БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Федоров Д.Л. Нефть и газ как продукт взаимодействия геосфер // Недра Поволжья
и Прикаспия: Региональный науч.-техн. журн. 2001. Вып. 27. C. 3–7.
2. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды.
М.: Физматгиз, 1962. 432c.
3. Райс Дж. Механика очага землетрясения. М.: Мир, 1982. 202 c.
4. Гурьянов В.В., Гурьянов В.М., Левянт В.Б. Особенности распространения сейсмических волн в коллекторах, влияющие на их выявление и дифференциацию // Математические методы в геофизике: Тр. Междунар. конф. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО
РАН, 2003. С. 93.
5. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. 326c.
6. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббсон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые
уравнения. М.: Мир, 1988. 694c.
УДК 539.3
Д.В. Иванов, Е.Л. Коссович
КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ АРТЕРИЙ ЧЕЛОВЕКА
С ПАТОЛОГИЧЕСКИМИ ИЗВИТОСТЯМИ
Данная статья посвящена исследованию патологических извитостей сонных артерий [1] и включает медицинскую и математическую постановку,
численное моделирование и решение смешанной задачи теории упругости и
гидродинамики о потоке крови через патологически извитые сонные и позвоночные артерии методом конечных элементов [2], а также анализ результатов.
Постановка задачи
Одним из наиболее малоизученных и загадочных заболеваний сонных и
позвоночных артерий является патологическая извитость (кинкинг). У каждого третьего умершего от инсульта находили патологические изгибы сонных
или позвоночных артерий. У 16-26 % взрослого населения выявляются различные варианты удлинения и извитости сонных или позвоночных артерий
на шее [3].
Причина извитостей чаще всего врожденная, но нередко удлинение артерии развивается при гипертонической болезни. Долгое время извитость
может не давать никакой симптоматики, но в какой-то момент у пациента
начинаются приходящие нарушения мозгового кровообращения.
Различают три вида извитостей: изгиб, перегиб и петля.
Наиболее опасными видами являются перегиб и петля. В области максимального изгиба возникает хаотичный характер кровотока, что приводит
к снижению давления крови ниже перегиба и соответственно к снижению
кровотока по мозговым артериям [4].
Перейдем к математической постановке задачи.
134
Кровь предполагается однородной, несжимаемой и ньютоновской жидкостью. Ее движение описывается следующей системой уравнений:
∂ 2 u1
ρ1 2 − ∇ · −pI + η ∇~u1 + (∇~u1 )T + ρ1 (~u1 · ∇)~u1 = 0,
∂t
−∇~u1 = 0,
где ρ1 – плотность жидкости, u1 – вектор скорости крови, p – давление крови,
I – единичная матрица, η – динамический коэффициент вязкости жидкости.
Материал стенок предполагается однородным, изотропным и идеальноупругим. Движение стенки в нестационарном случае описано вторым законом Ньютона в виде [5]:
∂ 2~u
ρ2 2 − c∇ · ∇~u = F~ ,
∂t
где F~ – вектор внешних сил, c – константа, ρ2 – плотность стенки. Учитывая,
что деформации стенки вследствие действия на нее крови могут быть большими, используется тензор Грина для записи деформаций стенки, которые
имеет вид
γij
1 ∂ui ∂uj ∂uk ∂uk
+
+
.
= εij =
2
2 ∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
Для моделирования совместной задачи теории упругости и гидромеханики использовался совместный подход Лагранжа – Эйлера (ALE) для описания движения сплошной среды.
Граничные условия на стенке F~T = −~n −pI + η ∇~u1 + (∇~u1 )T , где
~n – вектор внешней нормали к границе. Сила представляет собой суммарное воздействие давления и сил вязкости на стенку. Торцы стенки жестко
закреплены.
Значения давления на входе и скоростей на выходах сонной артерии сначала возрастают от нулевых значений до диастолических, затем до систолических значений и падают до диастолических значений.
Значения давления на входе общей сонной артерии и скоростей на выходах наружной и внутренней сонной артерии сначала возрастают от нулевых
значений до диастолических, затем до систолических значений и падают до
диастолических значений.
На стенке артерии ставится условие равенства скоростей частиц жидкости, прилегающих к стенке, и соответсвующих частиц стенки, что математически записывается следующим образом:
u1 =
∂v
∂w
∂u
, v1 =
, w1 =
.
∂t
∂t
∂t
135
Механические характеристики крови и артерии были взяты в виде ρ1 =
= 1050 кг/м3 , η = 0.0037 Па·с, ρ2 = 1378 кг/м3 , ν = 0.4, E = 6 · 105 H/м2 .
Результаты и выводы
По результатам проведенного численного эксперимента были получены
численные данные по движению крови и стенок патологически извитых сонных артерий. Анализ результатов и сравнение с клиническими данными показали, что:
а) в изгибе локальное давление крови на поперечном срезе артерии минимально на внутренней стенке изгиба, а по мере приближения к наружной
стенке увеличивается и достигает максимума на самой стенке;
б) для скорости потока крови характерна обратная зависимость: максимальные значения скоростей потоков крови достигаются у внутреннего
радиуса в районе изгиба артерии;
в) за счет разницы давления (у наружного и внутреннего радиуса) возникают потоки поперечной циркуляции, имеющие характер завихрения.
В дальнейшем планируется использовать модель свехупругого (модель
Нео–Гука) ортотропного материала [6] стенок сонной артерии.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100564).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Скобцов Ю.А., Оверко В.С., Родин Ю.В. и др. Исследование потоков крови при
патологической S-образной извитости сонных артерий // Тр. ИПММ НАН Украины.
2006. Вып. 12. C. 164–171.
2. Bathe K. J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,
1996. P. 1037.
3. Http://www.bakulev.ru (официальный сайт НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН).
4. Http://www.venart-swiss.ru (официальный сайт сосудистой клиники Venart Швейцарского медицинского центра).
5. Holzapfel G.A., Gasser T.C. A new constitutive framework for arterial wall mechanics
and a comparative study of material models // J. of Elasticity. 2000. № 61. P. 1–48.
6. Harington I., Botton G. de, Gasser T.C., Holzapfel G.A. How to incorporate collagen
Fibers Orientations in an arterial bifurcation // Proc of the 3rd IASTED Int Conference on
Biomechanics. Benidorm, September 7-9, 2005. Benidorm, Spain, 2005.
В.С. Кожанов, И.А. Чернов
УДК 533
ЗАДАЧА О СХЛОПЫВАНИИ ПУСТОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Данная статья представляет результаты численного решения автомодельной задачи о схлопывании пустой полости, обладающей цилиндрической симметрией, когда показатель адиабаты γ ∈ (2.9776, 16.8693). Результаты решения этой задачи для потока со сферической симметрией содержаться в [1,2].
136