рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей

Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»
А.К. Штольц, А.И. Медведев, Л.В. Курбатов
РЕНТГЕНОВСКИЙ АНАЛИЗ
МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ И РАЗМЕРА ОБЛАСТЕЙ
КОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ
В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
Учебное электронное текстовое издание
Подготовлено кафедрами теоретической физики
и прикладной математики и электрофизики.
Научный редактор доц. канд. физ.-мат. наук Л.В. Курбатов
Методические указания к лабораторным работам по курсам
«Физика твердого тела», «Материаловедение», «Физические
методы исследования материалов» для студентов дневной формы
обучения физико-технического факультета
Предназначены для использования при выполнении студентами
физико-технического факультета лабораторных работ по курсам
«Физика твердого тела», «Материаловедение» и «Физические
методы исследования материалов». Содержат основы теории
рассматриваемых методов исследования материалов, рекомендации
по порядку выполнения лабораторных работ и обработке
экспериментальных данных
© ГОУ−ВПО УГТУ−УПИ, 2005
Екатеринбург
2005
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
ВВЕДЕНИЕ
Свойства конкретного поликристаллического материала или порошка из
кристаллических зерен существенно зависят от размера кристалликов и от
напряжений, возникающих в них. Обе характеристики материала зависят от
условий получения материала и тех воздействий, которым данный материал
подвергался. Роль таких воздействий могут играть, например, температура и
механические воздействия.
Оценить размер кристалликов и определить напряжения, имеющие место в
данном образце кристаллического материала, можно используя метод
дифракции рентгеновских лучей.
Существует
несколько
разновидностей
рентгеновского
метода
определения размера кристалликов, каждый из которых используется в
определенном интервале размеров. Основными из них являются:
1. В случае, если размер кристалликов лежит в пределах от 10-2 см до 10-3
см,
используется
метод
подсчета
числа
дифракционных
пятен
на
дифракционном кольце, полученном методом съемки на плоскую фотопленку.
2. Если размер кристалликов лежит в интервале от 100 до 1500 Å, то
применяется метод его оценки по уширению дифракционных линий. Поскольку
рентгеновский метод, как уже указывалось выше, основан на явлении
дифракции рентгеновских лучей, то правильнее в этом случае говорить о
размерах областей когерентного рассеяния (ОКР).
Напряжения,
возникающие
в
кристалликах
при
тепловых
или
механических воздействиях, можно разделить на 3 вида:
1. Макронапряжения или напряжения 1-го рода. Они одинаковы для всех
кристалликов в данном образце и приводят к смещению дифракционных линий
относительно их положения для эталонного недеформированного материала.
2. Микронапряжения 2-го рода. Эти напряжения меняются от кристаллика к
кристаллику и приводят к уширению дифракционных линий.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 2 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
3. Размер ОКР, лежащих в интервале от 100 до 1500 Å, и микронапряжения
2-го рода одинаково сказываются на дифракционной картине: уширяют
дифракционные линии. Существуют методы обработки дифракционных картин,
позволяющие
разделить
уширения
из-за
малого
размера
ОКР
и
от
микронапряжений 2-го рода. Наиболее точным методом разделения является
гармонический анализ. Но этот метод требует больших затрат времени. Более
простым является метод аппроксимаций.
В данных методических указаниях будут рассмотрены 1-ый и 2-ой
методы оценки размеров ОКР и метод аппроксимации для разделения вкладов в
уширение дифракционных максимумов от блочности (размера ОКР) и
микронапряжений 2-го рода и их оценке.
В описании каждой работы кратко дана теория используемого метода и
порядок выполнения работы.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 3 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА КРИСТАЛЛИКОВ
МЕТОДОМ ПОДСЧЕТА ЧИСЛА ДИФРАКЦИОННЫХ ПЯТЕН
1.1. Теория метода
Пусть пучок монохроматических лучей освещает некоторый объем
данного
вещества,
состоящего
из
отдельных
кристалликов
с
разной
ориентировкой. Тогда есть вероятность того, что какой-либо кристаллик
попадет в «отражающее» положение, т.е. для определенного семейства
плоскостей {hkl} с межплоскостным расстоянием dhkl
в n-ом порядке
выполняется условие Вульфа-Брэгга. Если вместо индексов плоскости (hkl)
ввести индексы «отражения» (HKL), где H = nh, K = nk, L = nl, то это условие
можно записать в виде
2d HKL sin θ HKL = λ .
(1.1)
При выполнении условия (1.1) на рентгеновской пленке, расположенной за
объектом, появится дифракционное пятно. Если в освещаемом объёме V
окажется NHKL кристалликов, попавших в «отражающее» положение, то на
плоской пленке все они дадут пятна, расположенные на одном кольце (рис. 1.1).
Число этих пятен можно сосчитать. Если увеличить число кристалликов в
освещаемом объеме, т.е. уменьшить их размер, то увеличится число пяте nHKL на
дифракционном кольце. Число пятен может стать настолько большим, что они
сольются в сплошное кольцо, и подсчет их числа станет невозможным.
Найдем связь между числом кристалликов в освещаемом объеме NHKL и
числом дифракционных пятен nHKL. Для этого около образца как центра
построим сферу произвольного радиуса R (рис. 1.2). Вдоль одного из диаметров
сферы направим падающий рентгеновский луч достаточно большого сечения,
чтобы число кристалликов в освещаемом объеме NHKL составляло 102 – 103.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 4 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Построим нормали к плоскостям (hkl). Число таких нормалей будет равно
PHKL··NHKL, где PHKL – фактор повторяемости, т.е. число плоскостей
данного сорта с одинаковым межплоскостным расстоянием. Например, в
кубической решетке для семейства плоскостей {100} P100 = 6, а для семейства
плоскостей {111} P111 = 8, т.к. все плоскости, индексы которых отличаются
порядком расположения и их знаком дают одно и то же межплоскостное
расстояние dhkl, вычисляемое по формуле:
d hkl =
a
2
2
h +k +l
2
,
(1.2)
где a – период кубической кристаллической решетки.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 5 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Пересекая сферу, все эти нормали дадут следы – точки, равномерно
расположенные на поверхности сферы. В отсутствии текстуры, т.е. наличия у
кристаллов преимущественной ориентировки, поверхностная плотность следов
ρ HKL будет:
ρ HKL =
PHKL ⋅ N HKL
4πR 2
.
(1.3)
Из NHKL кристалликов в «отражающее» положение попадут те, для
которых угол между нормалью к плоскости и падающим рентгеновским лучом
будет равен 90 – θHKL (рис. 1.2). Выходы нормалей располагаются на сфере по
окружности радиусом r = R cos θ HKL . Если учесть небольшую расходимость
пучка рентгеновских лучей, равную α радиан ( α << 1), то вместо окружности
мы будем иметь кольцо шириной αR, т.е. в «отражающее» положение попадут
все плоскости, выходы нормалей к которым попадут в это кольцо. Площадь
кольца S = 2πrαR = 2παR 2 cos θ HKL .
Число пятен на дифракционном кольце на пленке:
α
cos θ HKL N HKL
(1.4)
2
Следовательно, число кристалликов, плоскости которых попали в
n HKL = Sρ HKL =
«отражающее» положение, равно:
N HKL =
2n HKL
.
αPHKL cos θ HKL
(1.5)
Если предположить, что кристаллики имеют вид кубиков, то их линейный
размер:
L HKL = 3 V
N HKL
,
(1.6)
где V – освещаемый объём. Если съемка рентгенограммы ведется с фольги,
πδ 2 ε
и:
толщиной ε, а диаметр сечения рентгеновского пучка равен δ, то V =
4
L HKL
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
πδ 2 ε
=
.
4 N HKL
3
(1.7)
Стр. 6 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Угол θHKL, как видно из рис.1.1, может быть определен из условия:
tg 2θ HKL = r
D
,
(1.8)
где r – радиус дифракционного кольца с индексами (HKL) на пленке, D –
расстояние от образца до пленки.
1.2. Порядок выполнения работы
1. Измерить диаметр выходной диафрагмы коллиматора рентгеновской
камеры δ (рис. 1.1) и наклеить на нее фольгу толщиной ε исследуемого
материала.
2. Установить в камеру кассету с рентгеновской пленкой.
3. Измерить расстояние D от выходной диафрагмы коллиматора до пакета с
пленкой.
4.
Включить
рентгеновскую
установку,
проверить
с
помощью
флюоресцирующего экрана попадает ли рентгеновский луч на образец и
проэкспонировать пленку.
5. Выключить рентгеновскую установку, вынуть кассету с пленкой, пленку
проявить и высушить.
6. На пленке измерить радиусы получившихся колец r и подсчитать,
пользуясь лупой, число пятен на них nHKL.
7. Рассчитать по формуле (1.8) угол θHKL. Определить dHKL для исследуемого
материала по формуле (1.1). Найти индексы (HKL) получившихся на пленке
дифракционных
колец,
пользуясь
справочными
таблицами,
и
факторы
повторяемости для них PHKL. При этом следует учесть, если съемка велась без
фильтра, что для одного и того же межплоскостного расстояния могут
получиться два кольца, соответствующие длинам волн λKα и λKβ.
8. По формуле (1.5) рассчитать NHKL, а по формуле (1.7) линейный размер
кристалликов в направлении, перпендикулярном плоскости (hkl), LHKL.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 7 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
9. Рассчитать погрешность в определении LHKL, считая, что она
определяется в основном неточностью подсчета числа пятен на кольце.
Последнюю можно определить выполнив подсчет числа пятен несколько раз.
10. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу.
№
кольца
r, мм
n
∆n
Θ,
град.
λ, Å
(HKL)
PHKL
NHKL LHKL, ∆LHKL,
мм
мм
1.3. Контрольные вопросы
1. Перечислите методы рентгеновского определения дисперсности.
2. На чем основан метод подсчета числа пятен на рентгенограмме?
3. Выведите формулу, связывающую число кристалликов в освещаемом
объеме с числом пятен на дифракционном кольце.
4.Как связано число кристалликов в освещаемом объеме с их линейным
размером?
5. Чем, в основном, определяется погрешность в определении размера
кристалликов этим методом?
6. Каков порядок выполнения работы?
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 8 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
2. ОЦЕНКА РАЗМЕРА ОБЛАСТЕЙ КОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ
ПО УШИРЕНИЮ ДИФРАКЦИОННЫХ ЛИНИЙ
2.1. Теория метода
Пользуясь представлениями Вульфа и Брэгга о том, что дифракцию
рентгеновских
лучей
на
кристалле
условно
можно
представить
как
«отражение» рентгеновских лучей от пачки атомных плоскостей (рис. 2.1),
можно продемонстрировать условие взаимного усиления «отраженных» лучей
векторной диаграммой, представленной на рис. 2.2, где θ0 – угол,
удовлетворяющий условию Вульфа – Брэгга:
∆l 0 = 2d sin θ 0 = nαλ .
(2.1)
Здесь ∆l 0 – разность хода лучей, «отраженных» от двух соседних
плоскостей с межплоскостным расстоянием d hkl , E j – вектор напряженности
электромагнитной волны, рассеянной i – ой плоскостью. При этом:
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
E1 = E 2 = E 3 = ⋅ ⋅ ⋅ = E i = ⋅ ⋅ ⋅ E N ,
где N – число параллельных плоскостей в пачке.
Рис. 2.1
Если θ = θ 0 , разность фаз между волнами, рассеянными соседними
плоскостями:
∆Φ =
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
2π
∆λ 0 = 2 nπ ,
λ
(2.2)
Стр. 9 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
В этом случае рассеяние носит когерентный характер: все вектора
ρ
E i будут параллельны друг другу, суммарный вектор «отраженной» волны
будет иметь модуль E 0 , равный NE1 (рис 2.2). Интенсивность дифракционной
линии пропорциональна квадрату модуля суммарного вектора, т.е.:
E 02
=
N
ρ
∑ Ei
i =1
= N 2 E12 .
(2.3)
Если наблюдать взаимодействие рентгеновских волн, «отраженных» от
соседних плоскостей этой же пачки под углом, немного отличающимся от θ0, т.е.
θ = θ 0 + δθ ,
(2.4)
∆l = 2d sin(θ 0 + δθ) = 2d sin θ 0 + 2d cos αθ 0 ⋅ δθ ,
(2.5)
то для них разность хода будет:
а разность фаз:
∆Φ =
2π
⋅ ∆l = 2πn + 2πε ,
λ
(2.6)
где
ε=
2d cos θ 0 ⋅ δθ 0
.
λ
(2.7)
В этом случае вектора электромагнитных волн, рассеянных от соседних
плоскостей пачки, располагаются друг относительно друга под углом
2πε (рис.2.2), и суммарный вектор напряженности поля электромагнитных
волн, рассеянных всеми плоскостями пачки, будет по модулю значительно
меньше E0, если число N плоскостей в пачке велико. Соответственно будет и
мала интенсивность дифракционной линии.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 10 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Рис. 2.2
Если же кристаллики малы (их размер порядка 100 – 1000 Å), то N мало, и
малое отклонение от угла θ0 не дает существенного спада интенсивности. И
лишь при больших δθ интенсивность спадет до нуля. Следовательно, при малых
размерах кристалликов (малых N) на дифрактограмме получается широкая
дифракционная линия, а при больших (больших N) – узкая (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Обычно ширину дифракционной линии B измеряют на половине её
высоты, т.е. для J = 1/2Jмакс.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 11 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
ρ
Из рис. 2.4 видно, что каждый вектор E i повернут на 2πε по отношению к
ρ
ρ
ρ
предыдущему E i −1 , поэтому угол поворота вектора E N относительно E1 будет
ρ
равен 2πεN. Чтобы рассчитать интенсивность, надо, найти суммарный вектор E
ρ
(рис. 2.4). Для этого через концы векторов E i опишем окружность радиуса R с
центром в точке O ′ .
Рис. 2.4
ρ
Нормаль O ′ А делит E1 пополам как хорду. Аналогично, нормаль O ′ В
ρ
делит пополам вектор E . Из треугольника OAO ′ имеем:
R sin
2πε
1 ρ
= OA = E1 .
2
2
(2.8)
2πεN
1 ρ
= OB = E .
2
2
(2.9)
Из треугольника OBO ′ :
R sin
Найдем отношение интенсивностей J/Jмакс в точках, отвечащих углам
2θ 0 + 2δθ и 2θ0. Используя (2.3), (2.8) и (2.9), получаем:
ρ2
2
E
4 R 2 sin 2 πεN ⎛ sin x ⎞
≈⎜
J/Jмакс= ρ 2 =
⎟ ,
2 2
2
x
⎝
⎠
4 R N sin πε
NE1
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
(2.10)
Стр. 12 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
где x = πεN . При этом учли, что при πε значительно меньшим единицы
sin πε ≈ πε . Функция
sin x
имеет главный максимум, равный единице при x = 0
x
(J=Jмакс) и равна 1/2 (J = Jмакс/2) при x = 0,445π. Значит интенсивность
уменьшится в два раза, когда угол δθ таков, что:
0,445π = πεN = πN ⋅
2d
cos θ 0 ⋅ δθ.
λ
Тогда:
δθ =
0,2225λ
,
D HKL cos θ 0
(2.11)
2δθ – определяет угловую ширину линии на половине ее высоты, D HKL –
размер кристалликов в направлении, перпендикулярном плоскостям с
межплоскостным расстоянием d hkl . На опыте обычно определяется ширина
дифракционной линии на половине ее высоты при изменении угла 2θ,
значит B = 4δθ (рис. 2.3).
В измеряемую ширину дифракционной линии дает также вклад
инструментальная ширина линии b, обусловленная шириной диафрагм,
ограничивающих пучок рентгеновских лучей, расходимостью пучка, неточной
установкой образца в его держатель. Эту ширину можно определить, снимая
эталон – образец из исследуемого вещества, состоящий из свободных от
механических напряжений кристалликов, размеры которых больше 10-3см.
В первом приближении истинная ширина дифракционной линии –
ширина, обусловленная дисперсностью, определяется как разность:
β = B − b = 4δθ.
(2.12)
Используя уравнения (2.11) и (2.12), находим, что средний размер
кристалликов в предположении их равноосности:
D HKL =
0,2225λ
0,89λ
=
.
δθ ⋅ cos θ 0 β ⋅ cos θ 0
(2.13)
Приведенные выше формулы (2.12) и (2.13) пригодны только для грубой
оценки размера кристалликов (областей когерентного рассеяния ОКР).
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 13 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Они справедливы, если представить дифракционную линию в виде
треугольника. На самом же деле дифракционная линия имеет сложную форму.
Ее профиль можно описать различными математическими функциями.
Наиболее подходящей функцией является функция вида:
f (2θ) =
1
(1 + 4α(θ − θ ) )
0
2
,
где α – коэффициент, определяемый экспериментально. Зная эту функцию
можно найти интегральную ширину дифракционной линии по формуле:
2θ2
∫ J макс f (2θ)dθ
B=
2θ1
J макс
,
(2.14)
где Jмакс – интенсивность дифракционной линии в ее максимуме, а
(2θ1 ,2θ 2 ) - интервал углов 2θ, на котором её интенсивность отлична от нуля. В
этом случае ширина β, обусловленная дисперсностью, будет связана с полной
шириной и шириной линии эталона соотношением:
(
)
1
B − b + B ( B − b) ,
2
а размер кристалликов (ОКР) будет вычисляться по формуле:
β=
D HKL =
(2.15)
0,97
.
β cos θ
(2.16)
а размер кристалликов (ОКР) будет вычисляться по формуле:
D HKL =
0,97
.
β cos θ
(2.16)
2.2. Порядок выполнения работы
1. Приготовить для съемки два образца: исследуемый и эталон.
2. Пользуясь справочной литературой, выписать значения интенсивностей
линий J, межплоскостных расстояний d/n и (HKL) для изучаемого объекта и выбрать
линии, по которым будет определяться размер ОКР. Они должны располагаться в
малых углах θ, которые можно вычислить по формуле (2.1), зная d/n и λ – длину
волны излучения, на котором будет производиться съемка дифрактограммы.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 14 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
3. Снять профили выбранной дифракционной линии для эталона и образца.
Съемка в непрерывном режиме должна вестись с малой скоростью
перемещения счетчика, а, если съемка будет вестись в шаговом режиме, то шаг
по углу 2θ должен быть выбран таким, чтобы на половине высоты линии было
не менее 10 точек. Если записан профиль линии, как функция угла 2θ, то шаг,
через который будут определяться высоты линий, также должен быть таким,
чтобы на половине её высоты было не менее 10 точек.
4. Полученные данные о значениях интенсивностей в каждой точке,
интенсивность в максимуме и интервал углов, на котором интенсивность
отлична от нуля, ввести в ЭВМ и по имеющейся в ней программе рассчитать
интегральные ширины линий исследуемого образца и эталона.
5. По формуле (2.15) рассчитать ширину линии, обусловленную
дисперсностью в радианах.
6. По формуле (2.16) определить размер ОКР и погрешность их определения,
полагая, что значение интегральной ширины определяется с погрешностью 10 %.
2.3. Контрольные вопросы
1. На чем основан метод оценки размеров кристалликов (ОКР) по
уширению дифракционной линии.
2. Выведите формулу, связывающую ширину дифракционной линии и
размер ОКР.
3. Каков порядок выполнения работы?
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 15 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
3. РЕНТГЕНОВСКИЙ АНАЛИЗ МИКРОНАПРЯЖЕНИ
И РАЗМЕРА ОКР В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
1. Теория метода
Микронапряжения
2-го
рода,
т.е.
напряжения,
меняющиеся
от
кристаллика к кристаллику, приводящие к разному изменению равновесного
межплоскостного расстояния, и измельчение ОКР, оказывают на линии
дифрактограммы одно и то же воздействие – увеличивают их ширину. Кроме
этих факторов на ширину дифракционной линии влияют геометрические
факторы: расходимость первичного пучка рентгеновских лучей, их поглощение
в образце, размеры диафрагм, наложение и неполное расщепление Kα – дублета.
Уширение линии, вызванное геометрическими факторами, можно всегда
оценить, если в тех же условиях, что и исследуемый образец, снять
дифрактограмму эталонного образца: образца с крупными кристалликами,
свободными от микронапряжений.
Примем обозначения:
B1 – экспериментальная общая ширина линии исследуемого образца;
b1 – то же для эталона;
B – экспериментальная общая ширина линии исследуемого образца,
исправленная на дублетность;
b – то же для эталона;
β – истинное физическое уширение линии исследуемого образца;
m – часть истинного физического уширения линии исследуемого образца,
вызванная микронапряжениями;
n – часть истинного физического уширения линии исследуемого образца,
вызванная дисперсностью ОКР;
∆d/d – относительная деформация;
Dhkl – размер ОКР.
Если из условий эксперимента можно заведомо вывести заключение о
том, что истинное физическое уширение линии (HKL) вызвано или
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 16 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
исключительно микронапряжениями, или только измельчением ОКР до
величины меньшей, чем 0,1 микрона (1000 Å), то величина относительной
микродеформации решетки в направлении, перпендикулярном плоскости
«отражения» (hkl) и размер ОКР могут быть вычислены по простым формулам.
Микронапряжения по формуле:
β
∆d
=
,
4tgθ HKL
d
(3.1)
а размер ОКР по формуле:
D HKL =
0,94λ
.
β ⋅ cos θ HKL
(3.2)
Если же в исследуемом материале уширение вызвано, помимо
геометрических факторов, как наличием микронапряжений, так и измельчением
ОКР, то элементарный расчет становится непригодным. В этом случае, прежде,
чем использовать формулы (3.1) и (3.2), следует установить, какова доля
участия обеих факторов в физическом уширении каждой линии, т.е. найти m и n.
Анализируя распределение интенсивности в дифракционной линии
можно установить следующее:
1. Величина B, экспериментальная общая ширина линии исследуемого
образца, исправленная на дублетность, связана с истинным физическим
уширением этой линии β и экспериментальной общей шириной линии эталона,
исправленной на дублетность, выражением:
B=
β⋅b
.
g
(
)
f
(
)
θ
−
θ
⋅
θ
−
θ
0
0
∫
(3.3)
2. Аналогично, β – истинное физическое уширение линии исследуемого
образца связано с уширением линии исследуемого образца, вызванном
микронапряжениями решетки m, и уширение линии исследуемого образца
получившемся из-за дисперсности блоков n, выражением:
β=
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
m⋅n
.
N
(
)
M
(
)
θ
−
θ
⋅
θ
−
θ
0
0
∫
(3.4)
Стр. 17 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Функции, входящие под знак интеграла, в этих выражениях, описывают
угловое распределение интенсивности за счет отдельных факторов: g (θ − θ 0 ) –
функция распределения при одновременном воздействии на ширину линии
микроискажений и дисперсности ОКР, f (θ − θ 0 ) – функция распределения
интенсивности, связанная с геометрией съемки,
M (θ − θ 0 )
– функция
распределения интенсивности, вызванной только микроискажениями решетки и
N (θ − θ 0 ) – функция распределения интенсивности, связанная только с
дисперсностью ОКР.
Установлено, что функции g (θ − θ 0 ) и f (θ − θ 0 ) аппроксимируются для
металлов с кубической кристаллической решеткой с достаточной степенью
приближения
выражениями
1
(1 + χ(θ − θ ) )
2 2
0
аппроксимируется
выражением
выражением
1
(1 + ε(θ − θ ) )
0
2 2
1
1 + γ (θ − θ 0 ) 2
,
а
.
Функция
функция
M (θ − θ 0 )
N (θ − θ 0 )
–
.
Если, для исследуемого объекта аппроксимирующие функции известны,
то разделение эффектов микронапряжений и дисперсности ОКР производят
следующим образом.
С исследуемого образца снимают обзорную дифрактограмму, по которой
выбирают для анализа две достаточно интенсивные линии: одну в малых углах
2θ, другую – в больших. Профили этих линий снимают на дифрактометре с
хорошей разрешающей способностью (с малой скоростью вращения счетчика).
Эти же линии снимают для эталона. Лучше, чтобы избежать ошибок,
вызванных неравноосностью кристалликов, выбирать линии, принадлежащие
одной «отражающей» плоскости в разных порядках «отражения».
Если профили дифракционных линий сняты на дифрактометре в
непрерывном режиме и неизвестна точно функция, описывающая их профиль,
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 18 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
то для каждой линии выделяется фон, на линии выбирают угловой интервал, на
котором ее интенсивность отлична от нуля, разбивают его по углу на шаги,
определяют интенсивность для каждого шага в произвольных единицах и
находят площадь линии. Разделив эту площадь на интенсивность в её
максимуме, находят для каждой линии образца и эталона экспериментальные
общие уширения в градусах.
Полученные значения ширин исправляют на дублетность. Для этого
следует воспользоваться поправочным графиком, находящемся в лаборатории.
По истинным общим уширениям линий образца и эталона B и b,
соответственно, находят истинные физические уширения для каждой линии β1
и β2 используя выражение:
[
]
1
( B − b) + B ( B − b) ,
2
полученное при использовании для B и b аппроксимирующих функций:
β=
g (θ − θ 0 ) =
1
(1 + χ (θ − θ ) )
1
0
2 2
и f (θ − θ 0 ) =
(1 + χ
1
2 (θ
− θ0 )
)
2 2
(3.5)
.
Зная истинные физические уширения линий в разных углах для одного и
того же образца полезно произвести качественную оценку доли влияния
факторов микронапряжений и дисперсности.
Если
истинное
физическое
уширение
вызвано
только
микронапряжениями, то согласно (3.1):
β 2 tgθ 2
=
.
β1 tgθ1
(3.6)
Если же истинное физическое уширение вызвано дисперсностью ОКР, то:
β 2 cos θ1
=
.
β1 cos θ 2
(3.7)
Если же, как это бывает в большинстве случаев в реальных металлах,
уширение вызвано как наличием микронапряжений, так и измельчением ОКР,
то отношение физических уширений будет находится между отношениями
тангенсов и косинусов:
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 19 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
cos θ1 β 2 tgθ 2
≥
≤
.
cos θ 2 β1 tgθ1
(3.8)
В зависимости от величины отношения β2/β1 следует проводить
дальнейший расчет по формулам (3.1) или (3.2) или, если это необходимо,
приступить к разделению эффектов микронапряжений и дисперсности по
выражению
(3.4).
Использование
для
решения
этого
выражения
аппроксимирующих функций N (θ − θ 0 ) и M (θ − θ 0 ) приводит к выражению:
( n + 2m) 2
β=
.
n + 4m
(3.9)
Так как одно уравнение с двумя неизвестными неразрешимо, необходимо
использовать две линии дифрактограммы, для которых:
(n1 + 2m1 ) 2
( n 2 + 2m 2 ) 2
, β=
.
β=
n1 + 4m1
n 2 + 4m 2
(3.10)
Используя формулы (3.1) и (3.2), можно написать:
m 2 tgθ 2
=
,
m1 tgθ1
(3.11)
n 2 cos θ1
=
.
n`1 cos θ 2
(3.12)
Решив уравнения (3.10), (3.11) и (3.12) совместно, находим:
⎞
n1 1 ⎛
m
m
= ⎜⎜1 − 4 1 + 8 1 + 1 ⎟⎟,
β1 2 ⎝
β1
β1
⎠
(3.13)
2
⎡ 1 cos θ1
m1
m1
m1 tgθ 2 ⎤
(
1
4
8
1
)
2
−
+
+
+
⋅
⋅
⎢
⎥
β1
β1
β1 tgθ1 ⎦
β 2 ⎣ 2 cos θ 2
.
=
β1
⎞
m1
m1
m1 tgθ 2
1 cos θ1 ⎛
⎜1 − 4
+ 8
+ 1 ⎟⎟ + 4
⋅
⋅
2 cos θ 2 ⎜⎝
β1
β1
β
1 tgθ1
⎠
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
(3.14)
Стр. 20 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
Построив графики зависимости (номограммы):
и зная отношение
⎛β ⎞ m
⎛β ⎞
n1
= f ⎜⎜ 2 ⎟⎟ , 2 = f ⎜⎜ 2 ⎟⎟
β1
⎝ β1 ⎠ β 2
⎝ β1 ⎠
β2
n m
, можно определить 1 и 2 , а затем:
β1
β1 β 2
D HKL =
0,94λ
n1 cos θ1
(3.15)
и:
m2
∆d
=
.
d
4tgθ 2
(3.16)
Определение величины m точнее при больших (HKL). Величина n
находится точнее при малых (HKL).
3.2. Порядок выполнения работы
1. Снять обзорную дифрактограмму образца и выбрать наиболее
подходящие линии для определения размера ОКР и микронапряжений.
2. Подобрать режим съемки и снять по две линии эталона и образца: одну
в малых углах 2θ, другую в больших.
3. Подготовить данные для рсчета на ЭВМ углового положения центра
тяжести 2θц.т., интегральной интенсивности и интегральной ширины каждой из
четырех линий.
4. Рассчитать для выбранных линий междублетные расстояния по
δ(2θ) =
формуле
2(λ Kα 2 − λ Kα1 )
⋅ tgθ.
λ Kα1
5. С помощью графика, находящегося в лаборатории, исправить
интегральные ширины линий на дублетность.
6. Определить истинные физические уширения линий образца.
7. Пользуясь номограммами, находящимися в лаборатории, определить
доли физического уширения, обусловленные микронапряжениями m и
дисперсностью n.
8. Рассчитать величину относительной микродеформации и размер ОКР.
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
Стр. 21 из 23
А.К. Штольц, А.И. Медведев,
Л.В. Курбатов
Рентгеновский анализ микронапряжений и размера областей
когерентного рассеяния в поликристаллических материалах
3.3. Контрольные вопросы
1. Какие факторы дают вклад в ширину линии?
2. Что такое междублетное расстояние и как исправить ширину линии на
дублетность?
3. Выведите формулу, дающую связь между интегральной шириной
линии и относительной микродефрмацией.
4. Запишите формулу, связывающую размер ОКР с интегральной
шириной линии.
5. В чем суть метода аппроксимации?
6. Как рассчитать истинное физическое уширение?
7.
Как
оценить
микронапряжениями
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005
доли
и
физического
малым
уширения,
обусловленного
размером
ОКР?
Стр. 22 из 23
Учебное электронное текстовое издание
Штольц Аэлита Константиновна
Медведев Анатолий Иванович
Курбатов Леопольд Васильевич
РЕНТГЕНОВСКИЙ АНАЛИЗ
МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ И РАЗМЕРА ОБЛАСТЕЙ
КОГЕРЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ
В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
Редактор
Компьютерная верстка
О.В. Климова
Н.В. Лутова
Рекомендовано РИС ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
Разрешен к публикации 10.06.05.
Электронный формат – PDF
Формат 60х90 1/8
Издательство ГОУ-ВПО УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
e-mail: [email protected]
Информационный портал
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
http://www.ustu.ru