два выхода для суммы S и для переносимого значения P;
 два (крайний правый сумматор) или три входа (складываемые значения х, у и
переносимое).
Одноразрядный двоичный сумматор на два входа и два выхода называется
одноразрядным полусумматором.
Одноразрядный двоичный сумматор на три входа и два выхода называется
одноразрядным сумматором на три входа.
Одноразрядный полусумматор обозначается:
Х
Y
P
S
Мы знаем, как осуществляется операция сложения в двоичной системе счисления.
Запишем ее для двоичных цифр, вводя столбец переноса в следующий разряд:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
P
0
0
0
1
S
0
1
1
0
Из таблицы, очевидно, что переносимое значение P(Х, Y), складываемых значений
Х и Y совпадает с конъюнкцией X&Y.
Формулу для S можно получить двумя способами:
 по алгоритмам получения СДНФ или СКНФ;
 по сводной таблице логических функций двух переменных (отрицательный
эквивалент), т.е. S(X,Y)= X  Y .
Используя законы алгебры логики, получим для S СКНФ или СДНФ.
S ( x, y)  X  Y  XY  X Y  ( X  Y )( X Y )  ( X  Y )( X  Y ) 
 ( X  Y )( X  Y )  XY  X Y
Предпоследняя формула является СКНФ, а последняя СДНФ.
Для построения функциональной схемы воспользуемся структурной формулой вида
S ( X , Y )  XY ( X  Y ) , полученной в процессе приведения к СКНФ, так как в ней наименьшее
5
количество операций. По структурным формулам для переносимого значения Р(X,Y)=XY и
суммы S ( X , Y )  XY ( X  Y ) получим функциональную схему для одноразрядного
полусумматора.
X
&
1
4 P
3
1
Y
&
5
S
2
Проверим правильность построенной схемы, описав работу полученного логического
устройства с помощью таблицы истинности Выходы 4 и 5 этой таблицы будут
соответствовать значениям переноса и суммы при сложении двоичного числа.
Входы
Выходы
X
Y
1
2
3
4
5
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
Одноразрядный сумматор на три входа имеет входы X,Y, Pj-1 и два выхода S и Pj:
 через входы X, Y он принимает двоичные цифры, являющиеся слагаемыми в j-том
разряде;
 через вход Pj-1 принимается двоичная цифра–перенос из младшего разряда;
 на выходе сумматор выдает сумму в данном разряде Sj и цифру, переносимую в
старший разряд Pj.
Условное обозначение такого сумматора:
Х
Y
Pj
Pj-1.
Sj
Можно так же как в случае полусумматора описать работу сумматора с помощью
таблицы истинности:
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Pj-1=Z
0
1
0
1
0
1
0
1
Pj=Р
0
0
0
1
0
1
1
1
Sj=S
0
1
1
0
1
0
0
1
Теперь, используя алгоритм построения СДНФ (CКНФ) и законы алгебры логики, по
двум последним столбцам постройте самостоятельно структурные формулы.
6
У Вас должен получиться следующий результат:
Постройте самостоятельно функциональную схему одноразрядного сумматора на
три входа и проверьте его работу.
Триггер широко используется в качестве запоминающих ячеек автоматических и
вычислительных устройств. Он имеет два устойчивых состояния, в которых может
находиться до тех пор, пока под действием внешнего сигнала не будет переведен в другое
состояние. Механическим аналогом триггера является обычный выключатель или
тумблер. Для запоминания и демонстрации n-разрядного двоичного числа необходимо n
параллельно соединенных триггеров, совокупность которых называется n-разрядным
регистром. Например, для запоминания одного байта потребуется 8 триггеров.
Оперативная память ЭВМ часто конструируется в виде набора регистров. Как правило,
один регистр образует одну ячейку памяти, каждая ячейка имеет свой номер. ЭВМ
состоит из огромного числа логических элементов, образующих все ее компоненты.
7
Контрольная работа
Создать в текстовом редакторе Word документ, содержащий решение следующих
задач.
1. Выполнить сложение чисел x1 и x2 в специальных двоичных кодах. Результат
записать в восьмиричной и шестнадцатиричной системе счисления.
2. Записать число x3 пятью различными способами в форме с плавающей запятой.
3. По таблице истинности для функции F(X,Y,Z) составьте СКНФ или СДНФ, упростите
ее, если это возможно, постройте функциональную схему, опишите работу схемы с
помощью таблицы истинности. (Функциональную схему можно нарисовать в любом
графическом редакторе и вставить в текстовый документ).
Таблица истинности.
Исходные данные о значениях переменных x1, x2, x3 и значение функции F задаются в
следующей таблице.
Вари
ант
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Функция F
x1, x2, x3
x1=123,5D
x2=-99,75D
x3=2001,2001
x1=223,125D x2=-199,75D
x3=2002,2002
x1=93,625D x2=-109,75D
x3=2003,2003
x1=93,625D x2=-109,75D
x3=20044,2003
x1=97,5D
x2=-119,125D
x3=203,20033
x1=87,25D
x2=-113,5D
x3=2043,2033
x1=-87,125D
x2=111,5D
x3=2043,5033
x1=-137,625D x2=81,25D
x3=3043,2031
x1=-97,5D
x2=63,125D
x3=20453,233
x1=107,5D
x2=-83,25D
x3=2453,1233
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0