График квадратичной функции

1С:Математический конструктор 5.5
•
Методические указания к интерактивным моделям
График квадратичной функции
36
Класс: 8–9
Тема: Квадратичная функция
Назначение: Изучение влияния коэффициентов квадратичной функции на ее внешний вид (направление и
«крутизну» ветвей, положение вершины) и свойства (монотонность, точки пересечения с осями).
Организация исследовательской работы по выявлению траектории движения вершины параболы
при изменении одного из ее коэффициентов.
Как изучать: Под руководством учителя, самостоятельно в классе, исследовательская работа
***
Модуль содержит модель, на рабочем листе которой представлен график квадратичной функции
y = ax 2 + bx + c со случайно выбранными коэффициентами a, b и c. Коэффициенты можно задавать
и самостоятельно с помощью специальных окошек. Варьируя a, b и c, можно наблюдать за
изменением параболы.
Рядом с графиком показаны две важные формулы: уравнение параболы с выделением полного
квадрата и основанное на этом вычисление координат вершины параболы. При этом обе формулы
записаны не в общем виде, а сразу с подставленными в них значениями a, b и c.
В модели имеются 4 вопроса, на которые надо ответить для данной параболы (т.е. при других
значениях a, b и c ответы могут быть другими). Вопросы представлены в виде пропусков в тексте,
которые должен заполнить ученик. После заполнения пропусков необходимо нажать «Проверить» ответы будут автоматически проверены.
1С:Математический конструктор 5.5
•
Методические указания к интерактивным моделям
Методические рекомендации по работе с модулем
Модуль может использоваться при изучении темы «Квадратичная функция и её график» как для
работы в классе под руководством учителя, так и при самостоятельной работе учащихся.
Урок по теме «Квадратичная функция и её график»
1. Напомните учащимся, какая функция называется квадратичной, и как выглядит её график.
2
Попросите записать уравнение параболы, которую они видят на экране: y = 0,51x − 2 x + 0,8 .
2. ВОПРОС: что происходит с графиком квадратичной функции при изменении a > 0 ? ОТВЕТ: вопервых, меняется «крутизна» ветвей параболы (чем больше a, тем круче ветви уходят вверх); вовторых, перемещается вершина параболы (чем больше a, тем ближе вершина к оси Oy).
3. ВОПРОС: что происходит с графиком при изменении знака a? ОТВЕТ: меняется направление
ветвей параболы.
4. ВОПРОС: что происходит с графиком квадратичной функции при изменении a < 0 ? ОТВЕТ: вопервых, меняется «крутизна» ветвей параболы (чем больше модуль a, тем круче ветви уходят
вниз); во-вторых, перемещается вершина параболы (чем больше модуль a, тем ближе вершина к
оси Oy).
5. ВОПРОС: что происходит с графиком при изменении с? ОТВЕТ: вершина движется вдоль оси
Oy; крутизна и направление ветвей не меняются. Это объясняется тем, что двигается вверх-вниз
точка пересечения параболы с осью Oy, т.е. точка (0; c).
6. ВОПРОС: что происходит с графиком при изменении b? ОТВЕТ: вершина движется по
траектории, напоминающей параболу (это и в самом деле парабола!); крутизна и направление
ветвей не меняется.
7. Попросите учащихся ответить на вопросы упражнения (вставить недостающий текст). Обратите
их внимание, что у каждого сейчас своя парабола, поэтому правильные ответы могут быть
разными!
8. * В качестве дополнительного вопроса-исследования для сильных учащихся можно продолжить
задание пункта 6: по какой траектории движется вершина параболы при изменении параметра b?
2
ОТВЕТ: по параболе y = −ax + c .
9. * Точно также можно продолжить исследование пункта 2: по какой траектории движется
вершина параболы при изменении параметра a? ОТВЕТ: по прямой y =
b
x + c.
2
При самостоятельной работе с моделью упражнение, приведённое в модели, может использоваться
для контроля усвоения основного материала, а вопросы 8 и 9 даны как тема дополнительного
исследования.