N - Научная библиотека Томского государственного университета

УДК 519.2
Е.В. Сухушина, А.Ф. Терпугов
АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНЫ
ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
СО СКАЧКАМИ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ
Рассматривается авторегрессионная модель изменения цены финансовых активов с изменением цен в моменты сделок, образующих пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. Находятся основные характеристики процесса изменения
цены (среднее значение, дисперсия, функция корреляции) и показывается его асимптотическая нормальность.
Модели изменения цен финансовых активов в настоящий момент привлекают к себе очень большое внимание,
так как они необходимы для прогнозирования цены актива,
расчета стоимости вторичных ценных бумаг и т.д.
Пусть S t есть цена актива в момент времени t .
Тогда при построении модели изменения цены S t
обычно переходят к процессу ht по формуле
ht = ln(S t | S 0 ) ,
(1)
где S 0 – начальная цена актива (в момент времени
t = 0 ). Дальнейшее развитие модели сводится к описанию процесса ht . Одной из наиболее часто используемых моделей процесса ht является авторегрессионная
модель. В этом случае считается, что время меняется
дискретно с интервалом ∆t , так что t n = n∆t. В случае
авторегрессионной модели первого порядка значения
hn = h(t n ) процесса ht удовлетворяют уравнению
hn = µ + ρ(hn −1 − µ ) + σε n ,
(2)
где µ − среднее значение (тренд) процесса hn ; ρ −
коэффициент авторегрессии; σ − волатильность;
ε n считаются независимыми стандартными нормальными случайными величинами N (0,1).
Однако в приложении к финансовому рынку такая модель не совсем адекватно отражает реальность. Дело в том, что цена актива изменяется и
устанавливается в момент сделки, а моменты совершения сделок являются случайными. Представляется естественным считать, что изменения процесса ht происходят лишь в те случайные моменты
времени, когда совершаются сделки. Именно эта
модель и рассматривается в данной работе.
Описание модели
Будем считать, что моменты совершения сделок
t1 , t 2 , K , t N являются случайными и образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности λ .
Пусть hn = h(t n ), т.е. значение процесса ht после совершения сделки в момент времени t n . Для hn снова
возьмем модель (1): hn = µ + ρ(hn −1 −µ ) + σε n , но теперь моменты t n будут случайными.
Рассмотрим момент времени T . Тогда на интервале [0, T ] было заключено N сделок в моменты времени t1 , t2 ,K, t N . Число сделок N является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона:
(λT )N e −λT .
P(N ) =
N!
N
Обозначим H T = ∑ hn , где число слагаемых N слуn =1
чайно. Тогда в момент времени T S T = S 0 exp(H T ) и
для нахождения статистических характеристик процесса
S T надо иметь статистическое описание процесса HT .
Математическое ожидание и дисперсия
Вычислим математическое ожидание и дисперсию
процесса HT , считая λT >> 1, т.е. считая, что на интервале T было много сделок. Для этого запишем hn в
∞
виде hn = µ + σ∑ ρ s ε n −s . Тогда ясно, что M {hn } = µ и
s =0
cov(hn , hk ) =
N
σ2
n− k
ρ
[1]. Так как H T = ∑ hn , то
2
1− ρ
n =1
{
}
при фиксированном N имеем M HT N = µN и,
усредняя еще и по N с учетом того, что для распределения Пуассона M {N } = λT , получим M {H T } = µλT .
N
N
Для H T2 можно записать H T2 = ∑ ∑ hn hk . Так как
n =1 k =1
M {hn , hk } = µ 2 + cov( hn , hk ) = µ 2 +
σ2
ρ n− k ,
1 − ρ2
фиксированном
N
2
N N
σ
n−k
M H T2 N = µ 2 N 2 +
× × ∑ ∑ ρ . Суммируя
1 − ρ2
n =1 k =1
по
диагоналям,
получим
то
при
{
N
N
∑∑ ρ
}
n−k
n =1 k =1
N −1
= N + 2 ∑ (N − s )ρ s . При больших N асиs =1
ρ
∞
s =1
N >> 1
N
(1 − ρ)2
N
∞
s =1
s =1
N ∑ ρs ~ N ∑ ρs = N
мптотически
~ ∑ sρ s =
N −1
∑∑ ρ
}
N −1
∑ sρ s
~
s =1
, и поэтому асимптотически при
n−k
= N + 2N
n =1 k =1
{
ρ
,
1− ρ
M H T2 N = µ 2 N 2 +
σ2
(1 − ρ)2
1+ ρ
ρ
=N
, так что
1− ρ
1− ρ
N . Усредняя еще и по N с
учетом того, что для распределения Пуассона
2
2
M N 2 = (λT ) + λT , получим M H T2 = µ 2 (λT ) +
{ }
{ }
1

 , так что для дисперсии величи


σ2 
.
ны HT имеем выражение D{HT } = λT  µ 2 +
(1 − ρ)2 


σ2
+ λT  µ 2 +
(1 − ρ)2

Докажем, что при λT → ∞ величина HT сходится
по распределению к нормальной случайной величине.
Пусть число событий N фиксировано. Тогда характеристическая функция величин h1 , h2 , K , h N с
учетом нормальности величин ε k имеет вид [2]:
N


M expi ∑ ω n hn  N  =
 
  n =1
N N
 N
σ2
n−k
ωn ωk ρ
= exp iµ∑ ω n −
∑
∑
2
2 1 − ρ n =1 k =1
 n =1
Функция корреляции процесса HT
Пусть T и T / – два момента времени. Найдем явное
выражение для функции корреляции R T , T / процесса
(
(
)
)
HT , где R(T , T ) = cov HT , HT / . Будем считать, что
/
(
N N/
)
T > T и λ T − T >> 1 . Тогда H T H T / = ∑ ∑ hn hk и
/
/
{
n =1 k =1
}
σ2 N N n− k
∑ ∑ρ .
1 − ρ2 n = 1 k = 1
Суммируя по диагоналям, получим
/
M HT HT / N , N / = µ 2 NN / +
∑ ∑ ρ n − k = N (1 + ρ+K+ρ N
N N.
n =1 k = 1
N −1
+
/
N −1
−N
∑ ( N − s)ρ s + ∑ ( N − s)ρ N
s =1
/
− N +s
∑ (N − s )ρ s
s =1
N −1
∑ ( N − s)ρ
N / − N +s
s =1
∞
~ N ∑ ρs = N
s =1
~ N ∑ρ
N / − N +s
s =1
и асимптотически при
N/
∑∑ρ
N , N >> 1
n−k
=
n =1 k =1
/
/
ρ
ρ N − N +1
1 − ρ N − N +1
1+ ρ
=N
+N
+N
=N
.
1− ρ
1− ρ
1− ρ
1− ρ
{
+N
σ2
(1 − ρ)2
}
(
)
M HT HT/ N, N / = µ2 N N / − N + N +
Подставляя
и усредняя по N и N / − N , получим
{
}
(
)
) = M {H
(
)
}− µ λ TT
M H T H T / = µ 2 (λT ) + λT + µ 2 λ2T T / − T +
+ λT
σ
2
(1 − ρ)2
2
(
, т.е. R T , T /
T
HT/
2
2
/
=

σ 2 
. Учитывая симметричность фун= λT  µ 2 +
(1 − ρ)2 

кции корреляции по обоим аргументам, окончательно
запишем
2


σ 
R T , T / = λ  µ 2 +
min T , T / и для коэффи2
(1 − ρ) 

(
)
(


M {exp{ωH T } N } = M expiω ∑ hn  N , и получим из
n
=
1




предыдущего выражения, положив в нем все ω n = ω :
)
циента корреляции значений HT / и HT
/


corr( HT , HT / ) = min T / , T T  .
 T

Асимптотическая нормальность
процесса HT
N
N
∑∑ ρ
n−k
 

σ 2 ω 2  
−1  .
g H = expλT  expiωµ −
2 
2(1 − ρ)  
 

Перейдем к нормированной величине
H − M {H T }
H T − µλT
~
.
HT = T
=
D{H T }
 2
σ2 

λT  µ +
(1 − ρ)2 

Для нее кумулянтная функция имеет вид
  ωµ
 
σ 2 ω2
ϕ H~ (ω) = λT expi
−
 − 1 −
2
  λTs 2 2(1 − ρ) λTs 2  
λTµω
−i
, где для краткости обозначено s2=м2+
2
Tλ s
σ2
. Разложим экспоненту в ряд Тейлора:
+
(1 − ρ)2

, откуда очевидно, что при


~
ω2
λT → ∞ lim ϕ H~ (ω) = −
и H T сходится по распреN →∞
2
делению к стандартной нормальной случайной величине.
Аналогичными выкладками можно показать, что
~
при λ → ∞ процесс H T сходится по распределеϕ H~ (ω) = −
 1
ω2
+ ο
2
 λT
нию к нормальному случайному процессу.
ЛИТЕРАТУРА
2
σ 2 ω 2 N N n−k 
∑ ∑ ρ .
2(1 − ρ 2 ) n =1 k =1

1+ ρ
~N
, так что
1− ρ
σ 2 ω 2 N 
.
2
2(1 − ρ ) 
Усредняя еще и по N , получим характеристическую функцию величины H T в виде
ρN − N +s
=N
,
1− ρ
N
n =1
M {exp{ωH T } N } = exp(iωµN −
ρ
,
1− ρ
/
N
∑ hn . Тогда
N
n =1 k =1
.
/
∞
HT при фиксированном N равна
При N >> 1
Но при больших N асимптотически
N −1
)
M {exp{ωH T } N } = exp(iωµN −
)+
s =1
(

.

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998. 489 с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 447 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики
Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.
3