X - РГАТА

УДК 517.2
Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и
методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В.
Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. – Рыбинск, 2012. – 24 с. –
(Заочная форма обучения/ РГАТУ имени П. А. Соловьева).
Методические указания разработаны на основе ФГОС ВПО и
предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающихся 4 и
5 лет по специальности 211000 «Проектирование и технология
радиоэлектронных средств» и изучающих теорию вероятностей один
семестр.
Методические указания содержат рабочую программу, список
литературы, методические указания по выполнению контрольной работы,
основные понятия и формулы, решения типовых задач, варианты
контрольной работы по темам: «Случайные события», «Случайные
величины».
СОСТАВИТЕЛЬ
кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина
ОБСУЖДЕНО
на заседании кафедры высшей математики
 РГАТУ, 2012
ВВЕДЕНИЕ
Целями освоения дисциплины Теория вероятностей являются ознакомить студентов с основами теории вероятностей, математической
постановкой и методами решения соответствующих задач, важных в
практической работе бакалавра, научить их проводить сравнительный
анализ эффективности различных методов в приложении к решению
конкретной задачи, выбирать наиболее рациональные методы решения
задачи, научить работе со справочной литературой.
ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.
Алгебра случайных событий.
2.
Классическое, геометрическое и аксиоматическое определения
вероятности реализации случайного события.
3.
Теорема сложения вероятностей, монотонность. Условная
вероятность.
4.
Теорема умножения. Независимые случайные события.
5.
Формула полной вероятности и формула Байеса.
6.
Формула Бернулли и следствия из нее.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.
Скалярные случайные величины.
2.
Функции распределения и ее свойства.
3.
Дискретные случайные величины.
4.
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
5.
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения
вероятностей и ее основные свойства.
6.
Равномерное и нормальное распределения. Функция Лапласа.
7.
Многомерные случайные величины (случайные векторы). Функция
распределения случайного вектора. Дискретные и непрерывные
случайные
векторы.
Плотность
распределения
вероятностей
непрерывного случайного вектора.
3
8.
Независимые случайные величины. Функция случайных величин.
9.
Числовые характеристики случайных величин. Математическое
ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
10. Ковариация и коэффициент корреляции. Ковариационная матрица.
11. Многомерный нормальный закон распределения.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Закон больших чисел и его основное содержание.
Неравенства Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Центральная предельная теорема. Теорема Муавра -Лапласа.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ЛИТЕРАТУРА
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003.- 479 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2004. - 404 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.
Электронная библиотечная система «Университетская книга».
Электронная библиотечная система вуза на www.rsatu.ru
Электронные ресурсы на сайте кафедры www.rsatu.ru/sites/vmat
Электронная библиотека www.math.ru
Интернет университет www.intuit.ru
Образовательный математический сайт www.exponenta.ru
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Пусть дано множество
элементов.
D={a 1 , a 2, ... , a n }
содержащее n различных
Перестановки – это множества из n элементов {a 1 ,a 2 ,.. . ,a n } которые
4
отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Например,
{a 1 , a 2 ,. .. , a n } , {a 2 ,a 3 , .. . ,a n } и т. д.
Число перестановок из n элементов обозначают P n и находят по
формуле
P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n
Размещения – это подмножества множества D, состоящие из k
элементов и отличающиеся друг от друга или составом элементов, или
порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по k обозначают Akn и вычисляют
по формуле
n!
Akn =
=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k +1)
(n−k ) !
Например, A36 =6⋅5⋅4=120
Сочетания – это подмножества множества D, состоящие из k элементов
и отличающиеся друг от друга составом элементов. Например, если
D={a 1 , a 2, a 3 } , то подмножества {a 1, a 2 }, {a 2, a 3 }, {a 1, a 3 }
– это
сочетания из трех элементов по два.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают Cn k и вычисляют по
формуле
n⋅(n−1)⋅...⋅( n−k +1)
n!
С kn =
=
k ! (n−k )!
1⋅2⋅...⋅k
7⋅6⋅5⋅4
k
=35
Например, C n =
1⋅2⋅3⋅4
n
2
Замечание. Если k > , то следует пользоваться формулой
Cn k = Cn n−k .
100⋅99
=4950 .
1⋅2
Число всех подмножеств множества D равно
n
n
C 1n +C 2n+...+C n−1
n +C n =2 −1 .
98
100−98
2
Например, C 100=C 100 =C 100=
СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ. ФОРМУЛЫ
5
События подразделяются на случайные (обозначаются А, B, A1 , A2 ,... ),
достоверные (обозначаются U ), невозможные (обозначаются ∅).
А – событие противоположное событию A (состоящее в ненаступлении
А).
А + B (или А ∪ B ) – сумма событий, АB (или А ∩ B ) – произведение
событий.
Если AB=∅ , то А и B – несовместные события, если AB≠∅ , то A и
B – совместные.
p ( A) – вероятность события A .
Свойства
1. 0 ≤ p ( A) ≤ 1.
2. p (U ) = 1, p(∅)=0.
3. p ( A) = 1 − p( A).
4. P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ), если А и В несовместные.
Формулы
P ( A) =
m
n
– классическое определение вероятности события, где
n − общее число всех элементарных равновозможных исходов испытания,
образующих полную группу попарно несовместных событий, а m − число
исходов, благоприятствующих появлению события А .
Вероятность произведения событий:
Вероятность события В при условии, что произошло событие А
называют условной вероятностью и обозначают P ( B A) или PA ( B).
p ( AB ) = p( A) p ( B A) .
Если P (B∣A )=P (B) , то событие В — называется независимым от А.
p ( AB ) = p( A) p ( B ) , если A и B – независимые.
Вероятность суммы событий:
p ( A + B ) = p( A) + p ( B ) , если A и B – несовместные.
p ( A + B ) = p( A) + p ( B ) - p(AB), если A и B – совместные.
Геометрическая вероятность
При геометрическом определении вероятности события исходят из
соотношений длин отрезков, площадей плоских фигур, объемов тел.
Пусть отрезок длины l составляет часть отрезка длины L. На
отрезок длины L наудачу поставлена точка. Пусть вероятность попадания
6
точки одновременно на отрезок длины l зависит лишь от его длины и
не зависит от его расположения на отрезке длины L. В этом случае
вероятность того, что точка, поставленная наудачу на отрезок длины L,
попадает одновременно на данный отрезок длины l , вычисляется по
l
формуле P= .
L
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Если событие А может произойти только вместе с одним из попарно
несовместных событий H1 , H 2 ,..., H n , образующих полную группу
событий, то вероятность события А вычисляется по формуле, называемой
формулой полной вероятности
n
P ( A) = P ( H1 ) P( A H 1 ) + ... + P ( H n ) P ( A H n ) = ∑ P( H i ) P( A H i ).
i =1
События H1 , H 2 ,..., H n называют гипотезами.
Для нахождения условных вероятностей гипотез пользуются
формулой Байеса
P ( H j A) =
P( H j ) P( A H j )
n
∑ P( H ) P( A H
i
i =1
i
.
)
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых
событие А может произойти с одной и той же вероятностью р. Требуется
найти Pn (k ) – вероятность того, что событие А произойдет k раз в этих n
испытаниях.
Используется формула Бернулли
Pn ( k ) = Cnk p k q n−k ,
k
где p=P ( A) , q= P ( A)=1− p , C n =
n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k +1)
- число
1⋅2⋅...⋅k
сочетаний.
Формулы Муавра-Лапласа:
7
1
pn (k ) =
ϕ ( x),
npq
1
x2
ϕ ( x) =
exp( − ) ,
2
2π
(имеются таблицы значений функции ϕ ( x) ).
x1 =
P n ( k 1 ; k 2)=Ф ( x 1 )−Ф ( x 2 ) ,
k1 − np
,
npq
x=
k − np
,
npq
x2 =
k2 − np
,
npq
x
− z2
1
Ф( x) =
e 2 dz –
∫
2π 0
функция Лапласа (значения функции находятся по таблице).
Формула Пуассона:
λ k e−λ
pn (k ) =
,
k!
где λ = np , n – число испытаний, p = p ( A) .
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (СВ)
Случайной величиной (СВ) называют величину, которая в
результате испытания (опыта, наблюдения, измерения) примет одно из
своих возможных значений.
Случайные величины обозначают X , Y , X 1 , X 2 ,…
СВ бывают дискретными или непрерывными. Дискретная СВ
принимает отдельные, изолированные значения. Непрерывная СВ может
принимать любое значение из конечного или бесконечного интервала.
Законом распределения СВ называют множество ее возможных
значений и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения может иметь различные формы. Для
дискретной СВ его можно задать в виде таблицы или функции
распределения, а для непрерывной СВ – в виде функции распределения
или плотности распределения вероятностей.
1) Х – дискретная СВ.
Закон распределения:
X
x1
x2
...
xn
P
p1
p2
...
pn
8
где x1 x2 ...xn – возможные значения Х, а
p1 = p ( X = x1 ), p2 = p ( X = x2 ),..., pn = p ( X = xn ) – вероятности событий
X = x1 , X = x2 ,..., X = xn , причем p1 + p2 + ... + pn = 1.
2) Х – непрерывная СВ.
Функция распределения
Х – непрерывная СВ, х – действительное число.
p ( X < x) – вероятность того, что случайная величина в результате
опыта примет значение меньшее числа х, т.е. вероятность события X < x.
Если меняется х, то изменяется p ( X < x) , следовательно, является
функцией от х. Эту функцию обозначают F ( x) и называют функцией
распределения вероятностей случайной величины Х:
F(x)=p (X<x).
F ( x) = p ( X < x) = p (−∞ < X < x) – вероятность того, что Х
примет значения из интервала (−∞; x).
Свойства:
1. 0 ≤ F ( x) ≤ 1 ;
2. F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) , при x2 > x1 ( F ( x) – неубывающая функция);
3. F (−∞) = 0 , F (+∞) = 1 ;
4. p (a < X < b) = F (b) − F (a ) .
Плотность распределения
X – непрерывная СВ,
f ( x) = F ′( x) –
плотность распределения вероятностей случайной величины X .
Свойства:
+∞
1. f ( x) ≥ 0 ;
2.
∫
f ( x)dx =1 ;
−∞
b
x
3. p (a < X < b) = ∫ f ( x )dx ;
4. F ( x) =
∫
−∞
a
9
f ( x)dx .
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Математическое ожидание случайной величины Х.
n
M ( X ) = x1 p1 + ... + xn pn = ∑ xi pi –
i =1
для дискретной случайной величины.
M (X ) =
+∞
∫ xf ( x)dx –
−∞
для непрерывной СВ, где f ( x) – плотность распределения.
M (ϕ ( X )) =
+∞
∫ ϕ ( x) f ( x)dx
–
−∞
математическое ожидание функции Y = ϕ ( X ) .
2. Дисперсия случайной величины Х.
D( X ) = M [ X − M ( X ) ] – дисперсия СВ X .
2
σ ( X ) = D( X ) – среднее квадратическое отклонение.
Вычисление:
n
1) D( X ) = ∑ [ xi − M ( X ) ] pi – дискретной СВ.
2
i =1
2) D( X ) =
+∞
∫ [ x − M ( X )]
2
f ( x) dx – непрерывной СВ.
−∞
3) D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) .
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т. е. D (C )=0 .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат, т. е. D (C⋅X )=C 2⋅D( X ) .
3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых величин равна сумме
дисперсий этих величин, т. е. D ( X ±Y )= D( X )± D(Y )
3. Моменты.
10
ϑk = M ( X k ) – начальный момент порядка k .
µ k = M [ X − M ( X ) ] – центральный момент порядка k .
k
4. Медиана и мода.
Медиана – значение x0 непрерывной случайной величины X , при
котором
p ( X < x0 ) = p( X > x0 ) = 0,5 .
Мода – наиболее вероятное значение СВ X .
5.Законы распределения непрерывной случайной величины Х:
1) Равномерное распределение:
Случайная величина X имеет равномерное распределение на
интервале (a ; b) если плотность распределения задается формулой
0, если x⩽a или x≥b ,
f ( x )= 1
, если x ∈(a ; b)
b−a
Функция распределения вероятностей имеет вид:
0, если x⩽a ,
F (x)= x−a , если x ∈(a ; b),
b−a
1, если x≥b
{
{
Числовые характеристики:
a+b
(b − a ) 2
M (X ) =
, D( X ) =
.
2
12
2) Показательное распределение:
Случайная величина Х имеет показательное распределение, если
плотность распределения задается формулой
0 при x < 0,
f ( x) =  − λ x
при x ≥ 0,
λ e
где λ > 0 – константа (параметр распределения).
Функция распределения имеет вид
11
0 при x < 0,
F ( x) = 
−λ x
при x ≥ 0.
1 − e
Числовые характеристики:
M (X ) =
1
,
λ
D( X ) =
1
,
λ2
1
σ (X ) = .
λ
3) Нормальное распределение:
Случайная величина Х имеет нормальное распределение, если
плотность распределения задается формулой
2
( x−a)
1
⋅e 2 σ ,
σ √2 π
где а и σ – параметры распределения (константы).
Числовые характеристики:
M ( X ) = a, D ( X ) = σ 2 .
−
f ( x )=
2
Вероятность того, что Х примет значение из интервала (α1 , α 2 )
вычисляется по формуле
α −a
α −a
p (α1 < X < α 2 ) = Φ ( 2
) − Φ( 1
),
σ
σ
где Φ( x) – функция Лапласа.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Вариант задания контрольной работы определяет преподаватель.
2. Контрольная работа выполняется в школьной тетради, на обложку
которой наклеивается титульный лист (см. образец титульного листа).
3. Перед решением условие задачи переписывается полностью.
4. При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться
последовательности задач, данных в задании.
5. Решение задач следует излагать подробно, сопровождая необходимыми
объяснениями.
6. Выполнять чертежи и строить графики, если это требуется заданием.
7. В конце решения задачи обязательно записывается ответ.
12
8. При получении прорецензированной, но не зачтенной работы, все
необходимые исправления и дополнения следует делать на
последующих после рецензии страницах этой же тетради.
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1. В треугольник со сторонами равными а, b, с вписан круг. Точка М
произвольным образом ставится в треугольник. Найти вероятность того,
что точка попадет в круг (варианты 1-5, 11-15) и не попадет в круг
(варианты 6-10, 16-20).
№ вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а
4
9
12
8
6
16
14
9
5
18
b
7
10
15
11
7
22
12
13
9
26
c
5
11
21
13
9
26
18
12
12
24
№ вар
a
b
c
11
15
9
16
12
3
11
10
13
9
30
33
14
7
9
12
15
9
13
16
16
6
20
22
17
21
27
36
18
14
18
24
19
15
8
19
20
6
9
13
2. Куб с окрашенными гранями распилен на n кубиков одинакового
размера, которые перемешаны. Извлекаются 3 кубика. Найти вероятность
того, что у них в сумме будет k окрашенных граней.
2.1. n = 216, k = 3.
2.11. n = 729, k = 2.
2.2. n = 512, k = 5.
2.12. n = 1000, k = 5.
2.3. n = 729, k = 4.
2.13. n = 343, k = 3.
2.4. n = 343, k = 6.
2.14. n = 512, k = 6.
2.5. n = 1000, k = 2.
2.15. n = 216, k = 2.
2.6. n = 512, k = 3.
2.16. n = 1000, k = 3.
2.7. n = 216, k = 5.
2.17. n = 512, k = 4.
2.8. n = 343, k = 4.
2.18. n = 729, k = 5.
2.9. n = 729, k = 6.
2.19. n = 343, k = 2.
2.10. n = 1000, k = 4.
2.20. n = 216, k = 6.
13
3. Три цеха завода производят однотипные изделия, которые поступают на
сборку в общий контейнер. Известно, что первый цех производит изделий
в k раз больше второго цеха и в m раз больше третьего цеха. В первом
цехе брак составляет n1 % , во втором – n2 % , а в третьем – n3 % . Для
контроля из контейнера берется одно изделие. Какова вероятность того,
что изделие окажется стандартным (без брака). Вероятность вычислять с
точностью до 0,001.
№ вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
3
1
4
2
1
3
2
3
5
4
m
3
5
2
3
2
2
4
4
2
3
n1
6
12
8
10
5
8
10
6
4
10
n2
10
16
14
15
10
10
8
12
6
12
n3
20
10
25
20
30
10
8
10
8
12
№ вар.
k
m
n1
n2
n3
11
3
4
10
4
16
12
5
3
8
8
10
13
2
6
10
12
14
14
4
4
8
10
12
15
2
3
6
10
14
16
3
5
15
20
25
17
4
1
6
4
10
18
4
4
10
15
15
19
2
4
12
8
4
20
3
2
25
15
10
4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна p. Найти
вероятность того, что будет не менее m1 и не более m2 попаданий при n
выстрелах.
№ вар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
0,6 0,7
0,8
0,6
0,5
0,4
0,7
0,8
0,9
0,6
n
5
6
5
4
8
6
5
6
5
6
m1
2
1
2
0
2
3
3
2
0
2
m2
4
3
5
3
4
5
5
4
4
5
№ вар
p
n
m1
m2
11
0,4
6
0
2
12
0,6
6
1
3
13
0,7
5
2
4
14
0,8
4
1
3
15
0,6
8
0
3
14
16
0,5
7
5
7
17
0,7
6
0
4
18
0,9
5
1
3
19
0,4
6
2
4
20
0,8
8
3
5
5. В ящике находится n однотипных деталей, из которых k имеют брак. Из
ящика произвольно берутся m деталей. Случайная величина X – число
деталей с браком (для вариантов 1-5; 11-15) и X – число деталей без брака
(для вариантов 6-10; 16-20) среди взятых m деталей.
1) Составить закон распределения случайной величины Х в виде таблицы
(вероятности в таблице записывать десятичной дробью с точностью до
0,001. Например, p2 = 0,748 ).
2) Найти функцию распределения вероятностей F ( x) случайной величины
Х и построить ее график.
Данные приводятся в таблице.
№ вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
20
18
22
15
20
24
19
18
16
20
k
8
10
9
7
9
10
7
6
5
7
m
3
4
2
3
4
2
4
3
4
3
№ вар.
n
k
m
11
22
8
3
12
24
11
4
13
20
6
4
14
18
8
3
15
17
7
4
16
19
8
3
17
20
9
3
18
17
6
4
19
21
8
3
6. По результатам задачи №5 найти математическое ожидание
дисперсию D( X ) случайной величины X .
20
15
5
4
М (Х )
и
7. Закон распределения непрерывной случайной величины X задан одной
из функций F ( x) или f ( x) . F ( x) – функция распределения вероятностей,
f ( x) – плотность распределения вероятностей.
Найти другую из этих функций и построить графики функций F ( x)
и f ( x) .
x ≤ −1,
0,
1

7.1. F ( x) =  ( x3 + 1), − 1 < x ≤ 3,
 28
x > 3.
1,
x ≤ 1,
0,
1

7.2. f ( x) =  x, 1 < x ≤ 3,
4
x > 3.
0,
15
0,
1

7.3. F ( x) =  (2 x − 1),
3
1,
0,
x ≤ −π ,
3

 3
7.4. f ( x) = − sin 3 x, − π < x ≤ 0,
3
 2
x > 0.
0,

x ≤ 2,
0,
1

7.6. f ( x) =  ( x − 1), 2 < x ≤ 4,
4
x > 4.
0,
x ≤ 0,
0 < x ≤ 2,
x > 2.
0,
4
x

7.5. F ( x) =  arctg ,
2
π
1,
x ≤ 0,
0,
1

7.7. F ( x) =  ( x 3 + 8),
9
1,
x ≤ −2,
0 < x ≤ 2,
x > 2.
0,
1

7.8. f ( x) =  ( x + 3),
8
0,
− 2 < x ≤ 1,
x > 1.
0,
x ≤π ,
4


7.9. F ( x) = 1 − sin 2 x, π < x ≤ π ,
4
2

x >π .
1,
2
x ≤ 0,
0,
1

7.11. F ( x) =  (3x − 1), 0 < x ≤ 2,
8
x > 2.
1,
0,
4

7.13. F ( x) =  arctg (x − 1),
π
1,
0,
1

7.15. F ( x) =  ( x 4 − 1),
15
1,
0,


7.10. f ( x) = 2cos x,

0,
0,
3

7.12. f ( x) =  x 2 ,
19
0,
x ≤ 1,
0,

1 < x ≤ 2, 7.14. f ( x) = −2 x,
0,

x > 2.
0,


1 < x ≤ 2, 7.16. f ( x) = −2cos 2 x,

x > 2.
0,
x ≤ 1,
16
x ≤ −3,
− 3 < x ≤ 1,
x > 1.
x ≤π ,
6
π < x ≤π ,
6
2
x >π .
2
x ≤ 2,
2 < x ≤ 3,
x > 3.
x ≤ −1,
− 1 < x ≤ 0,
x > 0.
x ≤π ,
4
π < x ≤π ,
4
2
x >π .
2
0,

7.17. F ( x) = log 2 ( x − 1),
1,

0,


7.19. F ( x) =  tg x ,
2

1,

0,

8
7.18. f ( x) = 
,
2
π
(1
+
4
x
)

0,

x ≤ 2,
2 < x ≤ 3,
x > 3.
0,
1

7.20. f ( x) =  ( x + 3),
14
0,
x ≤ 0,
0< x ≤π ,
2
x >π .
2
x ≤ 0,
0< x≤ 1 ,
2
x> 1 .
2
x ≤ 1,
1 < x ≤ 3,
x > 3.
8. Используя F ( x) или f ( x) из предыдущей задачи для всех вариантов
требуется вычислить математическое ожидание М ( Х ) непрерывной
случайной величины Х, а также:
8.1. медиану x0 .
8.11. p (1 < X < 3).
8.2. p ( X < 2).
8.12. медиану x0 .
8.3. p (−1 < X < 1).
8.13. p (−2 < X < 1,5).
8.4. p ( − π < X < π ).
8.14. p (−5 < X < −0,5).
4
8.5. p ( X > 1).
2
8.6. медиану x0 .
8.15. медиану x0 .
8.16. p (π < X < π ).
8.7. p (−1 < X < 2).
8.17. медиану x0 .
8.8. медиану x0 .
8.9. p (π 6 < X < π 3 ).
8.18. p ( X < 112).
8.19. p (− π 3 < X < π 3 ).
8.10. p (π 3 < X < π ).
8.20. p (1,5 < X < 2).
3
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Вариант № 0
1.0. В треугольник со сторонами а = 6, b = 9, с = 5 вписан круг. Точка
М произвольным образом ставится в треугольник. Найти вероятность
того, что точка попадет в круг.
17
Решение.
Площадь треугольника: S  =r⋅p , где
a
r — радиус вписанной окружности,
c
p — полупериметр треугольника,
r
abc 695
p=
=
=10 ,
2
2
b
S  =  p⋅ p−a ⋅ p−b⋅ p−c =
S
10 2
 10⋅10−6⋅10−9⋅10−5=10  2 , r = p = 10 =  2
S кр.
2

=
=
≈0,44
Площадь круга S кр.=⋅r 2=2  . P=
S  10  2 5  2

≈0,44
Ответ: P =
5 2
2.0. Куб с окрашенными гранями распилен на n=125 кубиков
одинакового размера, которые перемешаны. Извлекаются 3 кубика. Найти
вероятность того, что у них в сумме будет 4 окрашенных грани.
Решение.
А — у трех извлеченных кубиков в сумме 4 окрашенных грани,
А1 — у одного из кубиков 3 окрашенных грани, у другого — 1 грань, у
третьего — ни одной,
А2 — у двух кубиков по 2 окрашенных грани, у третьего — ни одной,
А3 — у одного из кубиков 2 окрашенных грани, у двух других — 1
грань.
При распиливании куба на n=125 кубиков, каждое ребро распиливается
на 3 n=3 125=5 частей. В результате получается 8 кубиков с 3-мя
окрашенными гранями, 12⋅ 3 n−2=36 кубиков с 2-мя окрашенными
2
3
гранями,
6⋅  n−2 =54 кубика с 1-ой окрашенной гранью,
3
3
  n−2 =27 неокрашенных кубиков.
P  A=P  A1  P A2  P  A 3
1
1
1
C 8⋅C 54⋅C 27
P  A 1 =
≈0,037
3
C 125
2
1
C 36⋅C 27
P  A 2 =
≈0,054
3
C 125
18
1
P  A 3 =
2
C 36⋅C 27
≈0,162
3
C 125
P  A≈0,0370,0540,162=0,253
Ответ: P  A≈0,253 .
3.0. Три цеха завода производят однотипные изделия, которые
поступают на сборку в общий контейнер. Известно, что первый цех
производит изделий в 5 раз больше второго цеха и в 4 раз больше третьего
цеха. В первом цехе брак составляет 5%, во втором – 8%, а в третьем –
10%. Для контроля из контейнера берется одно изделие. Какова
вероятность того, что изделие окажется стандартным (без брака).
Вероятность вычислять с точностью до 0,001.
Решение.
А – взятое из контейнера изделие окажется стандартным (без брака).
H1 – изделие произведено первым цехом,
H2 – изделие произведено вторым цехом,
H3 – изделие произведено третьим цехом.
Так как первый цех производит изделий в 5 раз больше второго цеха и в
4 раз больше третьего цеха, то соотношение производимых деталей для
трех цехов будет составлять 20 : 4 : 5.
20
4
5
P  H 1 =
, P  H 2 =
, P  H 1 =
.
29
29
29
В первом цехе брак составляет 5%, следовательно, стандартных изделий
производится 95 %, т. е. P  A∣H 1 =0,95 .
Во втором цехе брак составляет 8%, следовательно, стандартных
изделий производится 92 %, т. е. P  A∣H 2 =0,92 .
В третьем цехе брак составляет 10%, следовательно, стандартных
изделий производится 90 %, т. е. P  A∣H 3 =0,90 .
По формуле полной вероятности
P  A= P H 1 ⋅P  A∣H 1  P H 2 ⋅P  A∣H 2  P H 3 ⋅P  A∣H 3  =
20
4
5
⋅0,95 ⋅0,92 ⋅0,90≈0,937 .
=
29
29
29
Ответ: P  A≈0,937 .
4.0. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Найти вероятность того, что будет не менее 4 и не более 6 попаданий при
9 выстрелах.
19
Решение.
p = 0,8; q = 1 – p = 0,2
А - при 9 выстрелах будет не менее 4 и не более 6 попаданий.
P  A= P 4k 6= P 9 4  P 9 5 P 9 6
k
k
n− k
По формуле Бернулли: P n k =C n⋅p ⋅q
9!
P 9 4 =C 94⋅0,84⋅0,25=
⋅0,8 4⋅0,25≈0,017
4 !⋅5!
9!
P 9 5=C 59⋅0,85⋅0,24 =
⋅0,85⋅0,24 ≈0,066
5 !⋅4 !
9!
P 9 6=C 69⋅0,86⋅0,2 3=
⋅0,86⋅0,2 3≈0,176
6 !⋅3 !
P  A= P 4k 6= P 9 4  P 9 5 P 9 6 ≈0,0170,0660,176=0,259
Ответ: P  A=0,259 .
5.0. В ящике находится 25 однотипных деталей, из которых 10 имеют
брак. Из ящика произвольно берутся 3 деталей. Случайная величина X –
число деталей с браком среди взятых 3-х деталей.
1) Составить закон распределения случайной величины Х в виде
таблицы (вероятности в таблице записывать десятичной дробью с
точностью до 0,001).
2) Найти функцию распределения вероятностей F  x случайной
величины Х и построить ее график.
Решение.
1) Среди 3-х извлеченных деталей может:
‒ быть ни одной бракованной ( x1 =0 ) с вероятностью
3
C 15
p1 = 3 ≈ 0,198 ;
C 25
‒ одна деталь бракованная ( x 2=1 ) с вероятностью
1
2
C 10⋅C 15
p 2=
≈0,457 ;
3
C 25
‒ две детали бракованные ( x3 =2 ) с вероятностью
2
1
C 10⋅C 15
p 3=
≈0,293 ;
3
C 25
‒ все три детали бракованные ( x 4=3 ) с вероятностью
20
3
p 4=
C 10
≈0,052 .
C 325
Закон распределения случайной величины Х :
X 0
1
2
3
P 0,198 0,457 0,293 0,052
4
∑ pi=0,1980,4570,2930,052=1
Проверка:
i=1
2) Функция распределения вероятностей F  x  случайной величины
Х:
{
{
0, x0
0,198 , 0 x1
F  x = 0,1980,457=0,655 , 1 x2
0,1980,4570,293=0,948 , 2 x3
0,1980,4570,2930,052=1, x3
0, x0
0,198 , 0 x1
F  x = 0,655 , 1 x2
0,948 , 2x 3
1, x3
График функции распределения:
6.0. По результатам задачи №5 найти математическое ожидание М  Х 
и дисперсию D  X  случайной величины X .
Решение.
4
М  Х =∑ pi⋅x i =0⋅0,1981⋅0,4572⋅0,2933⋅0,052=1,199
i=1
21
4
D  X =∑ p i⋅xi =0 ⋅0,1981 ⋅0,4572 ⋅0,2933 ⋅0,052−1,199 =0,659
2
2
2
2
2
i=1
  X = D  X =  0,659≈0,812
Ответ: M  X =1,199 , D  X =0,659 ,   X =0,812 .
7.0. Закон распределения непрерывной случайной величины X задан
функцией распределения вероятностей F ( x) .
Найти плотность
распределения f ( x) и построить графики функций F ( x) и f ( x) .
0,
x1
F  x = 1  x 2−1 , 1 x3
8
1,
x3
Решение.
/
f  x = F  x 
0,
x1
f  x = 1 x , 0 x3
4
1,
x 3
График функции распределения:
{
{
График плотности распределения:
22
8.0. Используя F ( x) или f ( x) из предыдущей задачи требуется
вычислить математическое ожидание М  Х  непрерывной случайной
величины Х, а также P 0 X 2 .
Решение.
3
3
+∞
1
1 2
1 3
1 3 3
M ( X )= ∫ x⋅ f ( x) dx=∫ x⋅ x dx=∫ x dx= x 3 = (3 −1 )=
4
12 1 12
−∞
0
0 4
26 13
= =
12 6
∞
3
2
3
2
13
1 3
169
2
2 1
D  X = ∫ x ⋅f  x dx−  M  X   =∫ x ⋅ x dx−
=∫ x dx−
=
4
6
4
36
−∞
0
0
1 4 3 169 1 4 4 169
169 11
= x −
= 3 −1 −
=5−
=
16
36 16
36
36 36
1
11  11
  X = D  X =
=
36
6
1
1
P 0 X 2= F 2− F 0= 22 −1−0=
8
2
13
11
 11 , P 0 X 2= 1 .
Ответ: М  Х  = , D  Х  = ,   X =
6
36
6
2
∣
 
∣

23
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБРАЗЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
Министерство образования и науки России
Рыбинский государственный авиационный технический университет
имени П. А. Соловьева
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Вариант №
Выполнил (а) _________________
(Ф.И.О.)
студент (ка) гр. _____, ____ курса
Преподаватель ________________
(Ф.И.О.)
Оценка –
Подпись преподавателя ________
Дата _________________________
Рыбинск 20__
24