ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СТАВКИ ДИСКОНТИРОВАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ
РАЗРАБОТКИ
№ 10 (289)
2005
РЫНОК
ЦЕННЫХ
БУМАГ
62
Александр Мальцев
аналитик ЗАО «Центр Анализа Проектов»,
аспирант кафедры ММАЭ (математические
методы анализа экономики) МГУ им. Ломоносова
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
АНАЛИЗА СТАВКИ
ДИСКОНТИРОВАНИЯ
В статье приводится алгоритм построения кривой и получения вида
зависимости доходности к погашению (YTM) еврооблигаций РФ на основе метода
наименьших квадратов (МНК) и излагается математическое обоснование преимуществ применения МНК по сравнению с другими интерполяционными методами
при получении зависимости вида YTM=f(t). Также представлено доказательство на
конкретном примере целесообразности дисконтирования денежных потоков по
цене альтернативных издержек капитала (ставке дисконтирования), учитывающей
временную структуру процентных ставок. В статье дано четкое определение и
обоснование безрисковой ставки.
Обычно при оценке эффективности инвестиционных проектов исходят
из предположения, что альтернативные
издержки привлечения капитала одинаковы для всех денежных потоков (CFi)
на протяжении всего прогнозного периода (периода расчета интегральных показателей инвестиционного проекта).
Основная формула расчета чистой
приведенной стоимости (NPV) проекта
имеет следующий вид:
(1)
где
. (2)
Как известно, значение ставки дисконтирования складывается из безрисковой составляющей, среднерыночной
премии за риск и рисков, характерных
для конкретного проекта. По мере реализации проекта, когда предприятия осваивают производственные мощности и
занимают соответствующую нишу на
рынке, значение премии за риск должно постепенно уменьшаться. Зафиксировать прогнозное изменение значения
премии за риск достаточно трудно, поэтому большинство аналитиков априори
считают это значение постоянным при
реализации проекта.
Значение безрисковой составляющей ставки дисконтирования для определенного прогнозного периода можно
получить на основе построенной кривой
доходности (yield curve), отражающей
изменения доходности к погашению еврооблигаций Минфина РФ с различными сроками погашения в зависимости
от даты погашения. Еврооблигации
Минфина РФ по некоторым критериям
можно отнести к безрисковым активам
(ценным бумагам). Кривая доходности
дает представление о временной зависимости (term structure) процентных
ставок.
Безрисковая ставка (riskfree rate) —
ставка доходности от инвестиций в безрисковый актив, значение которой при
этом является определенным. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует,
(3)
Базисные функции ϕi(t) в приведенном выше многочлене являются степенными функциями, причем степень многочлена соответствует условию 0≤ m≤ n.
Требуется найти такие коэффициенты
многочлена уравнения (3) a0, a1, …, am,
которые позволят выполнить следующее
интегральное условие согласования:
(4)
т. е. такой вектор
, который обеспечивает минимум среднеквад.
ратичной погрешности σm
Очевидно минимум в (4) с учетом (3)
достигается, если
∆=
(5)
Далее автор статьи приводит ряд преимущественных особенностей решения
задачи сглаживания при построении зависимости кривой доходности к погашению от времени до погашения на основе
метода наименьших квадратов (МНК) по
сравнению с другими интерполяционными методами.
1. Метод интерполяции — точечный
метод, требующий выполнения точечных
условий интерполяции. Рассматриваемый
интегральный метод (МНК) является альтернативой точечному методу и позволяет
функциональным условиям не соответствовать точно значениям в узлах интерполяции, а отвечать
и ri = f (ti) в
среднем по интегральной сумме.
2. Исходная функция ri = f (ti) задана
не точно, а с существенно большей погрешностью, чем в методе интерполяции.
Это является следствием проведения
ежедневных котировок облигаций, а значит, и существенного изменения значений доходности к погашению, т. е. значений исходных функций ri = f (ti).
), в ко3. Количество точек ti (i =
торых задана функция, как правило, значительно больше степени m многочлена
(n>>m), поэтому между n и m нет строгого
КРИВАЯ ДОХОДНОСТИ ДЛЯ ЕВРООБЛИГАЦИЙ
МИНФИНА РФ ЗА ПОСЛЕДНИЕ 6 МЕС.
2
6
10
14
18
22
МЕТОДИЧЕСКИЕ
РАЗРАБОТКИ
№ 10 (289)
2005
63
r = 3,116 + 0,4346 T – 0,0114 T2, %
–2
РЫНОК
ЦЕННЫХ
БУМАГ
.
соответствия, как это имеет место в методе интерполяции.
4. Метод наименьших квадратов реализует наилучшее в среднем приближение на всей области определения сеточной функции yi = f (ti) и в некоторых случаях не учитывает локальных свойств аппроксимируемой функции (например,
одиночный «всплеск»).
На основе данных агентства Reuters
были проведены статистические исследования значений доходности к погашению
(YTM) в зависимости от срока до погаше-
8
Для того чтобы рассчитать значения
YTM для еврооблигаций Минфина РФ,
следует получить зависимость общего
вида для сеточной функции с учетом ее
погрешности.
В качестве сглаживающей функции
будем использовать обобщенный многочлен вида
доходность к погашению, r, ytm, %
2
3
4
5
6
7
то стандартное отклонение (σ = 0) для
безрискового актива равно нулю.
Так как безрисковый актив имеет известную доходность, то такой вид актива
должен быть некой ценной бумагой, обеспечивающей фиксированыый доход и
имеющей нулевую вероятность неуплаты.
Среди всех активов, обращающихся
в данный момент на финансовом рынке
Российской Федерации, еврооблигации
соответствуют следующим критериям, на
основе которых их можно считать безрисковыми активами:
- они имеют большой объем выпуска;
- налицо организованный и хорошо
информационно обеспеченный рынок;
- дефолт по этим ценным бумагам
не объявлялся, т. е. вероятность неуплаты по этим ценным бумагам, в отличие
от корпоративных ценных бумаг, равняется нулю.
При расчете зависимости кривой
автор статьи счел целесообразным воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК).
Постановленная задача при получении
уравнения кривой доходности (yield curve)
для еврооблигаций Минфина РФ методом
МНК выглядит следующим образом.
Допустим на множестве
задана сетка сроков погашения облигаций
определяемая n+1 точкой
t0, t1, …,tn, а на сетке — сеточная функция доходностей к погашению облига: r0= f(t0), r1= f(t1), …,
ций ri = f (ti),
rn= f(tn).
Предполагается, что сеточная функция
значений доходности еврооблигаций Минфина РФ к погашению получена с достаточно большой погрешностью относительно шага, т. е. ri = f (ti) + εi, а узлы сетки могут быть заданы также с погрешностью,
поскольку набор спот-ставок является основным определителем цены (в нашем
случае еврооблигаций Минфина), которая
меняется в результате проведения ежедневных котировок. Следовательно, нет
причин ожидать, что все доходности к погашению (YTM) находятся на одной какойлибо определенной кривой.
Поэтому в данном случае можно говорить об отсутствие каких-либо фиксированных точек сеточной функции, которые могут служить фиксированными узлами при решении задачи методами
функциональной интерполяции. В данном случае необходимо получить уравнение регрессии, выражающей зависимость вида r = f(ti), которая не проходит
через фиксированные точки (узлы интерполяции), а отражает вид зависимости
доходности от срока до погашения еврооблигаций с наименьшим значением погрешности, т. е. выполнение условия (4).
26
срок до погашения, t, лет
ния. Исследовался полугодовой интервал
с 3 расчетными датами (17 сентября
2004 г.; 10 декабря 2004 г.; 11 марта
2005 г.), в которые проводились котировки. Применяя процедуру метода наименьших квадратов (МНК) с использованием
программы STATISTICA-6 к сеточной функции ri = f (ti), была получена зависимость
кривой доходности к погашению в виде
квадратичного полинома:
2
r = –0,0114 • t + 0,4346 • t + 3,116, (6)
где r = YTM (Yield to maturity) — доходность к погашению, %; t — срок до погашения, лет.
Полученная зависимость имеет коэффициент парной корреляции (коэффициент Пирсона), равный 0,855, что свидетельствует о наличии достаточно высокой
причинно-следственной связи между доходностью к погашению (YTM) и сроком к
погашению еврооблигаций Минфина РФ.
В нашем случае зависимость имеет вид
возрастающей кривой (см. рисунок).
Полученный вид кривой объясняется
двумя теориями временной зависимости
(term structure theories):
- теорией непредвзятых ожиданий
(unbiased expectations theory), предполагающей, что будущая спот-ставка равна
величине соответствующей форвардной
ставке, т. е. ожидаемое увеличение годовой спот-ставки является причиной возрастания кривой доходности;
МЕТОДИЧЕСКИЕ
РАЗРАБОТКИ
№ 10 (289)
2005
РЫНОК
ЦЕННЫХ
БУМАГ
64
- теорией наилучшей ликвидности
(liquidity preference theory), предполагающей, что ожидаемая спот-ставка должна
быть несколько меньше, чем форвардная
ставка на величину премии за ликвидность.
Однако премия за ликвидность для
ценных бумаг со сроком погашения более 1 года не превышает премии за ликвидность ценных бумаг со сроком погашения до 1 года (L0,5; 1 = L1; 1,5).
Принимая во внимание теорию непредвзятых ожиданий, автор статьи в
мость ценной бумаги неопределенной,
последняя в свою очередь уже не может
рассматриваться как безрисковый актив.
Второй случай представляет ситуацию,
когда потенциальной инвестор в начале
инвестирования не обладает информацией, какой будет процентная ставка к моменту погашения ценной бумаги. В этом
случае инвестор не знает величины процентной ставки, по которой доходы от
ценной бумаги могут быть реинвестированы на оставшийся период владения. Присутствие риска ставки реинвестирования
КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИСКОНТИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
Период
реализации
проекта,
n, лет
Период до
погашения,
t, лет
Risk free spot
rate для
данного
периода
Risk free forward rate для
периода времени
между tn-1 и tn
Полный
коэффициен t
дисконтирования
на основе spot rate
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∑
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
—
3
0,0354
0,0394
0,0432
0,0467
0,0500
0,0531
0,0560
0,0586
0,0610
0,0632
—
4
5
1,0000
0,9405
0,7652
0,6632
0,5717
0,4905
0,4190
0,3568
0,3028
0,2565
—
0,04342
0,04696
0,05385
0,06006
0,06559
0,07043
0,07459
0,07805
0,08082
—
своих расчетах руководствовался тем
фактом, что премия за ликвидность для
спот-ставок со сроком погашения более
1 года не меняется.
Например, в качестве безрисковой
составляющей ставки дисконтирования
для проекта с прогнозным периодом,
равным 5 годам, принимают доходность
к погашению еврооблигаций Минфина
РФ через 5 лет, поскольку расчет интегральных показателей проекта производится на периоде, равном 5 годам.
То есть срок инвестирования (период
владения) в альтернативный безрисковый актив (еврооблигации Минфина РФ)
и срок погашения по этим ценным бумагам должны совпадать. В противном случае данные ценные бумаги не могут рассматриваться как безрисковые активы.
Рассмотрим две ситуации:
1. Срок инвестирования (период владения) в государственные ценные бумаги
меньше, чем срок погашения.
2. Срок инвестирования (период владения) в государственные ценные бумаги
больше, чем срок погашения.
В первом случае возникает ситуация
неопределенности по отношению к процентной ставке, значение которой может
измениться в течение периода владения,
что приведет к изменению рыночной стоимости ценной бумаги. Следовательно,
возникновение подобного риска процентной ставки (interest-rate risk) делает стои-
Полный коэффициен t дисконтирования
на основе forward rate
6
1,0000
0,9405
0,7391
0,6354
0,5462
0,4696
0,4037
0,3470
0,2983
0,2565
—
∆,%
7=5—6
—
0,00
2,61
2,78
2,55
2,09
1,54
0,97
0,45
0,00
12,99
(reinvestment-rate risk) для ценных бумаг
со сроком погашения меньшим, чем период владения (период инвестирования),
означает, что такие ценные бумаги не могут считаться безрисковым активом.
Для спот-ставок в годы t – 1 и t связь
с форвардной ставкой между годами t – 1
и t имеет следующий вид:
или
(7)
Если бы в приведенном выше уравнении не соблюдалось равенство (например, в какой-то момент времени левая его
часть была больше правой), то это привело бы к процедуре арбитража (получения
безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые ценные бумаги). Предположим, что правая часть
приведенного равенства представляет собой 2-летнюю спот-ставку, которая меньше произведения годовых спот-ставки и
форвардной ставки r1,2. Тогда бы потенциальный инвестор покупал 2-летние спотставки r0,2 и продавал годовые спот-ставки
r0,1 и форвардные ставки r1,2, пока рынок
не достигнет своего равновесия.
Теперь на основе полученной зависимости (6) для доходности к погашению
еврооблигаций Минфина РФ рассчитаем
значения форвардных ставок по формуле
(7) и сведем данные (см. таблицу).
В качестве примера рассмотрим инвестиционный проект по вводу в строй
новой производственной линии на периоде расчета интегральных показателей,
равном 10 годам.
Для упрощения расчетов будем считать, что значение премии за риск, включая среднерыночный риск и риск, учитывающий характерные особенности самого инвестиционного проекта, не будет меняться на протяжении всего периода
реализации проекта и равняется 10%.
Отметим, что при проведении достаточно «грубых» расчетов, когда шаг дисконтирования берется на уровне первого
года, первый множитель коэффициента
дисконтирования относится к денежному
потоку второго года. Несмотря на длительность прогнозного периода, обычно
этот показатель составляет 10 лет, процедура дисконтирования денежных потоков
(CFi) проводится либо с квартальным, либо с месячным шагом. Тогда для дисконтирования денежных потоков нулевого года реализации проекта необходимо знать
значение спот-ставки с периодом погашения через 1 год, учитывая, что ставка
дисконтирования меняется по периодам.
Для большей наглядности и простоты
расчетов процедуру дисконтирования
выполняют с шагом дисконтирования,
равным 1 году (см. таблицу).
В столбце 5 таблицы приводится значение коэффициента (фактора) дисконтирования при условии, что ставка дисконтирования на протяжении всего прогнозного
периода остается неизменной. Следовательно, для того чтобы избежать ситуаций,
связанных с неопределенностью, которая
приводит к риску процентной ставки и
ставки реинвестирования, в качестве безрисковой составляющей была использована доходность к погашению (YTM) со сроком погашения через 10 лет (величина
прогнозного периода) на основе формулы
(9) и получено значение, равное 0,0632.
В случае, когда безрисковая величина
ставки дисконтирования (цена альтернативных издержек привлечения капитала)
изменяется в зависимости от периода реализации проекта, приводили значения денежных потоков, пользуясь формулой (7).
Как показывают расчеты (см. таблицу), разница между величиной NPV на
прогнозном периоде, равном 10 годам, и
значением премии за риск, равном 10%,
в случаях, когда денежные потоки приводятся по постоянной и переменной цене
привлечения капитала, составляет 13%.
Данная величина весьма существенна и
находится на уровне рентабельности продаж (Return on sales, ROS) машиностроительных предприятий и, следовательно,
может иметь определяющее значение
(sруб/USD и fруб/USD выражены в рублях за доллар США). Поскольку полученная в результате этих стратегий сумма одинаковая
(∑), то и выплаты по ним также должны
быть одинаковыми. Отсюда получаем
следующее равенство:
где rРУБ — значение рублевой ставки дисконтирования; rUSD — значение валютной
ставка дисконтирования; fруб/USD — форвардный курс рубля к доллару; sруб/USD —
текущий обменный спот-курс рубля к доллару.
То есть
По данным торгов на Московской
межбанковской валютной биржи
(ММВБ), по состоянию на 10 марта
2005 г. sруб/USD и fруб/USD равняются 27,461
и 27,628 руб./долл. соответственно.
Воспользовавшись теоремой о паритете процентных ставок, описанной выше,
можно установить, что рублевая ставка
дисконтирования, эквивалентная определенной выше валютной ставке в размере
18,08%, равна 18,8%.
Для того чтобы избежать трудностей,
связанных с внутренней нормой доходности (IRR), обусловленных временной
структурой процентных ставок, значение
IRR можно сравнивать с доходностью к
погашению (YTM) свободно обращающихся на рынке ценных бумаг, которые имеют одинаковые сроки погашения, равные
прогнозному периоду, рассматриваемого
инвестиционного проекта.
В качестве примера рассмотрим проект, инвестиции которого осуществляются
в активы металлургической отрасли. Предположим, что длительность прогнозного
периода составляет 4,25 года и совпадает
с датой погашения облигаций (12 июня
2009 г.). По данным агентства Reuters, последние имитированы ОАО «Углемет-трейдинг« с доходностью к погашению, равной
9,23% годовых. Данная компания является вертикально интегрированным металлургическим холдингом, следовательно,
Список литературы
1. Грачева М. В., Фадеева Л. Н., Черемных Ю. Н. Количественные методы в
экономических исследованиях. М.:Юнити, 2004.
2. Грязнова А. Г., Федотова М. А.
Оценка бизнеса. М.: Финансы и статистика, 2003.
3. Замков О.О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в
экономике. М.: «Дело и Сервис», 2004.
4. Киреев В. И. Численные методы в
примерах и задачах. М.: Высшая школа,
2004 .
5. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело, 2001.
6. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. СПб.: Экономическая
школа, 2001.
7. Брейли Р., Майерс С. Принципы
корпоративных финансов. М.: ЗАО
«Олимп–Бизнес», 2004.
8. Коупленд Т., Колер Т., Мурин Дж.
Стоимость компаний. Оценка и управление. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2002.
9. Крушвиц Л. Инвестиционные расчеты. СПб.: Издательский дом «Питер»,
2001.
10. Модильяни Ф., Миллер М. Сколько
стоит фирма? М.: Дело, 1999.
11. Мэтьюз Д. Г., Финк К. Д. Численные методы. М.; СПб.; Киев: Издательский
дом «Вильямс», 2001.
12. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: Юнити, 1999.
13. Фаббоци Ф. Дж. Управление инвестициями. М.: Инфра-М, 2001.
14. Ван Хорн Дж. К., Вахович Д. М.
Основы финансового менеджмента. М.;
СПб.: Издательский дом «Вильямс», 2001.
15. Ли Ченг Ф., Финнерти Дж. И. Финансы корпораций: теория, методы и
практика. М.: Инфра-М, 2000.
16. Шарп У. Ф., Александр Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. М.: Инфра-М,
1999.
E-mail автора: maltsev.econ@mail.ru.
МЕТОДИЧЕСКИЕ
РАЗРАБОТКИ
риск инвестирования в активы ОАО «Углемет-трейдинг« сопоставим с риском инвестирования в оцениваемый проект. Тогда
при оценке эффективности проекта доходность к погашению облигаций ОАО «Углемет-трейдинг» можно сравнивать со значением IRR проекта. Если значение IRR
превышает YTM облигаций, то можно говорить о принятии проекта.
Таким образом, при оценке эффективности инвестиционных проектов следует руководствоваться временной структурой процентных ставок при расчете интегральных показателей проекта.
№ 10 (289)
2005
лютной доходностью rUSD, которая принесет через год денежные средства в размере ∑ • (1 + rUSD). Стратегия, связанная
с инвестированием этой же суммы ∑ в
долларах США в российские ценные бумаги с рублевой доходность rРУБ, при обменном спотовом курсе sруб/USD и фьючерсной цене fруб/USD принесет через год сумму
в долларах США в размере ∑ •(1+rРУБ).
РЫНОК
ЦЕННЫХ
БУМАГ
при принятии решения об эффективности
капитальных вложений на основе критерия NPV. При проведении анализа рисков, например в рамках имитационного
моделирования (метод Монте-Карло),
уменьшение критерия NPV на 13% может
дать достаточно большую вероятность выпадения отрицательного значения NPV, и,
как следствие, проект может быть признан как достаточно неустойчивый при
изменении его ключевых параметров.
Автор статьи считает, что процедуру
дисконтирования денежных потоков
(CFi) при оценке эффективности инвестиционного проекта следует проводить
по методу затрат собственного капитала
(equity residual method), который не
предполагает структуры источников финансирования проекта в ставке дисконтирования. Напротив, метод чистого
операционного потока предполагает
дисконтирование денежных потоков
(CFi) по ставке WACC (Weighted Average
Cost of Capital), значение которой меняется (уменьшается) в ходе реализации
инвестиционного проекта, по мере погашения задолженности.
Согласно правилу внутренней нормы
доходности (IRR) мы принимаем проект,
если значение IRR больше альтернативных
издержек капитала. Цена альтернативных
издержек капитала (полная ставка дисконтирования) в случае, когда они меняются
на протяжении прогнозного периода проекта или остаются постоянными, равняется
18,08 и 16,32% соответственно. Даже если величина IRR имеет недостаточно высокое значение, то при принятии решения об
эффективности проекта для придания большей достоверности оценкам следует руководствоваться большим из двух значений
ставок дисконтирования. В свою очередь
это уменьшает запас прочности при принятии проекта на основе критерия IRR.
Следует также отметить, что в нашем
примере все значения ставки дисконтирования имеют долларовое значение.
Как правило, денежные потоки проекта
номинируются в национальной валюте,
например в рублях, которые нужно приводить (дисконтировать) по рублевому
значению цены капитала привлечения
капитала. Тогда возникает вопрос о переходе к рублевому значению ставки дисконтирования.
Процедура пересчета валютной доходности цены привлечения капитала в рублевую доходность производится на основе
теоремы паритета процентных ставок и
валютного курса (interest-rate parity).
В качества примера можно привести
стратегию, связанную с инвестированием
некоторой суммы ∑ в долларах США в
безрисковые еврооблигации России с ва-
65