Моменты с полиномами Лежандра в качестве ядра были

УДК 681.3
Применение 2D моментов Лежандра для обработки двумерных дискретных
сигналов
Нго Хыу Фук
В статье рассмотрен способ вычисления моментных лежандровых характеристик
двумерного дискретного сигнала, инвариантных относительно преобразования поворота.
Предлагаемый автором алгоритм может быть использован во многих задачах анализа сигналов.
Моменты с полиномами Лежандра в качестве ядра были представлены Теагуе (Teague) [1].
Моменты Лежандра принадлежат классу ортогональных моментов[2,3,4], и они использовались,
чтобы достигнуть близкого к нулю значения меры избыточности в наборе функций момента, так,
чтобы моменты соответствовали независимым характеристикам объекта в пространстве.
Прежде аффинные моментные инварианты не получались непосредственно из исходного
момента Лежандра исследуемого изображения. В этом разделе мы вводим новый способ
вычисления
инвариантов
2D
моментов
Лежандра
относительно
сдвига,
поворота
и
масштабирования, основанных на полиномах Лежандра. Полученные инварианты основаны на
центральных моментах Лежандра. Они развиты для асимметричных и симметрических объектов.
Мы решили проблемы, связанные с исчезновением нечетного порядка моментов Лежандра
симметрических объектов. Масштабные инварианты построены, алгебраическим устранением
масштабного множителя, содержавшегося в вычисленных моментах Лежандра. Масштабные
инварианты остаются неизменными для удлиненных, сжатых и отраженных объектов. Инварианты
поворотов тоже получены с использованием центральных моментов Лежандра. Они обобщены для
различных изображений. Другая проблема, связанная с изменением размера объекта при сдвиге
также решена. Мы также вводим новое понятие полутонового изображения для 2D моментов
Лежандра.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА
Рассмотрим основы теории моментов Лежандра[5,6]. 2D моменты Лежандра порядка
m  n  определены как:
1
mn 
1 1
(2m  1)(2n  1)
  Pm ( x) * Pn ( y) f ( x, y)dxdy
4
1 1
(1)
где m, n = 0,1,2, … ∞, Pm и Pn – полиномы Лежандра и f  x, y  – непрерывная функция объекта.
Полиномы Лежандра образуют полный ортогональный базис, определенный на интервале [-1,1].
Функция объекта f  x, y  определена на том же самом интервале. Для выполнения условия
ортогональности, полинома Лежандра n-го порядка определен как:
n
Pn ( x)   a nj x j
(2)
j 0
и a nj - коэффициенты Лежандра, определены:
a nj  (1)
n j 
1
2n  n 

 2
2
n  j !
где n-j = чётно
j n j
!
! j!
 2 
Рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра,
(3)
Pn (x )
задается следующим
образом:
( 2n  1) xPn 1 ( x)  (n  1) Pn  2 ( x)
n
Pn ( x) 
(4)
где P0 ( x )  1 , P1 ( x)  x и n>1.
Несколько первых полиномов Лежандра[5,6]:
P0 ( x)  1
(5)
P1 ( x )  x
(6)
P2 ( x) 
1
2
3x
2
 1
P3 ( x) 
1
2
5 x
3
 3x
P4 ( x) 
1
8
35x
4
 30 x 2  3
P5 ( x) 
1
8
63x
5
 70 x 3  15 x
(7)

(8)
(9)

P6 ( x)  161 231x 6  315 x 4  105 x 2  5
(10)
(11)
2
Поскольку область определения полиномов Лежандра принадлежит интервалу [-1,1], блок
объекта N  N пикселов с функцией интенсивности
f i, j  , 0  i, j  ( N  1) , должен быть
на область  1  x, y  1 . В результате этого, теперь выражение (1) может быть
отображен
выражено в дискретной форме как:
N 1 N 1
mn   mn  Pm ( xi ) * Pn ( y j ) f (i, j )
i 0 j 0
где  mn 
2m  12n  1
N2
(12)
– нормализующий коэффициент; x i , y j обозначает нормализованные
координаты пиксела в интервале [-1,1], которые определены в соответствии с рис. 1:
xi 
2i  1
2 j 1
1 и y j 
 1.
N
N
(13)
Рис. 1: Положение xi рассчитано в дискретном интеграле.
Однако, рассмотренный метод зависит от размера изображения.
Сначала мы вычислим некоторые особенности изображения[4]. Предполагается, что мы
имеем область R (рис. 3.3) содержащую N пикселов:
а. Центр масс.
x
1
N
 x ,
y
( x , y ) R
1
N
 y .
( x , y ) R
(14)
Центральные моменты порядка m  n  преобразованы:
 mn 
 ( x  x )
m
( y  y)n
( x , y ) R
(15)
б. Ориентация.
Ориентация определяется как угол оси минимального значения момента инерции. Это
получено минимизацией относительно  суммы
3
I ( ) 
 D
2
( m, n) 
( x , y ) R
 ( y  y ) cos   ( x  x ) sin  
2
( x , y ) R
(16)
В результате получим:
1 
 2 1,1 
1
1
atan 
 ,  2  atan2 2,0   0, 2 ,2 1,1 
2
2
  2, 0   0, 2 
 1 if 1  0 and  2  0

    1 if 1 * 2  0
2
  1 if 1  0 and  2  0
(17)
в. Рабочий прямоугольник.
Рабочий прямоугольник – наименьший прямоугольник, содержащий объект, который также
способствует выявлению его ориентации (Рис. 2). Мы используем преобразование:
  x cos  y sin 
   x sin   y cos 
(18)
Найдем  min ,  max ,  min ,  max , если A1 ( x1 , y1 ) , A2 ( x2 , y 2 ) , A3 ( x3 , y3 ) , A4 ( x 4 , y 4 )
являются координатами точек, соответственно.
Поскольку мы определили
xi , j ,
yi , j
как нормализованные координаты пиксела в
диапазоне [-1,1], которые зависят от (i, j) – координат в рабочем прямоугольнике:
2dx0
x 
1
i, j dx1  dx2
(19)




dx1  j tan     i  y3  x3 tan    ,
2
2


где
dx
dx0   1
dx2
при
при




dx2  j tan    i  y 4  x4 tan    ,
2
2


 max   min
 max   min
и
yi, j 
2dy0
1
dy1  dy2
(20)
где dy1  j tan    i  y1  x1 tan   , dy2  j tan    i  y2  x2 tan   ,
dy
dy0   1
dy2
при
при
 max   min
.
 max   min
В этом случае, нормализованная константа определена как:
rpq 

min
( 2 p  1)(2q  1)
  max   min   max

(21)
4
Эти значения используются для всех
инвариантов моментов Лежандра относительно
сдвига, поворота и масштабирования.
Рис. 2: Область R (рабочий прямоугольник) используется для вычисления моментов.
ИНВАРИАНТЫ 2D МОМЕНТОВ ЛЕЖАНДРА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОВОРОТА
а. Теоретическая основа.
После преобразования координат по формулам (19) и (20), мы можем использовать
основную формулу:
mn
1 1

(2m  1)(2n  1)








1 1 Pm ( x ) * Pn ( y ) f ( x , y )dx dy ; x , y  [1,1]
4

Pm ( xi, j ) * Pn ( yi, j ) f (i, j )
или mn  rmn (
i , j ) BR
(22)
(23)
Предполагается, что масштабы объекта по осям x и y – a и b, соответственно инварианты
2D моментов Лежандра относительно сдвига, масштабирования и поворота могут быть получены
следующим образом:
t , s ,
mn

1 1
(2m  1)(2n  1)

Pm (a ( x  x0 ))Pn (b( y   y0 ))


4
1 1

 f ( x , y  )dx dy  ; (a, b)  ( R  {0})
Уравнение (24) формирует ядро
инвариантов 2D моментов
(24)
Лежандра. Инварианты
обозначены как  mn . Эти моменты получены следующим образом:
 mn

m
n
 rmn
 rmn

t , s , 
m 1 n 1




a
b
 mk  nd tkd, 


mk nd kd 


k 0 d 0  rkd
k 0 d 0  rkd


m
n
Нормализованные
инварианты 2D моментов
Лежандра
(25)
относительно аффинных

преобразований  mn , определены как :
5

 mn

 1
 mn  00
;
 ( m ) 0  0 ( n  )
m, n  0,1,2...;and ξ  1,2...
(26)
б. Экспериментальные результаты
В наших применениях, мы часто используем 3-й порядок 2D моментов Лежандра
инвариантных относительно аффинных преобразований с   2 . Сначала определим три порядка
2D моментов Лежандра, инвариантных относительно сдвига , масштабирования и поворота
Первый порядок:
3
 01  00
 
;
 20  03
3
10  00
 
;
 30  02

01

10
Второй порядок:

 20

3
 20  00
;
 40  02

 02

3
 02  00
;
 20  04
11 
3
11  00
;
 30  03

 03

3
 03  00
;
 20  05

 21

3
 21  00
;
 40  03
Третий порядок:

30

3
 30  00
;
 50  02

12

3
12  00
.
 30  04
Экспериментальные результаты для моментов полутонового 128x128 изображения объектов
показаны в Таблице 1.

03
ИзображениеВращение

10

01

 20

02

11

30
%

21
 =0 deg
 =30 deg
1,938
1,946
1,825
1,850
2,009
1,709
1,751
1,894
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
1,931
1,939
1,819
1,845
2,002
1,703
1,747
1,889
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
1,844
2,002
1,705
1,745
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
10 3
1,821
1,844
2,003
1,745
1,889 0,3%
10 3
10 3
 =100
1,932
deg
10 3
 =-25
deg
1,933
10 3
1,94
10 3
1,94
10 3
1,82
10 3
10 3
10 3
1,705
10
3
1,89
0,32%
0,31%
6
 =-50
1,937
1,946
1,823
deg
10 3
10 3
10 3
1,85
10 3
2,008
1,706
1,751
1,892
10 3
10 3
10 3
10 3
0,07%
Таблица 1: 2D моменты Лежандра для повернутого полутонового изображения
Список литературы:
1. M. Teague.Image analysis via the general theory of moments.// J. Opt, Soc, Am. 1980,70 (8).- pp.
920-930.
2.
M.K. Mandal, T. Aboulnasr, S. Panchanathan. Image indexing using moments and wavelet.//
IEEE Trans. Consumer Electron. 1996,42 (3) .- pp. 557-565.
3.
J. Haddadnia, K. Faez, P. Moallem. Neural network based face recognition with moment
invariant.// Proceedings of International Conference on Image Processing. 2001,Vol.-pp. 10181021.
4.
H. Qjidaa, L. Radouane.Robust line fitting in a noisy image by the method of moments.// IEEE
Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1999,21 (11) .- pp. 1216-1223.
5. Legendre moment. website http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/CVentry.html .
6. Legendre Polynomia. website http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html.
_____________________________________________________________________________________
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Нго Хыу Фук, аспирант кафедры вычислительной математики и программирования Московского
авиационного института (государственного технического университета)
e-mail: ngohuuphuc76@mail.ru
7