ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Игры с бесконечностью

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Лекция 2
Курс лекций
Игры с бесконечностью
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет
1
2
Задачка на лекции
Несчетные множества
Древняя игра с бесконечностью
В этой лекции мы узнаем, как "устроена"
бесконечность, немного почувствуем ее "глубину",
научимся "работать" с множествами с невообразимо
большим числом элементов.
Сначала немного пристальнее присмотримся к
некоторым уже знакомым множествам.
.
Вот, например, старый знакомый – натуральный ряд.
Так ли он прост, как кажется?
3
Гефест и Гермес затеяли игру. Гефест
пишет огненными буквами на ночном
небе первые 10 натуральных чисел: 1, 2,
3, …, 10, а Гермес похищает
наименьшее число и продает, затем
Гефест в свой ход пишет очередные 10
чисел, а Гермес похищает наименьшее
из оставшихся.
К утру они сделали бесконечное
число ходов (они же боги!).
Сколько звезд увидят на небе люди
перед рассветом?
4
Натуральный ряд N
Подмножества четных и нечетных чисел.
5
6
Счетные множества
Эквивалентные множества
7
8
Примеры счетных множеств
Задачка на лекции
Как всегда, некстати…
Вы – администратор
галактической гостиницы
«Космос» со счетным числом
номеров. В разгар
туристского сезона
свободных номеров нет.
Внезапно приезжает випперсона из галактики
Лебедя. Что делать, куда
эту персону поселить?
9
Задачка на лекции
10
Задачка на лекции
Болтливые экономисты
Туристский сезон
закончен, все
разъехались. Все номера
заняли делегаты съезда
экономистов (их
развелось во Вселенной
счетное число).
Экономисты оказались очень разговорчивыми и
съезд затянулся, а уже начали заезжать на свой
съезд социологи (тоже счетное число). Ваши
действия по организации расселения?
Теперь вас ждет
самое серьезное
испытание.
Конец звездным войнам
Вселенную уже много
тысячелетий сотрясали
звездные войны.
11
12
Задачка на лекции (продолжение)
ГОТОВИМ САМИ!!!
Для принятия
декларации об
остановке звездных
войн на заседание
межгалактического
парламента
прибыли депутаты
из всех галактик:
счетное число
депутатов из каждой
из счетного числа
галактик. Как их
расселить?
(доказываем теоремы
сами прямо на лекции)
13
ГОТОВИМ САМИ!!!
14
ГОТОВИМ САМИ!!!
(учимся доказывать теоремы: не
торопитесь смотреть решение,
сначала попробуйте сами)
(учимся доказывать теоремы: не
торопитесь смотреть решение,
сначала попробуйте сами)
15
16
Задачка на дом
ГОТОВИМ САМИ!!!
Как украсть миллион?
1. Из всякого ли бесконечного множества
можно взять счетное число элементов?
2. Как организовать выбор так, что сколько ни бери
элементов множества, их останется бесконечное число?
3. Как украсть из множества бесконечное число элементов
так, чтобы никто этого не заметил, то есть чтобы остаток
был эквивалентен исходному множеству?
17
Счетность множества целых чисел
18
Счетность множества рациональных чисел
(кажется, что все бесконечные множества счетные)
(кажется, что все бесконечные множества счетные)
19
20
Существование несчетного множества
Проблема несчетного множества
Возникает вопрос: существуют ли вообще
несчетные бесконечные множества?
Первым
положительный
ответ на этот
вопрос нашел
гениальный
математик
Георг Кантор.
21
Канторов диагональный процесс
22
Мощность континуума
Еще удивительнее то, что и множество всех точек
плоскости имеет мощность континуума
23
24
Задачи на дом
Выведите отсюда
следующую теорему:
*Вопрос на засыпку (задачка на дом)
Шифровка Штирлица.
Множество всех
последовательностей,
состоящих из точек и тире,
имеет мощность континуума.
Теорема Штирлица.
Мощность множества всех
подмножеств счетного
множества имеет мощность
континуума.
Подумайте, как эта теорема связана с простой
задачей «Сам себе математик» лекции 1?
Что там за
континуумом?
Есть ли множества
более «мощные», чем
континуум, или
континуум – самое
«густонаселенное»
множество?
25
26
Парадоксы в теории множеств
Задачка на дом
Черные дыры в экономике
Если брать одинаковую
плату за все номера, то
поскольку номеров
бесконечное число, денег
тоже будет бесконечное
количество.
Но как мы знаем, из бесконечно большой бочки можно
незаметно воровать, причем в неограниченных, и даже
бесконечных масштабах. Как установить плату за
проживание в гостинице, чтобы все деньги были под
контролем, и любое воровство было бы сразу заметно?
27
Мощные и всеобъемлющие абстракции теории
множеств таят в себе опасности логических
противоречий или парадоксов.
Большинство парадоксов связано с применением
к предельно общим понятиям тех конструкций,
которые не вызывают никаких проблем на
бытовом уровне.
28
Парадоксы всеобщности
Задачка на дом
Парадоксы бесконечности
Сумасшедшая party.
На большой party со счетным количеством
гостей для каждого гостя было приготовлено
по порции мороженого, бокалу шампанского
и банке пива. После раздачи оказалось, что
каждому досталось по 2 порции
мороженого, шампанского не хватило, а пива
было хоть залейся - бесконечное число
банок на каждого. Объясните, как это
произошло.
29
Парадоксы самоприменимости
30
Самая интересная задача
Жизнь полна парадоксов
Поищите
парадоксальные
ситуации
в
экономике, науке и искусстве (в живописи,
архитектуре, фотографии, кино и др).
Найдите в книгах и Интернет иллюстрации к
обнаруженным парадоксам. Подготовьте их
показ в виде презентации, и расскажите об их
авторах.
Последний парадокс возникает при попытке
«самоприменимости» понятия - еще один
частый источник логических проблем.
31
32
Конец лекции
В лекции использованы снимки, полученные с космического
телескопа Hubble (www.astrographics.com)