Дополнительные свойства экономики Эрроу-Дебре с функциями ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна

Ю.В.Автономов
НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2015
Дополнительные свойства экономики
Эрроу-Дебре с функциями ожидаемой
полезности фон Неймана-Моргенштерна
Свойства Парето-оптимальных состояний в экономиках без
системного риска
Свойства равновесий в экономиках без системного риска
Свойства Парето-оптимальных состояний и равновесий в
экономиках с системным риском
Свойства внутренних Парето-оптимальных состояний и
равновесий в экономиках с нейтральными к риску агентами
Предположим, предпочтения агента представимы
функцией ожидаемой полезности фон НейманаМоргенштерна. В этом случае:
• Монотонное возрастание v(x) гарантирует строгую
монотонность предпочтений
• Непрерывность v(x) гарантирует непрерывность
предпочтений
• Вогнутость v(x) гарантирует выпуклость
предпочтений
2
На протяжении сегодняшней лекции, чтобы упростить
изложение, мы будем рассматривать экономики с
единственным физическим благом.
Мы также упростим обозначения: т.к. физическое
k
благо лишь одно, вместо " x1s "
(“количество
физического блага 1, потребляемое агентом k в
k
состоянии мира s” будем писать просто " xs ".
Это не изменит ни сути рассматриваемых теорем, ни
принципиального характера их доказательств.
3
Свойства Парето-оптимальных состояний в экономиках
без системного риска
Теорема 1
Пусть в экономике Эрроу-Дебре отсутствует системный риск,
а предпочтения потребителей характеризуются функциями
полезности фон Неймана-Моргенштерна с одинаковыми
положительными оценками вероятностей состояний мира и
вогнутыми элементарными функциями полезности…
…тогда в любом (субъективно) Парето-оптимальном
состоянии данной экономики
~
x
потребление каждого агента
со строго вогнутой элементарной функцией полезности не
зависит от состояния мира...
4
Теорема 1 (продолжение)
...и наоборот, если в такой экономике имеется состояние
~
x,
в котором потребление каждого агента не зависит от
состояния мира и элементарные функции полезности
являются возрастающими и вогнутыми,
это состояние (субъективно) Парето-оптимально.
Интерпретация?
5
Доказательство <первая часть>:
От противного: пусть имеется Парето-оптимальное состояние
~
x,
в котором для некоторого потребителя k и двух состояний
мира s1 и s2, ~
xs
k
1
~
xsk2. Рассмотрим другое распределение x̂ , в
котором каждому агенту k выделяется набор


 S

S
S
  s ~
xsk ,   s ~
xsk ,...,   s ~
xsk 
 s 1

s 1
s 1















S
элементов


.
Заметим, что такое распределение будет допустимо:
M
M
S
k 1
k 1 s 1
S
M
S
M
s 1
k 1
k
k
k
k
~
~
~
ˆ
s  xs    s xs    s xs    s  xs  
s 1 k 1
6
Заметим, что для любого потребителя k исходный набор контингентных
благ
~
xk
можно представить в виде лотереи


Lk  1 ,...,  S  ~
x1k ,..., ~
xSk
В таком случае, набор

x̂ k можно представить в виде
математического ожидания выигрыша в эту лотерею.
В результате замены
~
x k на x̂ k , полезность тех агентов, которые не
несли индивидуального риска, не изменилась. А полезность того
потребителя k, у которого лотерея Lk содержала риск, возросла по
определению рискофобии: Uk(E(L)) > Uk(L).
Следовательно, распределение
отношению к
~
x
x̂ является Парето-улучшением по
 мы пришли к противоречию, □.
7
Доказательство <вторая часть>:
Пусть имеется Парето-оптимальное состояние ~
x , в котором
ни один агент не несет индивидуального риска. Покажем, что
оно неулучшаемо по Парето.
Как было доказано только что, в экономике с нейтральными и
несклонными к риску агентами без системного риска к любому
распределению, в котором кто-то несет индивидуальный риск,
можно построить Парето-улучшение. Поскольку Парето-
~
улучшение Парето-улучшения x тоже будет Паретоулучшением ~
x , достаточно рассматривать только такие
улучшения, где никто не несет индивидуального риска.
8
Пусть xˆ  ~
x - Парето-улучшение ~
x , в котором никто не несет
индивидуального риска. Если элементарные функции всех
потребителей возрастают, то
k , s
k
k
ˆxs k  ~
ˆ
xs и k : xs  ~
xsk , s
Просуммировав эти неравенства по всем потребителям,
получим, что x̂ не является допустимым:
M
s
M
k
~
ˆ
x

x
 s  s 
k 1
k
k 1
9
Свойства равновесия в экономиках без системного риска
Теорема 2
Пусть в экономике Эрроу-Дебре отсутствует системный риск,
а предпочтения потребителей характеризуются функциями
полезности фон Неймана-Моргенштерна с одинаковыми
положительными оценками вероятностей состояний мира и
вогнутыми элементарными функциями полезности.
Тогда в любом равновесии Эрроу-Дебре ( ~
p, ~
x) 
10
Теорема 2 (продолжение)
(i) Ни один агент со строго вогнутой элементарной функцией
полезности не несет индивидуального риска
(ii) Если хотя бы у одного агента элементарная функция
полезности возрастающая, дифференцируемая и строго
вогнутая, и его равновесный набор является внутренним, то
отношение цен на физическое благо в любых двух
состояниях мира s1 и s2 равно отношению вероятностей этих
состояний: p1/p2 =µ1/µ2.
Доказательство?
11
Свойства Парето-оптимальных состояний и равновесий в
экономиках с системным риском
Теорема 3 (без доказательства)
В экономике Эрроу-Дебре с одним физическим благом, двумя
состояниями мира и двумя потребителями, предпочтения которых
представимы функциями полезности фон Неймана-Моргенштерна
с одинаковыми положительными оценками вероятностей
состояний мира и вогнутыми элементарными функциями
полезности, одна из которых строго вогнута:
(i) Контрактная кривая в ящике Эджворта проходит между
биссектрисами углов начала координат.
(ii) В любом равновесии Эрроу-Дебре, цена физического блага в
более «скудном» состоянии мира относительно выше.
12
Свойства Парето-оптимальных состояний и равновесий в
экономиках с риск-нейтральными агентами
Теорема 4
Пусть в экономике Эрроу-Дебре, где предпочтения
потребителей характеризуются функциями полезности фон
Неймана-Моргенштерна с одинаковыми положительными
оценками вероятностей состояний мира, и по крайней мере
один потребитель нейтрален к риску.
Тогда 
13
Теорема 4 (продолжение)
(i) Если в некотором Парето-оптимальном распределении ~
x набор
риск-нейтрального потребителя внутренний, ни один агентрискофоб не несет индивидуального риска.
(ii) Если в некотором равновесии Эрроу-Дебре  ~
p, ~
x  набор рискнейтрального потребителя внутренний, ни один агент-рискофоб не
несет индивидуального риска.
~ ~
(iii) Если в некотором равновесии Эрроу-Дебре  p , x  набор риск-
нейтрального потребителя внутренний, и существует агентрискофоб с дифференцируемой возрастающей элементарной
функцией полезности, чей равновесный набор является
внутренним, отношение цен на физическое благо в любых двух
состояниях мира s1 и s2 равно отношению вероятностей этих
состояний: p1/p2 =µ1/µ2.
14