ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Домашнее задание 1 Срок сдачи 19.02.2012 г.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Домашнее задание 1
Срок сдачи 19.02.2012 г.
100% = 10р = 5*2p
ЗАДАЧА 1. Выбор без возвращения, порядок не важен.
1. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали.
Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.
2. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу
извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей
окажется деталь №1.
3. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, …, 120 и произвольно
расположенных. Наудачу извлекается две карты. Найти вероятность того, что
извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
4. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся
окрашенными.
5. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены четыре детали.
Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет годных.
6. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта
наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется
нужная.
7. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении
устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того,
что включенными окажутся неизношенные элементы.
8. В урне 10 красных и 7 белых шаров. Какова вероятность того, что три наудачу
вынутых шара окажутся красными?
9. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, …, 10. Наудачу
извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей
окажется детали №1 и №2.
10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся
неокрашенными.
11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера,
которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что два наудачу
извлеченных кубика будут иметь точно две окрашенные грани.
12. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам
наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных
лиц окажутся три женщины.
13. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским
заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов
окажутся три кинескопа Львовского завода.
14. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера,
которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что два наудачу
извлеченных кубика будут иметь точно одну окрашенную грань.
15. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны
9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять
отличников.
16. В урне 5 красных и 7 белых шаров. Какова вероятность того, что два наудачу
вынутых шара окажутся разноцветными?
17. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового размера,
которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что три наудачу
извлеченных кубика будут иметь точно три окрашенные грани.
ЗАДАЧА 2. Выбор без возвращения, порядок важен.
1. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых
три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того,
что оба учебника окажутся в переплете.
2. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что из
двух наудачу выбранных билета только первый окажется выигрышным.
3. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу
отобраны три человека. Найти вероятность того, что выбрали сначала двух
мужчин, а затем женщину.
4. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей
первые три детали окажутся окрашенными.
5. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три
шара без возвращения. Найти вероятность того, что последовательно появятся
шары с номерами 1, 4, 5.
6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент
знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
7. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу
извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно
появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются без возвращения.
8. В коробке 10 красных, 8 синих и 6 зеленых пуговиц. Наудачу вынимают 5 пуговиц.
Какова вероятность того, что будут вынуты сначала 2 красных, затем 1 синяя, а
затем 2 зеленых пуговицы?
9. На 11 карточках написаны буквы «ф», «а», «н», «о», «и», «р», «т», «м», «к», «и»,
«а». После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова
вероятность того, что получится слово «информатика»?
10. Среди 50 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что из
двух наудачу выбранных билетов выигрышным окажется второй.
11. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей
первая и последняя детали окажутся окрашенными.
12. В ящике 10 деталей, из которых 3 стандартных. Наудачу по одному извлекают две
детали. Найти вероятность того, что извлеченная первой деталь окажется
стандартной, а вторая не соответствующей стандарту.
13. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не
возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором
испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.
14. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один
валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков –
конусный, а второй – эллиптический.
15. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что
наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того,
что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный и при
третьем – синий.
16. У ребенка по имени KETLIN в руках карточки с 27 буквами латинского алфавита.
Она выбирает из них случайным образом 6 штук. Какова вероятность того, что она
выберет карточки с буквами своего имени в правильном порядке?
17. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу
отобраны три человека. Найти вероятность того, что отобраны будут сначала две
женщины, а последним мужчина.
ЗАДАЧА 3. Выбор с возвращением.
1. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу
извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно
появятся кубики с номерами 2, 3, 4, если кубики извлекаются с возвращением
(извлеченный кубик возвращается в мешочек).
2. Из урны, содержащей 7 перенумерованных шаров, наугад вынимают один за
другим все находящиеся в ней шары. Каждый шар после вынимания вкладывается
обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти
вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1,
2, 3, … 7.
3. Сколько автомобилей можно было бы зарегистрировать в Эстонии, если бы номер
автомобиля состоял либо из четырѐх цифр, либо из четырѐх букв эстонского
алфавита(32 буквы)?
4. Сколько различных обедов из трѐх блюд (первое, второе, третье) можно выбрать в
столовой, если в меню имеется 6 супов, 8 вторых блюд и 7 видов сладкого?
5. Сколькими различными способами компания из 6 человек может разместиться в
кино на 6 местах, соответствующих купленным билетам?
6. Из урны, содержащей 5 перенумерованных шаров, наугад вынимают один за
другим все находящиеся в ней шары. Каждый шар после вынимания вкладывается
обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти
вероятность того, что будет записана обратная последовательность номеров: 5, 4,
… 1.
7. Сколько автомобилей можно зарегистрировать по действующей системе номеров:
три буквы из 32 возможных и три цифры из десяти возможных?
8. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и набрал их
наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
9. Сколько всего однозначных, двузначных и трѐхзначных чисел можно образовать из
цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?
10. Какова вероятность того, что в случайно выбранном телефонном номере две
последние цифры кратны двум и трѐм в указанном порядке?
11. Колода из 36 игральных карт тщательно перетасована. Наудачу берут по одной три
карты (с возвращением). Найти вероятность того, что это будут король, дама и
валет в указанном порядке.
12. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой,
вынимаются. Первая карточка после вынимания кладется обратно и смешивается с
остальными, а стоящее на ней число записывается. Найти вероятность того, что
число на второй карточке будет больше, чем на первой.
13. Какова вероятность того, что в случайно выбранном автомобильном номере две
последние цифры чѐтные (нуль – чѐтное)?
14. Колода из 52 игральных карт тщательно перетасована. Наудачу берут по одной три
карты (с возвращением). Найти вероятность того, что это будут туз, король и дама
в указанном порядке.
15. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча;
после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не
отличают. Какова вероятность того, что после трѐх игр в коробке не останется
неигранных мячей?
16. Сколько всего однозначных, трѐхзначных и пятизначных чисел можно образовать
из цифр 0, 1, 2, 3, 4?
17. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой,
вынимаются. Первая карточка после вынимания кладется обратно и смешивается с
остальными, а стоящее на ней число записывается. Найти вероятность того, что
число на второй карточке будет таким же как и на первой.
ЗАДАЧА 4. Выбор до появления определенного события. Вероятность появления
хотя бы одного события.
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих
сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,5
для первого сигнализатора и 0,95 для второго. Найти вероятность того, что при
аварии сработает только один сигнализатор.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность
того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38.
Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если
известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
4. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность
того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух
проверенных изделий только одно стандартное.
5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины
будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4.
Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в
одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того,
что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность
того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
7. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой из
выпавших граней появится пять очков.
8. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпавших
гранях появится одинаковое число очков.
9. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие
независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего
элементов соответственно 0,1; 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи
не будет.
10. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа
элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства,
если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
11. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти
вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы,
вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
12. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой
физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит
ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего
исследователей эта вероятность соответственно равна 0,2 и 0,3. Найти вероятность
того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит
ошибку.
13. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов
равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает
по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти
вероятность получения приза спортсменами.
14. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки
стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в
мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
15. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах
равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
16. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984.
Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
17. Из колоды в 36 карт случайно выбирают по одной карты до появления первого
туза, не возвращая обратно. Найти вероятность того, что было выбрано точно 3
карты.
ЗАДАЧА 5. Геометрическая вероятность.
1. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг.
Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна
площади круга и не зависит от его расположения.
2. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на
расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r a . Найти
вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
3. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга
на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того,
что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность
попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его
расположения.
4. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и
10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в
большой круг, попадет также в кольцо, образованное построенными
окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую
фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.
5. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка
окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность
попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит
от ее расположения относительно круга.
6. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка
окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается,
что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой
части и не зависит от ее расположения относительно круга.
7. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами
дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит.
Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу
выбирает момент своего прихода (в промежуток от 12 до 13 часов).
8. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12.00 и 13.30
часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего
уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент
наудачу выбирает момент своего прихода (в промежуток от 12 до 13.30 часов).
9. Два студента условились встретиться в определенном месте между 11 и 12 часами
дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит.
Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу
выбирает момент своего прихода (в промежуток от 11 до 12 часов).
10. Два студента условились встретиться в определенном месте между 14.30 и 15.00
часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 5 минут, после чего
уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент
наудачу выбирает момент своего прихода (в промежуток от 14.30 до 15.00 часов).
11. Коэффициенты p и q квадратного уравнения x2 + px + q = 0 принадлежат отрезку
[0;2]. Какова вероятность того, что данное квадратное уравнение имеет
действительные корни.
12. Коэффициенты p и q квадратного уравнения x2 + px + q = 0 принадлежат отрезку
[0;1]. Какова вероятность того, что данное квадратное уравнение не имеет
действительных корней?
13. Случайная точка наудачу выбирается в квадрате с вершинами (–1;–1), (–1;1), (1;1),
(1;–1). Пусть (p,q) – ее координаты. Какова вероятность того, что квадратное
уравнение x2 + px + q = 0 имеет действительные корни, произведение которых
положительно?
14. Случайная точка наудачу выбирается в квадрате с вершинами (–1;–1), (–1;1), (1;1),
(1;–1). Пусть (p,q) – ее координаты. Какова вероятность того, что квадратное
уравнение x2 + px + q = 0 не имеет действительных корней?
15. В треугольник с вершинами (0;0), (0;1), (1;0) наудачу брошена точка. Пусть (х;у) –
x y 1
ее координаты. Найти вероятность P
.
2
4
16. В треугольник с вершинами (–1;0), (0;1), (1;0) наудачу брошена точка. Пусть (х;у) –
ее координаты. Найти вероятность P(y < x).
17. В треугольник с вершинами (–1;0), (0;–1), (1;0) наудачу брошена точка. Пусть (х;у)
– ее координаты. Найти вероятность P(x < y).