ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ___________________________________________________ "ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
___________________________________________________
Утверждаю
Зам. директора ЮТИ ТПУ по УР
_____________ В.Л. Бибик
«_____» ______________ 2010 г.
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ
Методические указания к выполнению практического занятия на тему:
«Теорема Остроградского-Гаусса и её применения» по физике для
студентов 2 курса всех специальностей очной, очно-заочной и заочной
форм обучения
Издательство
Юргинского технологического института (филиала)
Томского политехнического университета
2010
УДК 53.02
Теорема Остроградского-Гаусса и её применения: методические
указания к выполнению практического занятия на тему: «Теорема
Остроградского-Гаусса и её применения» по физике для студентов 2
курса всех специальностей очной и очно-заочной и заочной форм
обучения /Сост. С.С. Рогачева, Е.В. Полицинский. – Юрга: Изд-во
Юргинского технологического института (филиала) Томского
политехнического университета, 2010 г − 22 с.
Рецензент
Профессор кафедры ЕНО
А.В. Градобоев
Методические указания рассмотрены и рекомендованы методическим
семинаром кафедры ЕНО протокол № от
2010 г.
Зав. кафедрой ЕНО,
канд. пед. наук, доцент
Е.В. Полицинский
2
1. ВВЕДЕНИЕ
Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает связь между
электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет
собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона.
В принципе напряженность электрического поля, создаваемого
данным распределением зарядов, всегда можно вычислить с помощью
закона Кулона. Полное электрическое поле в любой точке является
векторной суммой (интегралом) вкладов всех зарядов. Однако, за
исключением самых простых случаев, вычислить эту сумму или
интеграл крайне сложно; если получить аналитическое решение не
удается, можно воспользоваться компьютером.
В ряде случаев напряженность электрического поля, создаваемого
данным распределением зарядов, удается рассчитать гораздо проще и
изящнее, пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса. Основная
ценность теоремы состоит в том, что она позволяет глубже понять
природу электростатического поля и устанавливает более общую связь
между зарядами и полем.
Прежде чем переходить к теореме Остроградского-Гаусса,
необходимо ввести понятие потока вектора напряженности
электрического поля.
Остроградский М.В. (1801 – 1862 г.г.) – отечественный математик
и механик, доказал в 1828 г основную теорему электростатики
(дифференциальная форма уравнения). К. Гаусс (1777 – 1855 г.г.) –
немецкий математик, астроном и физик получил соответствующий
результат в интегральной форме и опубликовал его в 1839 г.
2. ПОНЯТИЕ О ПОТОКЕ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Рассмотрим площадку S, которую пронизывают
 силовые линии
однородного электрического поля напряженностью Е (рис.1).
3

E

n

 E

S
S
S
а)
б)

Рис. 1. Однородное электрическое поле Е (изображенное параллельными
силовыми линиями) проходят через поверхность площадки S,
перпендикулярную силовым линиям (а) и не перпендикулярную силовым
линиям (б). Штриховыми линиями изображена проекция S площади S

на плоскость, перпендикулярную силовым линиям поля Е .
Площадка может иметь форму прямоугольника, круга или любую
другую. Если напряженность электрического поля перпендикулярна
площадке (рис. 1, а), то поток напряженности ФE через нее

определяется как ФЕ  Е  S (1).


Если площадка S не перпендикулярна Е , а составляет с Е
некоторый угол  (рис.1,б), то её будет пронизывать меньше силовых
линий. В этом случае поток напряженности через площадку будет



определяться формулой ФЕ  Е  S   E  S  cos (поле Е однородно),
на плоскость,
S  проекция площадки S
 

перпендикулярную Е . Площадку S можно представить вектором n ,
направленным перпендикулярно её поверхности, а по велич
 ине
пропорциональным площади (рис. 1,б). Тогда   угол между Е и n , и
поток напряженности
можно
записать в виде произведения двух

 
векторов: ФЕ  E  n (поле Е однородно), (рис. 1,б).
В силу принятого нами определения поток напряженности
допускает наглядное толкование, основанное на понятии силовых
линий. Число силовых линий N, проходящих через единичную
(рис.
1,а),
где
4
площадку,
перпендикулярную
направлению
поля
 S  ,
пропорционально напряженности электрического поля:
 N
E 
.
S

Следовательно, N  E  S   ФЕ , т.е. поток напряженности поля через
площадку пропорционален числу силовых линий, пересекающих её
поверхность.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда электрическое поле

Е неоднородно, а поверхность не плоская (рис. 2).

E

 Si

E

E
Рис.2. Определение потока
напряженности через искривленную

поверхность;  Si  векторный элемент поверхности
Разобьем эту поверхность на n элементов, площади которых
обозначим S1 , S2 ,..., Sn . Разбиение должно быть таким, чтобы можно
было считать: 1) каждый элемент Si плоским и 2) электрическое поле
в пределах элемента однородным. Тогда поток напряженности через
всю поверхность будет суммой
n 
 
ФЕ   Ei   Si ,
i 1
5


Е i  напряженность поля, отвечающая элементу  Si . В

пределе  Si  0 сумма переходит в интеграл по всей поверхности, и
равенство становится точным:
 
ФЕ   E  d S .
(2)
где
Во многих случаях (и, в частности, в случае теоремы
Остроградского-Гаусса) мы имеем дело с потоком через замкнутую
поверхность, т.е. через поверхность, ограничивающую замкнутый
объем, подобно шару или футбольному мячу. В таком случае
результирующий поток через поверх
ностьзаписывается в виде
(3)
ФЕ   E  d S
(через замкнутую поверхность), где знак

означает, что интеграл
берется по замкнутой поверхности.
До сих пор мы не учитывали
существование неоднозначности
в


выборе направления вектора n ; например, на рис. 1 вектор n может
быть направлен как вправо вверх, так и влево вниз – в любом случае он
все равно будет перпендикулярен поверхности.
 В случае
 замкнутой
поверхности условились направлять вектор n (или d n ) наружу из
ограниченного поверхностью объема (рис. 3). Для силовой
 линии,

выходящей из объема (справа на рис. 3), угол  между Е и d n меньше

  90 
2

o

2
и cos  0 ; для линии, входящей в объем (слева на рис.3),
и cos  0 .
 
  
 2

dn
 

 2

dn
 

E

E

Рис. 3. Вектор d n элемента замкнутой поверхности принято
направлять нормально к поверхности наружу
6
Соответственно поток, входящий в замкнутый объем, отрицателен
  Е  cos  dn  0 ,
а поток, выходящий из объема, положителен.
Формула (3) дает, таким образом, величину потока, выходящего из
объема, ограниченного замкнутой поверхностью. Если значение ФЕ
отрицательно, то результирующий поток направлен внутрь объема.
Если число линий, входящих в объем, равно число выходящих
линий, то ФЕ  0 : результирующий поток через поверхность равен
 
нулю. Поток  E  d n отличен от нуля лишь в том случае, когда какое-то
число силовых линий начинается или заканчивается внутри замкнутой
поверхности. А поскольку силовые линии могут начинаться или
заканчиваться только на электрических зарядах, поток будет отличен от
нуля лишь в том случае, когда суммарный заряд внутри поверхности не
равен нулю. Например, поверхность S1 на рис. 4 окружает
положительный заряд, и поток напряженности электрического поля
через эту поверхность направлен наружу ФЕ  0  ; внутри поверхности
S2 заключен такой же по величине отрицательный заряд, и поток
направлен внутрь этой поверхности ФЕ  0  . Поток ФЕ зависит от
заряда, и именно в этом состоит суть теоремы Остроградского-Гаусса.
+
S2
S1
Рис. 4. Электрический диполь. Поток через поверхность S1
положителен, а через поверхность S 2 отрицателен
7
3. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
Теорема
Остроградского-Гаусса
устанавливает
точное
соотношение между потоком напряженности электрического поля через
замкнутую поверхность и суммарным зарядом q внутри этой
поверхности:
  q
(4)
 E  d S  ,
0
где  0  та же константа (электрическая постоянная), что и в
законе Кулона. Подчеркнем, что q  это заряд, заключенный внутри той
поверхности, по которой берется интеграл в левой части. При этом не
существенно, как именно распределен заряд внутри поверхности;
заряды вне поверхности не учитываются. Внешний заряд может
повлиять на расположение силовых линий, но не на алгебраическую
сумму линий, входящих внутрь поверхности и выходящих наружу.
Прежде чем переходить к обсуждению теоремы ОстроградскогоГаусса, заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда
легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за
исключением самых простых ситуаций, которые мы рассмотрим ниже.
Как же связаны между собой Теорема Остроградского-Гаусса и
закон Кулона? Покажем вначале, что закон Кулона следует из теоремы
Остроградского-Гаусса. Рассмотрим уединенный точечный заряд q . По
предположению теорема справедлива для произвольной замкнутой
поверхности. Выберем поэтому такую поверхность, с которой удобнее
всего иметь дело: симметричную поверхность сферы радиусом r , в
центре которой находится наш заряд q (рис. 5).
r
q

dS

E
Рис. 5. Сферическая поверхность, окружающая уединенный точечный заряд
8
Поскольку
сфера
симметрична
относительно
заряд
а,
расположенного в её центре, напряженность электрического поля E
должна 
иметь одно и то же значение в любой точке сферы; кроме того,
вектор E всюду направлен наружу (или всюду внутрь) параллельно

  q
вектору d S элемента поверхности. Тогда равенство  E  d S 
0
принимает вид
q
0
  

  E  d S  E   d S  E   4 r 2  ,
(площадь сферы радиусом r равна 4 r 2 ). Отсюда находим:
q
E
.
4 0 r 2
Мы получили закон Кулона.
Теперь об обратном. В общем случае теорему ОстроградскогоГаусса нельзя вывести из закона Кулона: теорема является более общим
(и более тонким) утверждением, нежели закон Кулона. Однако для
некоторых частных случаев теорему удается получить из закона
Кулона; мы используем общие рассуждения относительно силовых
линий. Рассмотрим для начала уединенный точечный заряд,
окруженный сферической поверхностью (рис.6).
q
S1
S2
Рис. 6. Уединенный точечный заряд, окруженный сферической
поверхностью S1 и поверхностью формы S 2
9
Согласно закону Кулона, напряженность электрического поля в
1
q
точке на поверхности сферы равна E 
 2 . Проделав в обратном
4 0 r
порядке аналогичные рассуждения, получим:
 
1
q 
q
q
2
E
d
S
d
S
r
4
.











 4 0 r 2
0
4 0  r 2
Это и есть теорема Остроградского-Гаусса, и мы вывели её для
частного случая точечного заряда в центре сферической поверхности.
Но что можно сказать о поверхности неправильной формы, например,
поверхности S 2 на рис. 6. Через эту поверхность проходит то же число
силовых линий, что и через сферу S1 , но поскольку поток
напряженности электрического поля через поверхность пропорционален
числу проходящих через неё силовых линий, поток через S 2 равен
потоку через S1 :
 
  q
 E  d S   E  d S  .
S2
0
S1
Следует ожидать поэтому, что формула
  q
 E  d S  справедлива
0
для любой замкнутой поверхности, окружающей точечный заряд.
Рассмотрим случай, когда внутри поверхности находится не
  q
единственный заряд. Для каждого заряда в отдельности  Ei  d S  i .
0

Но полная напряженность электрического поля E есть сумма


напряженностей, обусловленных отдельными зарядами, E   Ei , то
 


qi q
E
d
S
E
d
S




 ,


i




0
0
q   qi  суммарный
заряд,
заключенный
внутри
где
поверхности. Итак, теорема Остроградского-Гаусса справедлива для
любого распределения электрических зарядов внутри любой замкнутой
поверхности. Теорема справедлива для потока напряженности
электрического поля через любую замкнутую поверхность; она
утверждает, что если поток, направленный внутрь поверхности, не
равен потоку, направленному наружу, то это обусловлено наличием
зарядов внутри поверхности.
Теорема Остроградского-Гаусса справедлива для любого
векторного поля, обратно пропорционального квадрату расстояния,
10
например для гравитационного поля. Но для полей другого типа она не
будет выполняться. Допустим, например, что поле точечного заряда
k q
убывает как
; тогда поток через сферу радиусом r определялся бы
r
выражением
   k  q 
2
 E  d S   r    4 r    4 kq   r .
Чем больше радиус сферы, тем больше был бы поток, несмотря на
то, что заряд внутри сферы остается постоянным.
4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
Формулировка теоремы Остроградского-Гаусса
(в интегральной форме)

Поток вектора напряженности E через любую замкнутую
 
поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных
внутри объема, ограниченного этой поверхности, деленной на  0 .
n
ФE   En dS 
S
q
i 1
0
i
.
Алгоритмическое предписание по применению теоремы
1. Сформулировать и записать математическое выражение
теоремы.
2. Сделать рисунок распределения заряда и определить тип
симметрии.
3. Изобразить на рисунке силовые линии электростатического
поля.
4. Выбрать и нарисовать гауссову поверхность.

5. Записать выражение для потока вектора E через построенную
поверхность.
6. Найти заряд, находящийся внутри объема, ограниченного
гауссовой поверхностью.
7. Подставить выражения для потока и заряда в формулу теоремы,
найти напряженность.
11
Требования к гауссовой поверхности
1. Форма поверхности должна соответствовать типу симметрии
распределения заряда.
2. Поверхность должна проходить через точку, в которой
требуется определить поле.
3. На Гауссовой поверхности или её части напряженность поля
должна быть направлена по нормали и принимать одинаковые значения
 E  En  const  или нормальная составляющая напряженности должна
обращаться в нуль  En  0  .
Типы распределения зарядов, для которых возможно применение
теоремы для расчета напряженности электрического поля
Сферический тип
симметрии
(относительно
точки 0
Цилиндрический тип
симметрии
(относительно оси 00 1 )
0
01
0
Вид сверху
Рис. 7. Типы симметрии
12
Плоскость
Форма гауссовой поверхности
Сфера с центром
совпадающим с
центром симметрии
Прямой круговой
Прямой цилиндр – с
цилиндр, ось которого
образующей
совпадает с осью
перпендикулярной
симметрии
плоскости симметрии и основаниями,
равноудаленными
от неё
Поток вектора напряженности через гауссову поверхность
ФЕ  Е  4 r 2
ФЕ  Е  2 rh
ФЕ  Е  2Sосн.
Расчет величины заряда, находящегося внутри поверхности
Однородное
распределение
заряда
Неоднородное
распределение
Объемное
q   V
Поверхностное
q  S
Линейное
q  l
Применение дифференциальноинтегрального метода
Схема решения задач на расчет напряженности
электростатического поля
Условие задачи
1) Рисунок, содержащий:
а)изображение
распределения заряда;
б)изображение силовых
линий поля;
в)гауссову поверхность
6) График E  x 
2) Математическое выражение теоремы
Остроградского-Гаусса
3)Запись выражения 4)Запись выражения
для потока вектора для заряда
напряженности
5) Расчет напряженности поля
13
Задача 1
Рассчитать напряженность поля, созданного шаром радиуса R ,
заряженного равномерно с объемной плотностью заряда  .

E
q
i 1
0
Ф

E
.
а) r  R ;
4
q    r3 .
3
б) r  R ;
4
q     R3 .
3
ФЕ  Е  4 r 2 .
R
r

E
N

E
Рис. 8. Шар радиуса R, с объемной плотностью заряда 
а) r  R ;
Er
R
3 0
E  4 r 2 

б) r  R ;
E  4 r 2 
0
R
r
E  4 r 2 
q
0
4
 r3
 r
3
, E
.
0
3 0
;
4
3
   R3
.
0
q
 R3

E
.
4 0 r 2 3 0 r 2
Рис. 9. Зависимость напряженности электрического поля
шара от расстояния r до центра его.
14
Задача 2
Рассчитать напряженность электрического поля бесконечной
плоскости, заряженной равномерно с поверхностной плотностью  .

E

E
N
ФЕ  
i1
0
.
ФЕ  Е  2 Sосн .
q   Sосн .
S
Е  2 Sосн  осн .
Sосн
x
qi
0
x
0
Рис. 10. Силовые линии электрического поля от бесконечной
положительно заряженной плоскости
E  2 Sосн 
Ex

2 0


E 
.
2 0

 2 , x  0
 0
Ex  
   , x  0.
 2 0
x
0

 Sосн
.
0

2 0
Рис. 11. Зависимость напряженности электрического поля
заряженной плоскости от её расстояния
Задача 3
Сферическая оболочка
По тонкой сферической оболочке радиусом r0 равномерно
распределен заряд q (рис. 12). Определите напряженность
электрического поля а) вне оболочки, б) внутри оболочки.
15
Решение
а) Поскольку заряд распределен симметрично, электрическое поле
также должно быть симметричным. Оно должно быть направлено вдоль
радиуса сферы к поверхности  q  0  или от неё  q  0  и в полярных
координатах должно зависеть только от r , но не от  .
+
+ + +
S2
+
+
+
+
+
+
+
r0
+
r
+
+
+
+
+
+
r
+ +
+ +
+
S1
+
Рис. 12. Однородное распределение заряда по тонкой
сферической оболочке радиусом r0 .
Напряженность поля будет, таким образом, одинакова во всех
точках воображаемой сферы радиусом r , концентричной
с оболочкой

( S1 на рис. 12). Поскольку напряженность поля E перпендикулярна
поверхности, теорема дает
 
q
1
q
2
 E  d S  E   4 r    0 или E  4 0r 2  r 2  r  r0  .
Таким образом, поле снаружи равномерно заряженной
сферической оболочки имеет такую же напряженность, как если бы весь
заряд был сосредоточен в центре сферы.
б) Внутри оболочки поле также должно быть симметричным;
поэтому напряженность поля E должна иметь одно и то же значение во
всех точках сферической поверхности ( S 2 на рис. 12), концентричной с
оболочкой. Следовательно, E можно вынести из-под знака интеграла, и
мы получим
 
2
 E  d S  E   4 r   0 ,
16
поскольку заряд q внутри воображаемой сферы равен нулю. Итак,
E  0  r  r0  внутри равномерно заряженной сферы. Полученный
результат очень важен; он справедлив и для однородно заряженного
проводящего шара, весь заряд которого будет сосредоточен в тонком
поверхностном слое.
Задача 4
Длинный равномерно заряженный проводник
Очень длинный прямой линейный проводник равномерно
заряжен; линейная плотность заряда равна  . Рассчитайте
напряженность электрического поля вблизи проводника на достаточно
большом расстоянии от его концов.
Решение
В силу симметрии задачи электрическое поле должно быть
направлено вдоль радиуса наружу (если q  0 ) и зависеть только от
расстояния r по перпендикуляру от проводника. Благодаря
цилиндрической симметрии напряженность электрического поля
должна быть постоянна по поверхности цилиндра, охватывающего
проводник и коаксиального
с ним (рис. 13).

Вектор E во всех точках перпендикулярен поверхности цилиндра.
Чтобы применить теорему, нам нужна замкнутая поверхность, поэтому
следует учесть и плоские торцы цилиндра.

E
r
+
+
r0
+
+ + + +
+ + + + +
l

Рис.13. К расчету напряженности электрического поля E ,
создаваемого длинным линейным зарядом
17

Однако, поскольку вектор E параллелен торцам, поток сквозь
торцы отсутствует, и
 
q l



2


 ,
E
d
S
E
rl



0
0
где l  высота цилиндра, по поверхности которого проводится
интегрирование ( l  много меньше длины проводника). Отсюда
1 
E
 .
2 0 r
Задача 5
Покажите, что напряженность электрического поля вблизи
поверхности
проводника
произвольной
формы
определяется
выражением
E

, где   плотность заряда в данной точке
0
поверхности проводника.
Решение
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Рис. 14. Электрическое поле у поверхности проводника
В качестве поверхности интегрирования выберем небольшую
цилиндрическую поверхность. Пусть цилиндр имеет очень малую
18
высоту, так что его торец едва возвышается над поверхностью
проводника (рис. 14), другой торец находится над поверхностью, а
боковая поверхность перпендикулярна проводнику. Электрическое поле
внутри проводника отсутствует, а вблизи поверхности вектор
напряженности электрического поля перпендикулярен ей. Поэтому
поток напряженности проходит только через наружный торец цилиндра.
Площадь S торца выберем достаточно малой, чтобы напряженность
поля E можно было считать в его пределах постоянной. Тогда по
 
q S

и E
(у поверхности проводника).
теореме  E  d S  E  S  
0
0
0
Этот полезный результат справедлив для проводников любой
формы.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поток напряженности однородного электрического поля E через

плоскую площадку S равен ФЕ  E  S . Если поле неоднородно, то



поток определяется интегралом ФЕ   Е  dS . Вектор S (или d S ),
направлен перпендикулярно
площадке S (или dS ). Для замкнутой

поверхности вектор S направлен наружу. Поток через поверхность
пропорционален числу силовых линий, проходящих через эту
поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что
результирующий поток напряженности электрического поля,
проходящий через замкнутую поверхность, равен суммарному заряду
внутри поверхности, деленному на  0 :
  q
 E  d S  .
0
В принципе теорему можно использовать для определения
напряженности электрического поля, создаваемого заданным
распределением зарядов. Однако на практике её применение ограничено
в основном несколькими частными случаями, когда распределение
зарядов имеет высокую симметрию. Истинная ценность теоремы
состоит в том, что она устанавливает в более общем и более элегантном
виде, чем закон Кулона, связь между электрическим зарядом и
напряженностью электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса
является одним из фундаментальных уравнений электромагнитной
теории.
19
6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. Электричество и
магнетизм. Волны. Оптика. – 3-е изд. М.: Наука, 1988. – 496 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.3. – М.: Наука, 1977. – 687
с.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа,
1989. – 608 с.
4. Джанколи Д. Физика: в 2-х томах. Т.2: пер. с англ. – М.: Мир,
1989. – 672 с.
5. Парсел Э. Электричество и магнетизм. Пер. с англ. – 3-е изд. –
М.: Наука, 1983. – 416 с. – (Беклеевский курс физики), Т.2).
6. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1985. – 432
с.
7. Беликов В.С. Решение задач по физике. Общие методы. – М.:
Высшая школа. 1986. – 495 с.
8. Коган Л.М. Учись решать задачи по физике. – М.: Высшая
школа. 1983. – 368 с.
9. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высшая
школа, 1981. – 320 с.
10. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физике с решениями:
Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа. 2003. – 591 с.
11. Физика: задания к практическим занятиям. Учебное пособие
для вузов. Ред. Ж.П. Логутиной. – М.: Высшая школа. 1989. – 233 с.
12. Кухлинг Х. Справочник по физике/Пер. с нем. – М.: Мир,
1982. – 520 с.
13. Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и
абитуриентов. – М.: ООО «Изд. Астрель»: ООО «Изд.АСТ.» 2001. – 399
с.
20
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение
3 стр .
2. Понятие о потоке вектора напряженности
электрического поля
3 стр.
3. Теорема Остроградского-Гаусса
8 стр.
4. Применения теоремы Остроградского-Гаусса
11 стр.
5. Заключение
19 стр.
6. Список литературы
20 стр.
21
Теорема Остроградского-Гаусса и её применения
Методические указания к выполнению
практического занятия на тему:
«Теорема Остроградского-Гаусса и её применения»
по физике для студентов 2 курса всех специальностей очной,
очно-заочной и заочной форм обучения
Составители:
Светлана Семеновна Рогачева
Евгений Валериевич Полицинский
Подписано к печати
Формат 60  84/16. Бумага офсетная
Плоская печать. Усл. печ. лист 1,28 .Уч.-изд. 1,16
Тираж 50 экз. Заказ
.Цена свободная
ИПЛ ЮТИ ТПУ Ризограф ЮТИ ТПУ
652000, Юрга, ул. Московская, 17.
22