На правах рукописи ТРИФОНОВ Виталий Владимирович ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

На правах рукописи
ТРИФОНОВ Виталий Владимирович
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
ИЗ ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА
С ПОЛИМЕРНЫМ СВЯЗУЮЩИМ
Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Ростов-на-Дону
2006
2
Работа выполнена в НИИ механики и прикладной математики
Воровича И.И. Ростовского государственного университета.
им.
Научный руководитель
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник,
Сафроненко Владимир Георгиевич
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, старший
научный сотрудник,
Юдин Анатолий Семенович
кандидат физико-математических наук, доцент
Дроздов Александр Юрьевич
Ведущая организация
Кубанский государственный университет
Защита диссертации состоится «14» ноября 2006 г. в 1630 часов на заседании диссертационного cовета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, РГУ, механико-математический факультет,
ауд. 211 .
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул Пушкинская,
148.
Автореферат разослан «
Ученый секретарь
диссертационного cовета
»
2006 г.
Боев Н. В.
3
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Проблема развития и пополнения математических моделей, описывающих гармонические колебания композитных оболочек
со сложными физико-механическими свойствами, занимает одно из важных
мест в механике тонкостенных конструкций. В последние годы возросла актуальность исследований процесса распространения вибраций в композитных на
полимерной основе оболочках. Это связано с задачами снижения уровня вибраций тонкостенных оболочечных конструкций, имеющими, в частности, волокнисто-слоистую структуру. Поскольку при этом на первый план выдвигается
задача демпфирования собственных и вынужденных колебаний оболочек, необходимым является адекватное описание физико-механических характеристик
как материала волокон, так и полимерного связующего, рассматриваемого с позиций термовязкоупругости. Актуальность темы диссертационной работы определяется также важностью задач расчета вибродинамических и диссипативных характеристик композитных оболочек на стадии их проектирования. Особый интерес представляет изучение влияния структурных параметров однонаправленного волокнистого композита, а также температуры и частоты на вибродинамические и диссипативные характеристики оболочки.
Целью работы является построение математической модели, описывающей
колебания композитных оболочек вращения с учетом термовязкоупругих
свойств полимерной матрицы и эффекта термомеханической связности. Для
реализации модели развиты алгоритмы численного расчета и разработан программный комплекс, позволяющий на стадии проектирования тонкостенных
оболочек из полимерных композитных материалов прогнозировать их вибродинамические и диссипативные характеристики.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:
4
Дана уточненная постановка краевых задач о стационарных колебаниях волокнисто-слоистых оболочек вращения, учитывающая термовязкоупругие
свойства полимерной матрицы и термомеханическую связанность.
Развит численный метод и построены алгоритмы, реализующие расчет вибродинамических и диссипативных характеристик составных композитных оболочек вращения. Разработан комплекс вычислительных программ.
Проведено исследование влияния структурных параметров, вязкоупругих
свойств связующего, температуры, частоты нагружения на характеристики
цилиндрических оболочек из волокнистого однонаправленного композита.
Решена осесимметричная связанная задача термовязкоупругости для цилиндрической оболочки.
Дано численное решение задач о вынужденных колебаниях составной оболочки вращения и цилиндрической оболочки при воздействии несимметричной поверхностной нагрузки. Построен и реализован алгоритм определения
областей максимальной виброактивности оболочки.
Практическая ценность заключается в предлагаемой математической модели и методе ее реализации, которые позволяют решать широкий класс задач о
вынужденных колебаниях композитных составных оболочек вращения, используемых в авиакосмической и судостроительной промышленности. Разработанные алгоритмы и комплекс вычислительных программ позволяют на стадии
проектирования исследовать вибродинамические и диссипативные свойства
оболочечных конструкций в зависимости от структурных и физикомеханических параметров задачи.
Достоверность результатов обеспечивается использованием обоснованных
для слоистых оболочек гипотез, хорошо апробированными схемами расчета
эффективных характеристик волокнистого композитного материала и устойчивым численным методом ортогональной прогонки для решения краевой задачи,
тестированием программного комплекса на расчетах эталонных задач. В частных случаях результаты, полученные автором, совпадают с уже известными ре-
5
зультатами, полученными другими исследователями и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены
и обсуждались на VI – IX Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2000 – 2002, 2005 гг.),
Международной научно-практической конференции «Строительство – 2001»
(г.Ростов-на-Дону, 2001 г.), XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (г.Нижний Новгород, сентябрь 2002 г.), III Всероссийской
конференции по теории упругости с международным участием (г.Ростов-наДону, г.Азов, октябрь 2003 г.), на IX Всероссийском съезде по теоретической и
прикладной механике (г.Нижний Новгород, август 2006 г.), на семинарах кафедры теории упругости РГУ и НИИ механики и прикладной математики РГУ
им. Воровича И.И.
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав,
заключения и списка литературы. Объем диссертационной работы составляет
115 страниц, включает 68 рисунков и 12 таблиц. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект 04-01-96806-р2004юг_а и Федерального агентства по науке и инновациям (госконтракт № 02.445.11.7042).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность диссертационной темы, проведен обзор результатов исследований стационарных колебаний композитных оболочек
и приводится краткое содержание работы. Отмечается, что создание и развитие
теории многослойных пластин и оболочек, оценка точности прикладных теорий, а также решение конкретных задач связано с именами таких ученых, как
Н.А. Абросимов, Н.А. Алфутов, С.А. Амбарцумян, А.Н. Андреев, И.Ю Бабич,
В.Г. Баженов, А.Е. Богданович, В.В. Болотин, Г.И. Брызгалин, Г.А. Ванин, А.Т.
6
Василенко, В.В. Васильев, В.Е. Вериженко, К.З. Галимов, М.С. Ганеева, М.С.
Герштейн, Э.И. Григолюк, Я.М. Григоренко, А.Н. Гузь, И.Г. Кадомцев, В.И.
Королев, В.А. Крысько, Г.М. Куликов, А.К. Малмейстер, В.Л. Нарусберг, Ю.В.
Немировский, Ю.Н. Новичков, И.Ф. Образцов, В.Н. Паймушин, Б.Л. Пелех,
В.В. Пикуль, В.Г. Пискунов, А.В. Плеханов, В.Д. Протасов, А.П. Прусаков,
А.О. Рассказов, А.Ф. Рябов, Н.П. Семенюк, В.П. Тамуж, И.Г. Терегулов, Г.А.
Тетерс, Ю.А.Устинов, Л.П. Хорошун, В.Е. Чепига, П.П. Чулков, А.С. Юдин, Р.
Кристенсен, Л. Либреску, Дж. Редди, Э. Рейсснер и др. Связанные задачи термовязкоупругости в теории оболочек рассматривались в работах Б.Е. Победри,
В.Г.Карнаухова,
И.Ф.
Киричока,
И.И.
Воровича,
И.К.
Сенченкова,
В.Г.Сафроненко и др.
Первая глава посвящена постановке краевых задач о вынужденных колебаниях композитных на полимерной основе оболочек вращения. В первом параграфе представлены основные уравнения малых деформаций для оболочки типа
Тимошенко. В общепринятых обозначениях кинематические и деформационные соотношения задаются в виде:
U( 1, 2,z)=u( 1, 2)+z 1( 1, 2), V( 1, 2,z)=v( 1, 2)+z 2( 1, 2),
W( 1, 2,z)=w( 1, 2).
11( 1, 2,z)=E11( 1, 2)+zK11( 1, 2),
(1)
13( 1, 2,z)=E13( 1, 2)
12( 1, 2,z)=E12( 1, 2)+zK12( 1, 2),
(1
2),
33( 1, 2,z)=0,
где Eii, E12, Ei3, Kii, K12 – деформации растяжения-сжатия, тангенциального и
поперечного сдвига, изменения кривизн, кручение срединной поверхности оболочки, выраженные через перемещения:
E11=u’+k1w, E22=v*+ u+k2w, E12=u’+u*- v, E13= 1- 1, E23= 2- 2,
K11=
*
1
, K22=
*
2 +
( )’=
1
A1
1,
()
1
K12= 2’+
, ( )* =
1
A2
*
1
-
( )
2
2,
,
=
1=k1u-w’,
1
A1 A 2
A2
2=
k2v-w*,
(2)
.
1
Далее приводятся полученные из вариационного принципа Гамильтона
уравнения гармонических установившихся вынужденных колебаний. В связи с
7
этим
все
соотношения
Fj( 1, 2,t)=F*j( 1, 2) e
i t
имеют
, где F ={u,
зависимость
1,
,
2,
от
времени
t:
w, E11, E22, E12, K11, K22, K12, T11,
T22, S, M11, M22, H}; Fj* – комплексная амплитуда Fj;
– круговая частота коле-
бания вынуждающей нагрузки.
T11’+ (T11-T22)+S*+k1Q11+ 2(bu+c 1)+p1=0,
S’+2 S+T22*+k2Q22+ 2(bv+c 2)+p2=0,
Q11’+ Q11+Q22*-k1T11-k2T22+ 2bw+p3=0,
(3)
M11’+ (M11-M22)+H*-Q11+ 2(cu+d 1)=0,
H’+2 H+M22*-Q22+ 2(cv+d 2)=0.
Граничные условия представляются в следующей форме:
При
1=0
При
:
u(1- 1)+T11 1=0, v(1- 2)+S 2=0,
1=L
:
u(1- 6)+T11 6=0, v(1- 7)+S 7=0,
1(1- 3)+M11 3=0, w(1- 4)+Q11 4=0,
1(1- 8)+M11 8=0, w(1- 9)+Q11 9=0,
2(1- 5)+H 5=0.
2(1- 10)+H 10=0.
Полагая
i
(4)
(i=1...10) 0 или 1, обеспечим выполнение статических или кине-
матических граничных условий.
Во втором параграфе приведены определяющие соотношения для анизотропного материала при наличии плоскости упругой симметрии и соответствующие выражения для усилий и моментов, в частности:
T11=B11E11+B12E22+A11K11+A12K22+2L16E12+2N16K12;
M11=A11E11+A12E22+D11K11+D12K22+2N16E12+2R16K12;
(5)
Q11=J13E13+ J45E23.
Соотношения для T22, S, M22, H, Q22 определяются аналогичным образом.
Для оценки диссипативных свойств и демпфирующей способности композитной оболочки в третьем параграфе вводится в рассмотрение коэффициент
поглощения энергии k, определяемый как:
k
1 D
2π П
,
(6)
8
где D – энергия, поглощаемая в теле оболочки за период колебаний, П – среднее значение за период колебаний полной механической энергии.
В четвертом параграфе полученная система уравнений приводится к безразмерному виду.
Во второй главе осуществляется построение разрешающей системы уравнений. Изложен численный метод и алгоритмы его реализации. Первый параграф
посвящен приведению двумерных уравнений несимметричных колебаний к
квазиодномерному виду на основе разложения переменных по окружной координате в ряды Фурье c комплексными коэффициентами:
N
X( 1, 2)=
(X
n ( 1 ) (α 1
)cosn α 2
X n(
1 ) (α 1
)sinn α 2 ) .
(7)
n 0
Во втором параграфе вводятся эффективные физико-механические характеристики волокнистого композита, определяемые по характеристикам составляющих его изотропных компонент: Ef , νf – модуль Юнга и коэффициент Пуассона упругого волокна, Vf – доля объемных включений волокна в композите.
Термовязкоупругие свойства полимерной изотропной матрицы для случая малых колебаний определяются через комплексные аналоги модуля Юнга и коэффициента Пуассона (Em, νm, Vm=1-Vf). Матрица жесткости в общем случае находится с помощью формул преобразования системы координат.
В третьем параграфе получена полная разрешающая комплекснозначная
система дифференциальных уравнений двадцатого порядка, приведенная к
нормальному типу:
dy i
d
(
1,y
) (i=1..20).
1
Разрешающими функциями являются:
y1=T11(+1); y2=S(-1); y3=M11(+1); y4=Q11(+1); y5=H(-1); y6=u(+1); y7=v(-1);
y8 =
1(+1);
y9=w(+1); y10=
2(-1);
y11=T11(-1); y12=S(+1); y13=M11(-1);
y14=Q11(-1); y15=H(+1); y16=u(-1); y17=v(+1); y18=
1(-1);
y19=w(-1); y20=
2(+1).
(8)
9
В четвертом параграфе приводится краткое описание модели полимерного
материала, разработанной в НИИМиПМ им. Воровича И.И. (Ю.П. Степаненко,
К.В. Исаев, А.Д. Азаров). В ней формируется зависимость упругих и реологических характеристик от температуры и частоты нагружения, отличная от традиционной температурно-временной аналогии. Компоненты комплексной податливости при сдвиге I , I
представляются функциями круговой частоты
=2 f:
r2
r1
2
C( r )
I (ω ,T )
1
H(r )
G ( r , ,T )
r2
I (ω ,T )
r1
( ( r , ,T ))
2
2
dr ,
(9)
C ( r )H ( r )
( r , ,T )
G ( r , ,T )
где C (r), H (r) – весовые функции,
( ( r , ,T ))
2
2
dr ,
(r, , T) – функция частотного спектра, (r,
P, T), G(r, , T) – удельный объем и модуль сдвига фазового компонента r.
Пятый параграф содержит описание численного метода решения краевых
задач с помощью перехода к решению задач Коши. При этом используется устойчивый метод ортогональной прогонки в сочетании с методом Рунге-Кутта с
автоматизированным выбором шага интегрирования. Для исследования связанной задачи термовязкоупругости построен итерационный процесс решения нелинейных уравнений:
dy i
d
(
1 , y ,Т
, q ) , (i=1...14). Линеаризация по схеме
1
переменных параметров в k-ом приближении приводит к зависимостям:
dy
d
k
i
(
1,
y
k 1
,Т
k 1
, q ) , причем y
0
0
0
0 , T =T0, q =0.
1
В шестом параграфе дается краткое описание функций и процедур вычислительного комплекса.
Третья глава посвящена численным исследованиям колебаний цилиндрической композитной оболочки в зависимости от структурных параметров композита и механических характеристик волокна и матрицы.
10
В первом параграфе рассмотрено влияние угла армирования волокон
в
матрице композита на уровни вибраций собственных частот колебаний цилиндрической оболочки. Рассмотрен пятислойный композит с нечетными слоями
расположенными под углом + к оси симметрии, и четными слоями – под углом - (рис.1).
Рис.1
На рис.2 изображена суммарная и помодовые амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) при =50 . При этом, основной вклад вносят гармоники n=1, 2,
3. Расчеты указывают на существование угла армирования = *, при котором
первая безразмерная собственная частота
1
имеет максимальные значения.
При этом влияние объемного содержания волокна на величину
*
незначитель-
но.
n
n=1
n=2
n=3
Рис.2
11
б
а
Vf=0.6
Vf=0.7
Vf=0.8
Рис.3
На рис.3а представлены зависимости частоты первого резонанса от угла армирования при Vf=0.6, Vf=0.7, Vf=0.8. На рис.3б приведены аналогичные зависимости амплитуд прогиба на
=
1.
Далее рассмотрено влияние объемного содержания волокна Vf на амплитудно-частотные и жесткостные характеристики конструкции. С повышением объемного содержания волокна в матрице увеличивается общая жесткость конструкции, что приводит к смещению резонансных частот в более высокую область с уменьшением амплитуд. На рис.4 представлены АЧХ при значениях
Vf=0.7, Vf=0.8, Vf=0.9.
Vf=0.7
Vf=0.8
Vf=0.9
Рис.4
Во втором параграфе исследуется влияние вязкоупругих свойств полимерной матрицы при различных углах армирования. В первом случае полимер
представлен упругим материалом с характеристиками, соответствующими
мгновенно-упругому состоянию полимера E0,
0,
tg 0. Во втором случае – соот-
ветствующими длительно упругому состоянию с характеристиками E ,
, tg .
При этом также рассмотрен случай tg =0, т.е. отсутствие механических потерь.
Значения предельных характеристик получены из соотношений (9), соответст-
12
венно, при
0и
при Т=2900 К. На рис. 5а дана АЧХ, полученная по
мгновенно-упругой схеме, на рис. 5б – по длительно упругим характеристикам
при =00 в сравнении с расчетами по вязкоупругой модели.
Аналогичные результаты, полученные при = 450, =00 900, показали, что
расчеты для мгновенно упругого состояния дают удовлетворительные результаты для первых собственных частот. Расхождение с результатами расчетов по
вязкоупругой схеме уменьшается с изменением
от 00 до 900, что связано с
увеличением коэффициентов B22 и D22. При этом влияние вязкоупругих свойств
полимера ослабевает, что связано с усилением армирующего фактора упругих
волокон. Расчеты по длительно упругим характеристикам дают существенное
расхождение с расчетами по вязкоупругой модели, как для собственных частот,
так и уровней вибраций, и не могут быть рекомендованы для их нахождения.
Вместе с тем, значения
находятся
i
и
i
0
определяют границы интервалов, в которых
, и могут использоваться для их оценки.
б
a
дл.упр. модель
упр. модель
мгн.упр. модель
в.упр. модель
Рис.5
В третьем параграфе представлены два способа компоновки многослойного
пакета по толщине оболочки. В первом случае монослои непосредственно контактируют друг с другом и жестко закреплены между собой. Во втором предполагается наличие между армированными слоями промежуточного, скрепляющего их полимерного слоя. При этом масса полимера и объемное содержание
волокна в композите не меняются. Сравнение проведено при Т=290 К для значений hf’=1.0, hf’=0.95, hf’=0.9 на рис.6а.
13
При учете промежуточных слоев получаем соответствующие коэффициенты
армирования: Vf=0.8, Vf’=0.84 и Vf’=0.89, при которых были проведены расчеты. Отмечено повышение резонансных частот колебаний при увеличении толщины промежуточного слоя hf’, что связано с увеличением жесткостных характеристик оболочки и понижением коэффициента поглощения энергии в теле
конструкции (рис.6б).
б
а
hf’=0.9
hf’=0.95
hf’=1.0
Рис.6
В четвертом параграфе рассмотрены результаты расчетов АЧХ цилиндрической оболочки, проведенных в рамках теории Кирхгофа-Лява, не учитывающей
деформации поперечных сдвигов, в сравнении с результатами расчетов по теории типа Тимошенко (рис.7а,б).
б
а
теория типа Тимошенко
теория Кирхгофа-Лява
Рис.7
Результаты указывают на то, что при выбранных параметрах задачи наибольшие
совпадения
АЧХ
достигаются
в
низкочастотном
[0.021 0.107]. На первом резонансе расхождение в
1
диапазоне
составляет 5%. С по-
вышением частоты колебаний расхождение увеличивается как при определении
резонансных частот, так и амплитуд поперечных колебаний. При этом резо-
14
нансные частоты, рассчитанные по теории Кирхгофа-Лява, находятся выше соответствующих частот теории типа Тимошенко.
Проведен ряд расчетов АЧХ в низкочастотном диапазоне при различных соотношениях между жесткостными характеристиками полимерной матрицы и
упругого волокна K E
Re( E m ) E f . На рис.8а,б представлены АЧХ, расчитан*
ные при значениях KE=10-2, 10-3. Результаты расчетов показывают, что понижение динамического модуля ведет к существенному качественному и количественному расхождению в определении резонансных частот и амплитуд поперечных колебаний. Это указывает на необходимость использования для решения
поставленных выше задач неклассических теорий, учитывающих деформации
поперечного сдвига.
б
а
теория типа Тимошенко
теория Кирхгофа-Лява
Рис.8
В пятом параграфе предметом исследования является распределение энергии диссипации по типам деформаций при колебаниях цилиндрической оболочки в зависимости от механических характеристик волокна и матрицы в различных частотных диапазонах. Энергию диссипации D можно представить в
виде:
D
Dр
Dи
Dк
Dс
Dz ,
(10)
где Dр, Dи, Dк, Dс, Dz – энергия диссипации, соответствующая деформациям
растяжения-сжатия, изгиба, кручения, тангенциальной деформации и деформации поперечного сдвига:
L N
Dр
π
2
R
I
T11n E 11n
0 n 0
I
R
T11n E 11n
R
I
T 22n E 22n
I
R
T 22n E 22n dα 1 ,
(11)
15
L N
Dи
π
2
R
I
I
M 11n K 11n
R
M 11n K 11n
M
R
22n
I
K 22n
M
I
22n
R
K 22n dα 1 ,
0n 0
L N
Dк
2π
2
R
I
I
R
H n K 12n dα 1 ,
H n K 12n
0n 0
L N
Dс
π
2
R
I
S n E 12n
I
R
S n E 12n dα 1 ,
0n 0
L N
Dz
π
2
R
Q 11n
I
1n
I
R
1n
Q 11n
R
Q 22
I
2n
I
Q 22n
R
2n
dα 1 .
0 n 0
На рис.9а приведены частотные зависимости энергии диссипации D при
различных соотношениях KE. Рисунок 9б характеризует вклад в нее энергии
диссипации за счет деформаций поперечного сдвига Dz (в процентном отношении). Результаты расчетов показывают, что с уменьшением коэффициента КЕ и
ростом частоты нагружения диссипация энергии в теле оболочки почти полностью осуществляется за счет поперечных сдвиговых деформаций. Это так же
указывает на необходимость использования для решения этого класса задач
теорий оболочек, учитывающих деформации поперечного сдвига.
а
KE=10-2
б
KE=10-3
KE=10-4
KE=10-5
Рис.9
Четвертая глава посвящена влиянию температурного поля на вынужденные
колебания композитной цилиндрической оболочки.
В первом параграфе рассмотрена задача о колебаниях цилиндрической оболочки в однородном стационарном температурном поле. Некоторые результаты
представлены на рис.10а, в виде АЧХ рассчитанных для температур окружаю-
16
щей среды Т=290 К, Т=330 К, Т=370 К. Из приведенных на рис.10б результатов
расчетов следует, что для данного полимерного материала с повышением температуры наблюдается снижение уровня вибраций и смещение резонансных
частот в низкочастотную область, что связано со снижением жесткости и повышением внутренних потерь в полимере с ростом температуры.
а
Т=290 К
б
Т=370 К
Т=330 К
Рис.10
Во втором параграфе рассмотрен случай неоднородности свойств оболочки
по толщине, связанный с различными температурными режимами, заданными
на поверхностях оболочки.
Рис.11
Исследуется вариант (рис. 11), когда на внешней и внутренней лицевых поверхностях цилиндрической оболочки заданы температуры Tout и Tin. Зависимость температуры от поперечной координаты определялась следующим образом:
T(Z)=Tin+ T(Z+ h 2 ), при Z
h 2 h 2 ,
где T
( T out
T in ) h .
(12)
На рис. 12 представлены результаты численного расчета АЧХ в центре площадки нагружения. Для сравнения приведено решение аналогичной однород-
17
ной задачи, при Т= ( T out
T in ) 2 .
Результаты указывают на то, что неучет гра-
диента температуры дает завышенные жесткостные характеристики полимера и
всей конструкции в целом, что приводит к ошибке в определении спектра собственных частот и уровней вибраций.
однородная
температура
неоднородная
температура
Рис.12
Вследствие таких специфических свойств многих полимеров, как их высокая чувствительность к изменению температуры, малая теплопроводность, значительные гистерезисные потери, учет взаимодействия механических и тепловых полей при длительных механических воздействиях приводит к одному из
самых существенных эффектов – диссипативному разогреву.
Третий параграф посвящен постановке связанной задачи термовязкоупругости для волокнисто-слоистой композитной оболочки. Для случая осесимметричных вынужденных колебаний получена разрешающая система (13) и граничные условия (15).
dT
1
A1 dα 1
λ
ω
2
R
(T 11
dq
q ;
A1 dα 1
I
E 11
-
I
R
T11 E 11
1
2α
h
h
R
Q 22
...
I
E 23
(T
T ср ) ;
(13)
-
I
Q 22
R
E 23
),
где – коэффициент теплоотдачи с лицевых поверхностей оболочки.
Эффективный коэффициент теплопроводности определяется следующим
образом:
11
(
11
sin
22
2
22
cos
2
,
)
(14)
18
где
11
Vf
Vm
f
m,
22
m
1
f
T
0
1
q
1
0
T0
T
0
q
1
Vf
.
2
m
T0
L
1
1
m
Vf
L
0
.
(15)
В четвертом параграфе рассмотрена задача теплообразования без учета зависимостей свойств полимера от температуры. На рис.13а представлены АЧХ
оболочек с различными направлениями армирования монослоев: =00, = 450,
=00 900. В рассмотренном частотном диапазоне, включающем первую резонансную частоту, температура теплообразования достигает максимального значения при =00 (рис. 13б).
б
а
=00
=00 90
= 450
0
Рис.13
Далее, рассматривается связанная задача термовязкоупругости для случая
осесимметричных вынужденных колебаний. Задача имеет существенно нелинейный характер вследствие зависимости свойств полимера от температуры и
наличия диссипативной функции в уравнении энергии. Поэтому в решении системы дифференциальных уравнений, помимо метода ортогональной прогонки,
был реализован метод простых итераций.
На рис.14а,б построены эпюры прогиба |W| и распределение температуры в
окрестности первого резонанса при частоте
=0.4.
19
б
a
связанная задача
слабосвязанная задача
Рис.14
В пятой главе диссертации рассмотрены задачи о колебаниях цилиндрической и составной оболочки (цилиндр-конус) в условиях несимметричного нагружения. Первый параграф посвящен изучению влияния расположения несимметричной нагрузки на поведение цилиндрической оболочки. В работе рассматриваются два варианта нагружения: в первом случае – нагрузка имеет
плоскость симметрии
2=0
и распределена вдоль меридианов
во втором случае – симметрия отсутствует
2=0
o
2=0
o
,+45o,-45o;
,+45o,-90o. Раствор нагрузок
составляет =100, интенсивность и расположение по
1
в обоих случаях иден-
тичны.
несимметричная
задача
плоскосимметричная
задача
Рис.15
Наряду с построением АЧХ, спектра резонансных частот и форм колебаний
определялись точки, где амплитуды прогиба достигали максимального значения. Разработанный алгоритм позволяет определять координаты точек наибольшего уровня вибраций на заданной частоте. Результаты АЧХ для несимметричного нагружения представлены на рис.15.
20
Проведенные численные расчеты позволяют сделать вывод о том, что в случае нагружения по плоскосимметричной схеме, уровни вибраций значительно
ниже возникающих при воздействии несимметричной нагрузки. При построении форм колебаний использовался лицензионный пакет MathCAD 2001.
Современные композитные конструкции часто имеют геометрически сложный характер и могут быть составлены из секций, представляющих собой различные оболочки вращения. В связи с этим во втором параграфе рассмотрена
составная композитная оболочка под несимметричной нагрузкой. Первая секция конструкции имеет форму цилиндра, а вторая, сопряженная с ней, представляет собой конус (рис.16).
Рис.16
Условия закрепления между секциями и на торцах конструкции соответствуют жесткой заделке. При переходе через линию стыковки оболочек должны
выполняться условия (16).
y1+=Q1-cos ++T3-sin +, y2+=y2-, y3+=y3-,
y4+= Q1-sin +-T3-cos +, y 5
sin
+
-
-
-
-
y 5 , y6 =u1 cos +u3 sin ,
sin
y7+=y7-, y8+=y8-, y9+=u1-sin --u3-cos -, y10+=
2
sin --
1
cos -,
(16)
u1-=y6-cos -+y9-sin -, u3-=y6-sin --y9-cos -, Q1-=y1-cos -+y4-sin -,
T3-=y1-sin --y4-cos -,
1=y10
-
cos -,
2=y10
-
sin -,
где yi+ и yi- – значения разрешающих функций по обе стороны ребра.
Нагрузка на поверхности оболочки приложена на 6 цилиндрических панелях, с координатами центральных точек
1=1
4 Lc , 3 4 Lc
(Lc – длина цилинд-
21
рической секции) и при
o
o
o
2=0 ,+45 ,-90 .
Раствор нагрузки соответственно: по
= R c 2 (Rc – радиус цилиндрической секции) и по = 100.
На рис.17 построена АЧХ в точках максимального прогиба составной конструкции с одновременным определением их координат на рис.18а,б.
Рис.17
а
б
Рис.18
На рис.19 представлены, в частности, формы колебаний конструкции на первой резонансной частоте
а
=0.044.
( XC YC ZC ) ( XK YK ZK
б
Рис.19
LC ) ( X1 Y1 ZC ) ( X1K Y1K
ZK
LC ) ( X3 Y3 Z3 ) ( X4 Y4 Z3 ) ( X3 Y3 Z5 ) ( X4 Y4 Z5 ) ( X5 Y5 Z3 ) ( X5 Y5 Z5 )
в
22
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Построена математическая модель, описывающая колебания волокнистослоистой оболочки вращения с учетом термовязкоупругих свойств полимерной матрицы и термомеханической связанности.
2. Разработаны численные алгоритмы и комплекс вычислительных программ, реализующий расчеты амплитудно-частотных и диссипативных
характеристик составных композитных оболочек.
3. Исследовано влияние структурных параметров: угла армирования, объемного содержания волокна в композите, строения слоистой стенки оболочки, а также вязкоупругих свойств связующего на АЧХ и коэффициент
поглощения энергии цилиндрической оболочки. Определены условия,
при которых частота первого резонанса имеет максимальное значение.
4. Проведен сравнительный анализ АЧХ цилиндрической оболочки, рассчитанных по моделям Кирхгофа-Лява и Тимошенко.
5. Оценено влияние физико-механических характеристик волокна и матрицы на распределение энергии диссипации по типам деформаций в различных частотных диапазонах.
6. Решены задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, находящейся в
однородном и неоднородном стационарном температурном поле. Предложен численный метод исследования, и решена осесимметричная связанная задача термовязкоупругости для волокнисто-слоистой оболочки.
7. Исследованы задачи о колебаниях цилиндрической и составной (цилиндр-конус) оболочек под воздействием неосесимметричной нагрузки
общего вида. Разработан алгоритм, позволяющий определять области
наибольшей виброактивности на поверхности оболочек. Сделаны выводы
о рациональном распределении нагрузки, при котором уровни вибраций
конструкции минимальны.
23
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Сафроненко В.Г., Шутько В.М., Трифонов В.В. Об одной связанной задаче
термовязкоупругости для многослойной оболочки вращения. // В кн.: Соврем. пробл. мех. сплошной среды. Тр. VI Междунар. конф. Ростов-на-Дону.
2000. Т. 2. С. 139 – 142.
2. Сафроненко В.Г., Трифонов В.В. Связанная задача термовязкоупругости для
композитной оболочки вращения // В кн.: Соврем. пробл. мех. сплошной
среды. Тр. VII Междунар. конф. памяти академика РАН И.И. Воровича. Ростов-на-Дону. 2001. Т. 1. С. 209 – 213.
3. Трифонов В.В., Сафроненко В.Г. Вынужденные колебания слоистой металополимерной оболочки вращения с учетом термомеханической связанности
// Материалы Междунар. научно-практической конф. «Строительство–2001».
г. Ростов-на-Дону. Изд-во РГСУ. 2001. С. 45 – 47.
4. Трифонов В.В. Вынужденные колебания многослойной армированной оболочки // Тр. аспирантов и соискателей РГУ. Изд-во РГУ. Ростов-на-Дону. Т.
VII. 2001. С. 14 – 16.
5. Трифонов В.В. Вынужденные колебания цилиндрической композитной оболочки // Тр. аспир. и соискат. РГУ. Ростов-на-Дону. 2002. Т. VIII. С. 3 – 5.
6. Сафроненко В.Г., Трифонов В.В. Математическое моделирование в вибродинамики композитных оболочек вращения с полимерным связующим //
Механика оболочек и пластин. Сб. докладов XX Междунар. конф. по теории
оболочек и пластин. Нижний Новгород. 2002. С. 275 – 281.
7. Сафроненко В.Г., Трифонов В.В., Азаров А.Д. Связанная задача термовязкоупругости для композитной оболочки вращения // В кн.: Соврем. пробл. мех.
сплошной среды. Тр. VIII Междунар. конф. Ростов-на-Дону. 2002. Т.1. С.
145 – 149.
8. Сафроненко В.Г., Трифонов В.В. О влиянии структурных параметров волокнисто-слоистой цилиндрической оболочки на ее виброактивность // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. №4. С. 11 – 17.
24
9. Сафроненко В.Г., Трифонов В.В., Донченко Е.Н. Некоторые задачи вибродинамики композитных на полимерной основе оболочек вращения // В сб.:
Тр. III Всероссийской конф. по теории упругости с междунар. участием.
г.Ростов-на-Дону и г.Азов, 13 – 16.10.2003. Ростов-на-Дону, 2004. С. 314 –
317.
10.Трифонов В.В. Неосесимметричные колебания составной композитной оболочки вращения // Тр. аспир. и соискат. РГУ. Ростов-на-Дону. Т. IX. 2003. С.
6 – 8.
11.Сафроненко В.Г., Трифонов В.В. К расчету диссипативных характеристик
волокнисто-слоистых оболочек вращения с полимерным связующим. Изв.
вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. Приложение.2005. №9. С. 46 –
49.
12.Сафроненко В.Г., Трифонов В.В., Шутько В.М. Несимметричные вынужденные колебания составной композитной оболочки вращения // В кн.: Соврем. пробл. мех. сплошной среды. Тр. IX Междунар. конф. Ростов-на-Дону.
2005. С. 176 – 180.
13. Сафроненко В.Г., Трифонов В.В. Численное исследование виброакустических и диссипативных характеристик оболочек из полимерных композиционных материалов.// Аннот. док. IX Всероссийского съезда по теоретической
и прикладной механике. Нижний Новгород. 2006. С. 190.