Деформация плоский изгиб балки с прямолинейной продольной

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
ЛЕКЦИЯ 14 Деформация плоский изгиб балки с прямолинейной
продольной осью. Расчет на прочность
Напомним, что деформация «плоский изгиб» реализуется в том
случае, когда: а) балка и ее каждое поперечное сечение имеют плоскость
симметрии; б) все внешние силовые факторы расположены в одной
плоскости, называемой силовой; в) силовая плоскость совпадает с
плоскостью симметрии балки (см. рис. 1). В общем случае в поперечном
сечении бруса имеют место поперечная сила и изгибающий момент
(см. рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Деформация плоский изгиб подразделяется на:
а) чистый плоский изгиб;
б) поперечный плоский изгиб.
Чистый плоский изгиб или просто чистый изгиб реализуется тогда, в
случае когда в поперечном сечении бруса действует единственный
внутренний силовой фактор – изгибающий момент. Пример чистого
плоского изгиба показан на рис. 3. На нём вверху изображена балка,
центральный пролёт которой находится в условиях чистого изгиба. На
нижнем рисунке участок ВС находится в условиях чистого изгиба.
Поперечный плоский изгиб или просто поперечный изгиб реализуется
тогда, когда в поперечном сечении бруса действуют изгибающий момент и
поперечная сила. Пример поперечного плоского изгиба показан на рис. 4.
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2
Рис. 3
Рис. 4
Раздел І Чистый изгиб балки с прямолинейной осью
1 Определение напряжений в поперечном сечении балки при чистом
изгибе
Экспериментальные исследования методом сеток (рис. 5) дают
основания для следующих выводов:
1. Поперечные сечения (например, АВ на рис. 6), плоские до приложения
нагрузки, остаются плоскими и после приложения нагрузки (АВ);
2. Некоторые продольные слои балки под действием приложенной
нагрузки
удлиняются
(например,
аb),
некоторые
укорачиваются
(например, ef). Растянутые слои балки отделяются от сжатых
некоторым слоем (cd), длина которого не изменяется. Этот слой
называется нейтральным слоем балки.
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
3
3. Углы между поперечными и
продольными сечениями, прямые
до
приложения
остаются
прямыми
приложения
нагрузки,
и
после
нагрузки,
что
свидетельствует об отсутствии  в
продольных и поперечных сечениях
балки;
4. Продольные
слои
балки,
параллельные нейтральному слою,
не оказывают давления друг на
Рис. 5
друга, что свидетельствует об отсутствии  в продольных сечениях балки.
Вывод: на основании п.п. 2, 3, 4 можно утверждать, что все слои балки,
параллельные
нейтральному,
работают
в
условиях
чистого
растяжения или сжатия, т.е., напряжения и деформации в этих слоях
связаны соотношением
 x  E x .
Рис. 6
(1)
4
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2 Установление закона распределения  x и  x по высоте поперечного
сечения
Рассмотрим чистый плоский изгиб элемента консольной балки:
Рис. 7
Здесь cd (cd ) – нейтральный слой балки;
 – радиус кривизны нейтрального слоя.
Определим относительное удлинение слоя ab, находящегося на
расстоянии z относительно нейтрального слоя:
x 
ab  ab
, где
ab
(2)
cd  cd   dx  d  ,
(3)
ab  dx  d  ,
(4)
ab     z  d  .
(5)
Подставим значения ab и ab в (2)
x 
d   zd   d 
;
d 
Таким образом
x 
z
 k1  z .

(6)
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
5
Подставим (6) в (1) и получим:
x  E
z
 k2  z .

(7)
Из (6) и (7) следует, что  x и  x изменяются по линейному закону по
высоте поперечного сечения и равны нулю в точках, принадлежащих
нейтральному слою.
3 Определение положения нейтральной линии (оси) сечения
Определение. Нейтральной осью сечения называется линия пересечения
нейтрального слоя балки и плоскости поперечного сечения (рис. 8).
Мы знаем, что при чистом изгибе в каждом поперечном сечении
действует только M y .
Поэтому
N x    x dF  0 .
(8)
F
Подставим в (8)  x из выражения (7):
z
 E  dF  0
E
 zdF  0 .
F
или
F
Так как
E
 0,

 zdF  S y
Но
то
 zdF  0 .
(9)
F
–
статический
момент
сечения
относительно
F
нейтральной оси y.
Следовательно
Sy  0 .
(10)
Вывод: нейтральная ось поперечного сечения проходит через его центр
тяжести.
6
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
Рис. 8
Очевидно, что при чистом изгибе в вертикальной плоскости
M z    x ydF  0 .
(11)
F
Подставим (7) в (11):
Mz 
Т.к.
E
E
zydF   zydF  0 .

F
F

E
 0 , то  zydF  0 . Но  zydF  I yz по определению.

F
F
Следовательно,
I yz  0 .
(12)
Вывод: оси y и z являются главными центральными осями инерции
поперечного сечения.
4 Установление связи между напряжением и внутренним изгибающим
моментом в сечении. Вывод формулы для напряжений
Из рис. 8 следует, что
dM y    x dF  z .
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
7
Очевидно, что
M y    x zdF .
(13)
F
Подставим в (13)  x из (7):
My 
По определению
z
2
E 2
E 2
z
dF


 z dF .

F
F
dF  I y – осевой момент инерции сечения.
F
Следовательно
My 
E
Iy .

(14)
Определим кривизну нейтрального слоя балки из (7) и (14):
из (7):
1 x
,

 Ez
(15)
из (14):
1
1
 My
.

EI y
(16)
Приравнивая правые части, получим
x
1
 My
.
Ez
EI y
Отсюда
x  z   M y
z
.
Iy
(17)
(18)
Из (17) следует, что  x  max при z  zmax , т.е. максимальне напряжения
действуют в слоях сечения, наиболее удаленных от его нейтральной оси:
z
max  M y max .
Iy
(19)
Введем обозначение:
Iy
zmax
 W y  Wн.о. ,
(20)
8
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
где Wн.о. – момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси
(в нашем случае это ось y).
Тогда в нашем случае
max 
My
Wy
.
(21)
5 Графическое представление закона распределения  x по высоте
сечения при чистом изгибе
Рис. 9
6 Определение Wн.о. для некоторых простых сечений
1. Круглое сечение
I
y 
d 4
d 3
d
 0,1d 3 . (21)
; zmax  ; M y  Wн.о. 
32
64
2
2. Прямоугольное сечение при вертикальной силовой
плоскости
Iy 
Рис. 10
bh3
;
12
Wн.о.  W y 
zmax 
bh 2
.
6
h
;
2
(22)
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
9
Аналогично при изгибе в горизонтальной плоскости
hb 2
.
Wz 
6
(23)
3. Прокатные профили
При вертикальной силовой плоскости моменты сопротивления
различных профилей даны в сортаментах
Рис. 11
Внимание: момент сопротивления относительно горизонтальной
нейтральной оси определяется общей формулой
I
Wн.о.  н.о. .
zmax
(24)
7 Условие прочности при чистом изгибе
Оно записывается для опасной (наиболее удаленной от нейтральной
оси) точки опасного сечения:
max 
M ymax
Wн.о.
  ,
(25)
т.е. наибольшее действующее напряжение в опасной точке наиболее
нагруженного (опасного) сечения не должно превосходить допускаемого
значения для материала балки.
Из условия прочности (25) решаются 3 задачи:
а) проверка балки с известным поперечным сечением на прочность
(проверочный расчет);
б) определение допускаемой внешней нагрузки;
в) определение размеров поперечного сечения (проектировочный расчет).
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
10
При проектировочных расчетах величина поперечного сечения
определяется по так называемому потребному Wн.о. , найденному из условия
прочности.
Примеры
1. Прокатные профили
(вертикальная силовая плоскость).
M ymax
и по нему ближайший № профиля с обязательным
Находят Wн.о. 
 
определением перенапряжения или недогрузки:

  
  max
 100% .
 
(26)
2. Круглое сечение
32 M max
d 3 M y max
.
Wно 

D3
 
32
 
(27)
32 M max
d 3
.
Wно 
1  4  D  3
32
  1   4
(28)




3. Прямоугольное сечение.
Сначала задаем k = h/b. Тогда h = kb
bh 2
;
Wно 
6
bh 2 M y max

,
или Wно 
6
 
hb 2 M y max
Wно 

,
6
 
Рис. 12
b3
6 M ymax
.
(29)
b3
6 M ymax
.
(30)
k 2 
k 
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
11
8 О рациональном расположении поперечного сечения балки
относительно силовой плоскости
Сечение
балки
следует
считать
рационально
расположенным
относительно силовой плоскости, если оно обеспечивает её прочность
при минимальном весе.
С другой стороны, из формулы max 
M y max
Wн.о.
следует, что max обратно
пропорционально Wн.о. . Следовательно, при данном весе материала (т.е.
при данной площади сечения F) целесообразно применять сечения с
бόльшим значением Wн.о. , т.е. проектировать (компоновать) сечение так,
чтобы Wн.о. был как можно больше. Это означает, что площадь сечения
нужно максимально удалять от нейтральной оси.
Примеры: (нагрузка приложена в вертикальной плоскости):
Общий
вывод: лучшим
Рис. 13
будет профиль,
у
которого
площадь
максимально удалена от нейтральной оси, чтобы получить наибольший
момент сопротивления Wн.о. .
Для материалов, у которых [] p  []c и нейтральная ось не является
осью симметрии, рациональным будет такое расположение сечения, при
12
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
котором
бόльшим
действующим
будут
соответствовать
напряжением
бόльшие допускаемые.
Например,
[]c  [] p ,
то
при
определении
положения
сечения
относительно
вертикальной
силовой
плоскости
Рис. 14
если
max
должны
попасть
в
сжатую зону (см. рис. 14).
Если же [] p  []c , то max должны попасть в растянутую зону.
9 Пример расчета на прочность при чистом изгибе
Подобрать из условия прочности
при чистом изгибе размеры следующих
видов поперечных сечений:
а) круглого;
б) прямоугольного при h/b = 2;
в) двутаврового при []  100 мПа .
Решение
Рис. 15
1. Из
условия
прочности
получаем значение потребного момента сопротивления
Wy 
M y max
 

10  103
2
10  10
6
 100  106 м3 .
2. Определяем d круглого сечения, зная, что
d 3
Wy 
 0,1d 3 .
32
d3
Wy
0,1
 10  10
2
d 2
мF 
 78,5  104 м 2 .
4
3. Определяем размеры прямоугольного сечения из условия
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
13
bh 2
 100  106 м3 .
Wy 
6
При h = 2b получим
b3
3W y
2
 5,3  102 м ,
h  10,6  102 м ,
F  56,2  104 м 2 .
4. Подбираем N двутавра из условия, что W y  100  106 м3 .
а) ближайший меньший номер из сортамента
W y  90,3  106 м3  IN14 ,
F  18,9  104 м 2 .
б) ближайший бόльший номер из сортамента
W y  118  106 м3  IN16 ,
F  21,5  104 м 2 .
После определения перенапряжения и недонапряжения из сравнения
следует окончательно принять
W y  118  106 м3  IN16 ,
F  21,5  104 м 2 ,
поскольку для меньшего IN14    11% .
Обратите внимание на то, что: F I  F  F
(G I  G  G )
Графическое сравнение приводит к выводу:
Рис. 16