ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Целью работы является:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ИЗУЧЕНИЕ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО СТРОЕНИЯ МЕТАЛЛОВ
МЕТОДОМ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА
1. Цель работы
Целью работы является:
- овладеть методикой определения кристаллического строения
металлов с помощью рентгеноструктурного анализа.
- определить тип и рассчитать период кристаллической решётки
по рентгенограмме поликристаллического образца металла.
2. Теоретическая часть
2.1. Кристаллическое строение металлов
Все металлы являются кристаллическими телами. Кристалл
характеризуется
трёхмерным,
периодически
повторяющимся
расположением в пространстве составляющих его атомов.
Трёхмерная сетка, проведённая через центры атомов кристалла,
называется
кристаллической
(пространственной)
решёткой
(рис.1.1, а).
а)
б)
Рис.1.1. Пространственная решетка (а) и элементарная ячейка
(б) кристалла.
Минимальный
параллелепипед,
выделенный
в
пространственной решётке, сохраняющий все элементы симметрии
кристалла, называется его элементарной ячейкой. Она может быть
однозначно описана, если известны три её ребра а, b, с, называемые
периодами решётки, и углы между ними , ,  (рис.1.1, б).
В зависимости от соотношений между этими величинами все
кристаллы делятся на семь классов симметрии или сингоний:
1. Триклинная
авс
      90º
2. Моноклинная
авс
 =  = 90º;   90º
3. Ромбоэдрическая
а=в=с
 =  =   90º
4. Ромбическая
авс
 =  =  = 90º
5. Гексагональная
а=вс
 =  = 90º;   60º
6. Тетрагональная
а=вс
 =  =  = 90º
7. Кубическая
а=в=с
 =  =  = 90º
Если атомы располагаются только в вершинах элементарной
ячейки, она называется примитивной и содержит лишь один атом
(каждый атом в вершине принадлежит восьми соседним ячейкам).
Кроме примитивных, могут быть решётки с базисом, в которых
атомы располагаются не только в вершинах, но и внутри ячейки.
Подавляющее число технически важных металлов образуют
одну из следующих высокосимметричных решеток с плотной
упаковкой атомов: кубическую объемно-центрированную (ОЦК),
кубическую гранецентрированную (ГЦК) и гексагональную
плотноупакованную (ГП) (Рис.1.2).
а)
б)
в)
Рис.1.2. Кубическая объемно-центрированная (ОЦК) (а),
кубическая гранецентрированная (ГЦК) (б) и гексагональная
плотноупакованная (ГП) (в) кристаллические решетки.
Принадлежность кристаллической решётки металла к тому или
иному типу определяет многие его свойства. Так, от типа решётки
зависит возможность образования различных твёрдых растворов.
Сопротивление металлов пластической деформации, интенсивность
деформационного упрочнения, темп разупрочнения при повышении
температуры также во многом определяются типом кристаллической
решётки.
2.2. Описание кристаллических решёток
Для описания кристаллической решётки нужно знать
координаты её узлов, положение кристаллографических направлений
и плоскостей. Кристаллическая решётка описывается в системе
координат, оси которой совпадают с рёбрами элементарной ячейки.
Расстояния на осях измеряются в осевых отрезках, равных по
величине соответствующему периоду элементарной ячейки.
Узлом решётки называется геометрическая точка центра атома.
Все узлы, которые могут быть совмещены друг с другом
перемещением их на целые периоды элементарной ячейки,
равнозначны для кристалла и описываются при помощи координат
одного узла, ближайшего к началу координат или совпадающего с
ним.
Кристаллографической называется плоскость, проходящая через
узлы кристаллической решётки. Все параллельные плоскости в
кристалле имеют одинаковое атомное строение. Поэтому для
описания семейства параллельных плоскостей достаточно описать
одну, а именно – ближайшую к началу координат, но не проходящую
через него (рис.1.3). Положение данной плоскости описывается
координатами точек её пересечения с осями координат – M, N, P.
Расстояния от этих точек до начала координат равны:
ОM = mа; ОN = nв; ОP = pс,
(1.1)
где m, n, p –число осевых отрезков.
По координатам M, N, P определяются так называемые индексы
Миллера, используемые для расчётов. Они представляют собой три
взаимно простых целых числа h, k, l, получаемых следующим
образом:
1
1
1
h S; k  S; l  S,
(1.2)
p
m
n
Рис.1.3. Определение
плоскости в пространстве.
положения
кристаллографической
где S – число, умножение на которое приводит величины, обратные
числу осевых отрезков, к целому виду.
В данном случае m = 3; n = 1,5; p = 2 – обратные величины
соответственно 1/3; 1/1,5; 1/2.
Для того, чтобы эти дроби привести к целому виду, нужно их
умножить на общий наименьший множитель S = 6, тогда h = 1/3·6 =
2; k= 1/1,5·6 = 4; l = 1/2·6 = 3.
Числа h, k, l, взятые в скобки, и есть индексы Миллера, индексы
рассматриваемой плоскости – (243).
Индексы Миллера имеют одно замечательное свойство;
пользуясь ими, можно очень просто определить расстояние между
двумя ближайшими параллельными плоскостями, называемое
межплоскостным расстоянием d. Для кубических кристаллов:
a
d
.
(1.3)
2
2
2
h k l
2.3. Определение типа и периода кристаллической решётки
методом рентгеноструктурного анализа
В основе метода лежит явление дифракции рентгеновских лучей
на кристаллографической решётке, описываемое уравнением ВульфаБрэггов:
2d sin  = n,
(1.4)
где d – межплоскостное расстояние;  – угол, образованный пучком
рентгеновских лучей и кристаллографической плоскостью
(брэгговский угол);  – длина волны рентгеновских лучей; n –
порядок отражения – целое число.
n
sin θ 
,
(1.5)
2d
подставляя формулу (1.3) получаем:
n  h2  k 2  l 2
;
sin θ 
2a
λ2 2 2
2
sin θ  2  n h  k 2  l 2  ;
4a
λ2
2
sin θ  2  H 2  K 2  L2  ,
(1.6)
4a
где H, K, L – индексы интерференции, представляющие собой целые
числа, так как h, k, l – целые числа.
В примитивной решётке все кристаллографические плоскости
дают отражения, и в этом случае для разных брэгговских углов
выражение в скобках в (1.6) представляет собой натуральный ряд
чисел без 7, 15, 23, …, которые нельзя представить в виде суммы
квадратов трёх целых чисел.
В решётке с базисом отражения от некоторых плоскостей
гасятся.
Рис.1.4. Интерференция отражений от плоскости (100) ОЦК
кристалла.
Так, в ОЦК кристалле отражения от плоскостей А и А1
совпадают по фазе – разность хода рентгеновских лучей равна одной
длине волны. Но в кристалле есть плоскость В, проходящая через
узлы в центре элементарной ячейки, и отражение от неё гасит
отражения от плоскостей А, т.е. интенсивность отражённых от
плоскости (100) лучей равна нулю.
Интенсивность лучей, отражённых решёткой с базисом,
пропорциональна структурному множителю:

  f sin 2H

F 2  f1 cos 2H x1  K y1  Lz1   f 2 cos 2H x2  K y2  Lz2   ... 
2

2
 K y1  Lz1   f 2 sin 2H x2  K y2  Lz2   ... ,
(1.7)
где f1, f2, … – рассеивающая способность атомов. Для атомов одного
сорта она одинакова;
1
x1
y1
x2
...
y2
...
x1
z1 

z 2  – координаты атомов базиса;
... 
H, K, L – индексы интерференции.
Отражение на рентгенограмме появляется в том случае, когда
структурный множитель не равен нулю.
Таблица 1.1
Индексы интерференции первых десяти линий рентгенограммы
Номер линии Примитивная
в порядке
решётка
возрастания
H2+K2+L2 HKL
угла 
1
1
100
2
2
110
3
3
111
4
4
200
5
5
210
6
6
211
7
8
220
8
9
221
300
9
10
310
10
11
311
ОбъёмноГранецентрироцентрированная ванная решётка
решётка
H2+K2+L2 HKL H2+K2+L2
HKL
2
110
3
111
4
200
4
200
6
211
8
220
8
220
11
311
10
310
12
222
12
222
16
400
14
321
19
331
16
400
20
420
18
20
330
411
420
24
420
27
511
333
В таблице 1.1 приводятся возможные индексы интерференции
для первых десяти линий рентгенограмм, полученных от веществ с
различной кубической решёткой.
Из выражения (1.6) следует, что отношение квадратов синусов
углов отражения для разных линий рентгенограммы должны быть
равны соответственному отношению суммы квадратов индексов, т.е.
отношению целых чисел:
2
2
2
sin 2 θ i H i  K i  Li
 2
(1.8)
2
2  Qi .
sin 2 θ1 H 1  K1  L1
Определение отношений (1.8) для всех линий рентгенограммы в
порядке возрастания  (если i угол данной линии, а 1 – угол первой
линии) показывает, что они должны представлять собой строго
определённый ряд чисел для решёток разного типа (табл.1.2).
Таким образом, задача индицирования сводится к определению
sin 2 θ i
2
sin  для всех линий рентгенограммы и вычислению ряда
 Qi .
sin 2 θ1
Сопоставив полученные отношения с таблицей 1.2, определяют
тип решётки того вещества, от которого получена рентгенограмма.
Значения индексов (Hi, Ki, Li) для каждой линии находятся по
2
2
2
сумме ( H i  K i  Li ), определяемой по формуле (1.8) с учётом того,
что (H2+K2+L2) для первой линии в случае примитивной решётки
равно 1, для объёмно-центрированной – 2, для гранецентрированной
– 3.
После индицирования рентгенограммы период решётки (размер
элементарной ячейки) легко определяется из (1.3)
a  d HKL  H 2  K 2  L2
(1.9)
3. Порядок выполнения работы
1. Снять рентгенограмму поликристаллического образца
металла на дифрактометре ДРОН-4. Для расчёта рентгенограммы
нужно знать: вещество анода рентгеновской трубки и длину волны
излучения, начало и масштаб записи рентгенограммы в градусах.
2. Определить положение интерференционных максимумов, т.е.
найти величину брэгговских углов для всех отражений.
3. Рассчитать рентгенограмму, результаты измерений и расчётов
занести в таблицу.
4. По межплоскостным расстояниям в таблице 1.3 определить
металл, рентгенограмма которого рассчитана.
4. Отчёт по работе
По работе составить отчёт. В отчёте должны быть:
1. Цель работы.
2. Рентгенограмма или её копия с определением
отражения.
3. Порядок индицирования и расчёт периода решётки.
4. Изображение элементарной ячейки.
5. Выводы по работе:
а) о веществе и типе его решётки;
б) о размерах элементарной ячейки.
углов
5. Контрольные вопросы и задачи
1. Определите координаты узлов ОЦК решётки.
2. Рассчитайте структурный множитель и выведите условия
погасания для ОЦК решётки.
3. Рассчитайте структурный множитель и выведите условия
погасания для ГЦК решётки.
4. На рентгенограмме какого кристалла, построенного из атомов
одинакового размера, больше интерференционных максимумов?
5. Какая решётка (ОЦК или ГЦК) более плотная? Считать, что
атомы в кристалле укладываются как упругие шары.
6. Определите положение поры в ГЦК ячейке.
Таблица 1.2
Отношение квадратов синусов углов отражения для решёток
Тип решетки
Для i
1 2
3
4
5 6
7
8
9 10
Примитивная
1 2
3
4
5 6
8
9
10 11
ОЦК
1 2
3
4
5 6
7
8
9 10
ГЦК
1 1,33 2,66 3,67 4 5,33 6,33 6,67 8 9
Таблица 1.3
Межплоскостные расстояния для некоторых металлов
Ли- Интен- d HKL
ния сив-ть
Алюминий
111
1,0
2,33
200
0,4
2,02
220
0,3
1,43
311
0,3
1,22
222
0,07
1,17
400
0,02
1,01
331
0,04
0,93
420
0,04
0,90
422
0,01
0,83
511
0,01
0,78
Вольфрам
110
1,0
2,23
200
0,3
1,58
211
0,7
1,29
220
0,2
1,12
310
0,3
1,00
222
0,1
0,91
321
0,3
0,85
330
0,1
0,74
420
0,06
0,71
332
0,06
0,67
510
0,06
0,62
-железо
110
1,0
2,01
Линия
200
211
220
310
222
321
330
420
111
200
220
311
222
400
331
420
422
110
200
211
220
310
222
Интен- d HKL
сив-ть
0,2
1,48
0,4
1,17
0,1
1,01
0,1
0,90
0,09
0,82
0,1
0,76
0,03
0,67
0,03
0,64
Медь
1,0
2,03
0,9
1,80
0,7
1,27
0,9
1,08
0,6
1,04
0,3
0,90
0,6
0,83
0,4
0,81
0,4
0,74
Молибден
1,0
2,22
0,4
1,57
0,6
1,27
0,2
1,11
0,2
1,00
0,1
0,90
Линия
321
400
411
420
111
200
220
311
222
400
331
420
111
200
220
311
420
422
511
Интенсив-ть
0,2
0,06
0,1
0,1
Платина
1,0
0,3
0,2
0,2
0,03
0,01
0,03
0,02
Серебро
1,0
0,5
0,3
0,1
0,05
0,03
0,04
d HKL
0,84
0,79
0,74
2,25
1,95
1,38
1,18
1,13
0,98
0,90
0,87
2,66
2,04
1,44
0,94
0,92
0,83
0,79