Логические задачи - Новосибирский государственный университет
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 7 класс Логические задачи Новосибирск Введение. Есть такая наука, она называется логикой, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным, доказательным и непротиворечивым. Как человек, не знающий правил арифметики и грамматики, не может правильно считать и грамотно писать, так и человек, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать и действовать. Человеку, занимающемуся математикой, очень часто приходится определять понятия, выяснять связи с ними, рассматривать, на какие группы (виды) могут быть подразделены фигуры, числа и т.д. Но особенно часто в математике приходится путем логических рассуждений выводить разнообразные формулы, правила и доказывать теоремы. Не случайно находились такие математики, которые думали, что математика – это наука «о производстве необходимых умозаключений». Такой взгляд на математику односторонен, но верно то, что без логики не может быть и математики. А это значит, что для успешного изучения математики надо учиться правильно рассуждать. Это значит также, что само изучение математики очень полезно для овладения правилами и законами мышления. Среди математических задач логические задачи занимают особое место. Логические задачи отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения часто не требуется запас каких-либо специальных математических знаний, а необходимо умение рассуждать и делать правильные выводы из условий задачи. Решение логических задач в некоторой мере напоминает решение научной проблемы. Решая научную проблему, исследователь обычно имеет какое-то количество фактов, по которым он не может сделать определенного заключения. В связи с этим исследователь выдвигает гипотезы и проверяет их справедливость, сопоставляя с имеющимися фактами. Если при этом 2 выдвинутая гипотеза приходит к противоречию с имеющимися фактами, то она отбрасывается как неверная. Если в результате таких исследований удается прийти к заключению, которое согласуется с исходными данными, то выясняется, является ли найденное решение единственным. Почти так же приходится вести поиск решения логической задачи. Поэтому навыки в решении логических задач будут полезными каждому из вас независимо от того, какую специальность вы выберете после окончания школы. Следует заметить, что для решения почти каждой логической задачи, как правило, существует несколько различных путей. Некоторая часть рассматриваемых нами задач заимствована из различных источников, в первую очередь из журналов «Квант» и «Наука и жизнь». Для некоторых типов логических задач применяются особые методы и приемы. 1. Задачи на соответствие и исключение неверных вариантов. Многие логические задач связаны с рассмотрением нескольких конечных множеств, между элементами которых имеются некоторые зависимости. Наиболее простым является случай, когда даны два множества с одинаковым числом элементов и требуется установить взаимно однозначное соответствие между ними. В более сложных случаях рассматриваются три или большее число множеств, число элементов у которых одинаково и требуется установить взаимно однозначное соответствие между элементами каждой пары этих множеств. Решению перечисленных типов задач помогает использование различного рода таблиц и графиков. 3 В случае двух множеств с одинаковым количеством элементов удобно пользоваться квадратной таблицей, состоящей из n n клеток ( n - число элементов в множестве). Данные задачи вносятся в соответствующие клетки таблицы, например положительный результат знаком «+», а отрицательный знаком «-». После использования всех условий задачи клетки, оставшиеся пустыми, заполняются знаком «+» или «-» путем логических рассуждений. Если множеств более двух, то приходится рассматривать несколько квадратных таблиц или одну прямоугольную таблицу, состоящую из n m клеток. Рассмотрим несколько задач на эту тему. Задача 1. Три друга: Арбузов, Виноградов и Огурцов встретились на рынке, куда пришли за покупками. Купивший арбуз сказал Виноградову: «Любопытно, что один из нас купил арбуз, другой – виноград, а третий огурцы, но ни у кого покупка не соответствует фамилии». Что купил каждый из беседующих? Решение. 1 способ. Для решения задачи воспользуемся таблицей 3 3 . По условию задачи Арбузов не покупал арбуз, Виноградов не покупал виноград, а Огурцов купил не огурцы. Это позволяет поставить знак «-» в соответствующих клетках. Кроме того, по условию Виноградов не покупал арбуз, и, значит, в клетке на пересечении строки «Виноградов» и столбца «арбуз» также нужно поставить знак «-». Фамилия / покупка Арбузов Виноградов Огурцов арбуз - виноград огурцы - Из таблицы следует, что только Огурцов мог купить арбуз, а Виноградов - только огурцы. Поставим знак плюс 4 в соответствующих клетках. Очевидно, что Арбузов купил виноград. Фамилия / покупка арбуз виноград огурцы Арбузов + Виноградов + Огурцов + Использование таблицы помогло наглядно оформить решение задачи. Также этот ход решения можно представить графически. Будем изображать элементы каждого из множеств точками на плоскости. Если по условию задачи между элементами этих множеств имеет место взаимно однозначное соответствие, то будем соединять сплошной линией те элементы множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии, и пунктирной линией, если такого соответствия нет. Используя условие задачи, мы можем получить на графике наглядное изображение исходных данных, а далее путем логических рассуждений установить необходимое взаимно однозначное соответствие между остальными элементами этих множеств. Проиллюстрируем этот способ на примере задачи 1. 2 способ. Изобразим графически два множества (множество фамилий и множество покупок). Используя условие задачи, соединим пунктирными линиями следующие пары элементов: Арбузов - арбуз, Виноградов - виноград, Огурцов – огурцы и Виноградов арбуз. После этого, очевидно, надо соединить сплошными линиями последовательно следующие пары элементов: Огурцов - арбуз, Виноградов – огурцы, Арбузов - виноград. 5 Ответ: Огурцов купил арбуз, Виноградов - огурцы, а Арбузов купил виноград. Задача 2. Три матрешки - Маша, Глаша и Фрося - одеты в синий, красный и зеленый сарафаны и платки этих же цветов. Известно, что только у Маши цвет сарафана и платка совпадают. Ни сарафан, ни платок Глаши не синие. Фрося была в зеленом сарафане. Определите цвет сарафана и платка у каждой из матрешек. Решение. Для решения задачи воспользуемся таблицей 6 3 . Имя Маша Глаша Фрося синий + - Цвет сарафана красный зеленый + + синий + - Цвет платка красный зеленый + + - Так как Фрося была в зеленом сарафане, то обозначим это знаком «+» в таблице и отметим, что сарафан у неё не может быть красным и синим, а платок не может быть зеленый (соответственно знак «-»). У Маши и Глаши в столбце «цвет сарафана зеленый» ставим знак «-». Так как ни сарафан, ни платок Глаши не были синие, то в соответствующих клетках ставим знак «-». Теперь видно, что у Глаши сарафан красный, а у Маши синий. Так мы установили цвета сарафанов матрешек. При этом, учитывая условие задачи, мы делаем вывод, что у Маши 6 платок синий, у Фроси не зеленый и не синий, значит красный. Следовательно, у Глаши платок зеленый. Ответ: Маша была в платке и сарафане синего цвета, Глаша в красном сарафане и зеленом платке, а Фрося в зеленом сарафане и красном платке. 2. Задачи на упорядочение множеств. Очень часто и в жизни и в математике мы употребляем слово «порядок»: порядковый номер на некоторой улице, порядок выполнения действий в задаче и т.д.. При этом в слово «порядок» вкладывают такой смысл: оно означает, какой элемент того или иного множества за каким следует (или какой элемент какому предшествует). Если для элементов некоторого множества М установлен порядок его элементов, то говорят, что множество М упорядочено. Ясно, что если множество М состоит из конечного числа элементов и упорядочено, то все элементы можно занумеровать и изобразить точками числовой прямой, расположенными в определенном порядке. Рассмотрим логические задачи с конечными множествами, решения которых приводят к необходимости упорядочить эти множества. Задача 3. Пять богатырей Земель Русских: Алеша Попович, Илья Муромец, Добрыня Никитич, Святогор Великий, Никита Кожемяка решили вызвать на поединок Змея Горыныча. Чтобы установить очередность участия в поединке, богатыри бросили жребий. Оказалось, что Алеша будет биться раньше Ильи, но позже Никиты. Добрыня и Никита не будут биться один за другим. Святогор в очереди на битву не стоит рядом ни с Никитой, ни с Алешей, ни с Добрыней. В каком порядке богатыри договорились биться со Змеем Горынычем? 7 Решение. По условию задачи: в очереди на битву три богатыря стоят в следующем порядке: Никита, Алеша, Илья. Поэтому необходимо установить места Добрыни и Святогора в очереди. Но по условию задачи Святогор не находится рядом ни с Никитой, ни с Алешей, ни с Добрыней. Это возможно лишь в случае, когда Святогор стоит за Ильей, а остальные богатыри стоят перед Ильей. Теперь нужно установить место Добрыни среди четырех богатырей, стоящих в порядке: Никита, Алеша, Илья, Святогор. Так как по условию Добрыня не может стоять ни перед Никитой, ни после него, ни перед Святогором, ни после него, то единственным местом, где может стоять Добрыня, является место между Алешей и Ильей. Таким образом, богатыри стоят в очереди в следующем порядке: Никита, Алеша, Добрыня, Илья, Святогор. Ответ: Никита, Алеша, Добрыня, Илья, Святогор. Задача 4. В Цветочном Городе, став в кружок, беседуют четверо коротышек: Шпунтик, Винтик, Незнайка и Торопыжка. Так как дело было перед балом, то все были одеты в красивые фраки. Коротышка в зеленом фраке (Не Шпунтик и не Винтик) стоит между коротышкой в голубом фраке и Торопыжкой. Коротышка в белом фраке стоит между коротышкой в черном фраке и Винтиком. Какого цвета фрак у каждого из коротышек? Решение. Будем обозначать места расположения коротышек в кружке овалами, занумеровав их по часовой стрелке. 8 Предположим, что в овале 1 стоит коротышка в зеленом фраке. Это по условию задачи не Шпунтик и не Винтик и не Торопыжка. Значит, в зеленом фраке Незнайка. Но по тому же условию задачи Незнайка стоит между коротышкой в голубом фраке и Торопыжкой. Не нарушая общности задачи, будем считать, что в овале 4 находится коротышка в голубом фраке, а в овале 2 стоит Торопыжка. Преположим, что в овале 2 коротышка в белом фраке (это Торопыжка), но тогда в овале 1 должен стоять либо Винтик, либо коротышка в черном фраке, что противоречит доказанному выше. Значит коротышка в белом фраке стоит в овале 3. При этом коротышка в голубом фраке должен быть Винтик, а Торопыжка должен быть в черном фраке. Теперь ясно, что Шпунтик в белом фраке. Замечание. Данные условия задачи можно записать с помощью графиков, тогда сразу становится понятным, что Незнайка в зеленом фраке, а Винтик в голубом. А далее располагать в овалах по местоположению коротышек в кружке. Ответ: Шпунтик белом фраке, Винтик в голубом, Незнайка в зеленом фраке, а Торопыжка в черном. 3. Софизмы. 9 Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки. Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать? Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается быть осторожнее. И, наконец, разбор софизмов просто увлекателен! Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в софизме и тем самым как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Рассмотрим некоторые софизмы. Задача 5. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Все числа равны между собой! Пусть m n . Возьмем m 2 2mn n 2 n 2 2mn m 2 . тождество: Имеем: 2 2 (m n) ( n m) . Отсюда m n n m , или 2m 2n , а значит, m n . Решение. 10 Если a 2 b 2 , то следует a b и a b . А в данной задаче сделан неправильный вывод: из ( m n ) 2 ( n m) 2 следует m n n m (а должно быть m n (n m) ). Задача 6. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть a (дм) – длина спички и b (дм) – длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем: b a c (*), b a c . Перемножая эти два равенства по частям, находим: b 2 ab ca c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: вынесем общий b 2 ab bc ca c 2 bc , множитель в обеих частях равенства или b(b a c) c(a c b) b(b a c) c(b a c ) . c , но c b a , поэтому b a b , т.е. a 2b . Откуда b Решение. Нельзя делить на 0! Это знает каждый школьник. Значит нельзя делить на выражение (b a c ) , так как (b a c) 0 по условию (*). Задача 7. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Хорда окружности, не проходящая через центр, равна диаметру. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр; затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ; наконец, точки Е и С соединим отрезком. Рассмотрим треугольники ABD и EDC. В них BD DC (по построению), A C (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, BDA EDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники EDC . Поэтому AB EC . равны. Значит, BDA 11 Решение. Неверный вывод, что BDA EDC . Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники не обязаны быть равными. 4. Различные логические задачи. Сюда включены задачи, которые было нецелесообразно относить к предыдущим разделам. Их решение, как правило, требует специальных рассуждений, которые трудно классифицировать. Широко известна задача о «волке, козле и капусте». Задача 8. Как перевезти в лодке с одного берега на другой волка, козла и капусту, если известно, что волка нельзя оставить без присмотра с козлом, а козел «неравнодушен» к капусте. В лодке только 2 места, поэтому можно брать с собой одновременно или одно животное или капусту. Решение. Опишем организацию перевозки с левого берега на правый волка, козла и капусты, при которой без присмотра перевозчика не будут оставаться одновременно волк с козлом или козел с капустой. В первом рейсе перевозчик берет с собой козла, оставляя на левом берегу волка и капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там козла и возвращается на левый берег. Во втором рейсе перевозчик берет с собой волка, оставляя на левом берегу капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там волка, забирает с собой козла и возвращается с ним на левый берег. В третьем рейсе перевозчик берет с собой капусту, оставляя на левом берегу козла. Переехав на правый 12 берег, оставляет там капусту с волком и возвращается на левый берег. И наконец, в четвертом рейсе он перевезет с левого берега на правый козла. Можно оформить решение в виде таблицы: (кап – капуста, в – волк, коз - козел, л - лодка). вначале левый берег правый берег кап коз в л 1 кап 2 кап в в л после переправы 3 4 5 кап кап коз коз л кап - коз л коз коз в л в в л 6 7 коз л кап в кап коз в л Задача 9. Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. «Вот тебе меч-кладенец, говорит ему Баба Яга. – Одним ударом ты можешь срубить либо одну, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову – новая вырастет, срубишь хвост – два новых вырастут, срубишь два хвоста – голова вырастет, срубишь две головы – ничего не вырастет». За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты? Решение. Так как по условию задачи только рубка двух голов одновременно приводит к их полной ликвидации, то нужно иметь четное число голов. Рубка двух хвостов (из трех имеющихся) приводит к появлению одной головы. Это позволяет в последующем двумя ударами уничтожить четыре головы Змея. При этом останется один хвост. Тремя ударами этот хвост можно превратить в четыре хвоста. Еще двумя ударами четыре хвоста превратить в две головы и, наконец, последним ударом нужно уничтожить две головы. 13 Таким образом, все головы и хвосты Змея можно срубить, сделав 9 ударов. Задача 10. На поле f8 шахматной доски стоит ферзь. Играют двое, ходят по очереди. Каждый за один ход может передвинуть ферзя либо на несколько клеток вниз по вертикали, либо на несколько клеток влево вниз по диагонали, либо на несколько клеток влево по горизонтали. Проигрывает тот, кому некуда ходить, а выигрывает, следовательно, тот, кто поставит ферзя в левый нижний угол – на поле а1. Как играть, чтобы выиграть? Кто победит – начинающий или его партнер? И «кто - кого», если ферзь сначала стоял на поле е8? Решение. Ясно, что если ферзь стоит на поле а1, то тот, чья очередь ходить, уже проиграл. Поэтому отметим это поле знаком «минус». Если ферзь стоит на поле, с которого одним ходом можно попасть на а1, то начинающий пойдет на а1 и выиграет. Поэтому отметим поля, с которых можно за один ход попасть на а1, знаком «плюс». Пусть теперь ферзь стоит на поле с2. Ясно, что начинающий игру с этого поля проиграет, так как при любом своем ходе он попадает на «плюс», после чего противник ставит ферзя на а1. Поэтому с2 отметим «минусом», а все клетки, с которых можно за один ход попасть на с2, отметим знаком «плюс». Нетрудно видеть, что знак минус следует поставить в клетках b3, d6, e8, f4, h5. Теперь можно ответить на вопросы задачи. 1. Если ферзь стоит на клетке, отмеченной знаком плюс, то начинающему достаточно первым ходом поставить ферзя на клетку, отмеченную знаком «минус», и выигрыш ему обеспечен. 2. Если ферзь стоит на клетке, отмеченной знаком «минус», то начинающий проигрывает. 14 3. Если ферзь сначала стоял на клетке е8 (она отмечена знаком «минус»), то начинающий проигрывает. +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 -1 a + + + + + + + b + + + + + + + c + + + + + + + d + + + + + + + e + + + + + + + f + + + + + + + + g + + + + + + + h Задачи для самостоятельного решения. 1. Леня, Женя, и Миша имеют фамилии Орлов, Соколов и Ястребов. Какую фамилию имеет каждый из мальчиков, если Женя, Миша и Соколов члены математического кружка, а Миша и Ястребов занимаются музыкой. 2. В бутылке, стакане, кувшине и банке находится молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. В банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость? 3. Разбойники: Трус, Балбес, Бывалый и их Атаманша в пещерах на необитаемом острове хранили украденные сокровища в сундуках. У одного из них было 5 сундуков, у другого - 8, у третьего - 13 и последнего – 15 сундуков. Какое количество сундуков имел каждый из них, если меньше всего сундуков имеет один из мужчин, у Труса больше, чем у Атаманши и сумма сундуков Труса и Бывалого делится на 3? 15 4. Четыре сказочных героя: капитан Врунгель, Баба Яга, старик Хоттабыч и маленький Мук поспорили о том, кто лучше управляет транспортными средствами: катером, ступой, ковромсамолетом, сапогами-скороходами. Решили провести гонки из четырех заездов, меняясь в каждом заезде транспортными средствами. 1) первый заезд маленький Мук проехал на транспорте старика Хоттабыча, а во втором – на транспорте Бабы Яги; 2) капитан Врунгель выиграл третий заезд на своем ковресамолете, причем он выиграл и все остальные заезды; 3) на катере во втором заезде плыла Баба Яга, а в четвертом заезде плыл маленький Мук; 4) в четвертом заезде катер пришел вторым после сапогскороходов. Кому какой транспорт принадлежит? 5. У Великого Князя Киевского на службе находились три Богатыря: Алеша Попович, Илья Муромец и Добрыня Никитич, которые были воеводами трех разных дружин: стражники, боевая дружина и пограничники. Все они прибыли из разных городов: Рязани, Великого Новгорода, Пскова. Причем один из них увлекался стрельбой из лука, другой – метанием копья, третий – фехтованием. 1) Алеша не из Новгорода, а Илья не из Рязани; 2) богатырь, приехавший из Новгорода, не руководит пограничниками; 3) приехавший из Рязани руководит стражниками и увлекается стрельбой из лука; 4) Добрыня руководит пограничниками; 5) руководитель боевой дружины не любит фехтование. Из какого города приехал каждый из богатырей, какой дружиной командовал и каким видом боевого искусства увлекался? 6. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Все числа равны между собой! Пусть k и n - два произвольных различных числа: k n . Докажем, что они равны! Пусть k n m . Тогда k n m . Умножая обе части последнего равенства на k n , получим: k (k n ) (n m)( k n ) ; т.е. 16 k 2 kn nk mk n 2 mn . Перепишем иначе: k 2 kn km nk n 2 mn ; k (k n m) n(k n m) . Отсюда k n ! То есть два произвольных числа равны! 7. 2 2 5 . Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 5 : 5 . Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1 : 1) 5(1 : 1) . Числа в скобках равны, поэтому 4 5 , или 2 2 5 . 8. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска. Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца и b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через т . Имеем: a b 2m (*), a 2m b , a 2m b . Перемножив эти два 2 равенства по частям, находим: a 2am b 2 2bm . Прибавим к каждой части m 2 . Получим: a 2 2am m 2 b 2 2bm m 2 или (a m) 2 (b m) 2 , т.е. a m b m . Значит a b . Где мы ошиблись? 9. На дне рождения у ослика Иа за круглым столом расположились гости: Винни-Пух, Пятачок, Кролик, Тигра и, конечно, сам хозяин. Иа целый день готовил их любимые блюда: медовое пирожное, морковный пирог, шоколадное печенье, фруктовый пудинг и ореховый торт. Тот, кто любит ореховый торт сидит между любителем морковного пирога и Иа, любитель шоколадного печенья – между Винни Пухом и Пяточком, а напротив него сидят любитель пудингов и Кролик. Тигра не любит печенье, а Винни Пух не любит ореховый торт и морковный пирог, Любитель пирогов и Пятачок регулярно ходят друг к другу в гости. Определите любимое блюдо каждого из героев. 10. Впишите цифры в пустые клетки так, чтобы все восемь примеров были решены правильно (см.рисунок). 7 + = 5 + + + - 2 + = + + = 6 = = = = 17 5 + 5 = 7 11. Кикимора и Леший в чаще дремучего леса нашли десятилитровый бочонок, доверху наполненный живой водой. Они решили поделить живую воду поровну, имея два пустых кувшина, емкостью 7 и 3 литра. Смогут ли они это сделать? И если смогут, то как? 12. (старинная задача)3 солдата и 3 разбойника должны переправиться через реку. Они нашли лодку, но в ней помещается только 2 человека. Нельзя оставить на одном берегу группу, состоящую и из разбойников и из солдат такую, что число разбойников в этой группе больше числа солдат. Как же всем шестерым переправиться через реку? 13. Участок с четырьмя колодцами, имеющий форму равностороннего треугольника (см.рис.) надо разделить на такие участки, чтобы они были одинаковы по форме, равны по площади и чтобы на каждом из них было по колодцу (изображенному на рисунке квадратом). Как это сделать? 14. Через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой. Дана прямая MN и вне ее точка А. Проведем через точку А прямую АВ, параллельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку С. На отрезке АС, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D – точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой MN, проходящим через точку С. Через точки А и D проведем прямую. Т.к. угол CDA прямой, а CD MN , то AD – прямая, параллельная MN. Следовательно, через А проходят две прямые, параллельные прямой MN. В чем ошибка? © Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012 18
