Пространственная решётка Познакомимся теперь подробнее с

Пространственная решётка
Познакомимся теперь подробнее с построением и некоторыми
свойствами пространственной решётки.
Примем какой-либо узел пространственной решётки, например, узел
А0, за исходный узел решётки (рис. 1.1). Пусть ближайший к нему такой же
атом (узел) А1 находится на расстоянии а (а --> А0А1). Продолжив прямую
А0А1, найдем серию узлов А2,А3, А4, . . . , Аn, расположенных вдоль этой
прямой на равном расстоянии друг от друга.
Совокупность узлов, лежащих на одной прямой, называется рядом
пространственной решётки.
Расстояние между соседними узлами ряда называется
промежутком ряда. В нашем случае промежуток ряда
Рис. 1.1. Ряд
равен а.
пространственной
Число узлов,
приходящихся на единицу длины ряда,
решётки
называется плотностью ряда. Очевидно, что плотность
ряда обратно пропорциональна величине промежутка: чем меньше
промежуток ряда, тем больше будет его плотность.
Одно из основных свойств пространственной решётки состоит в том,
что через любой узел решётки всегда можно провести ряд, параллельный
данному ряду, причём все параллельные ряды имеют одинаковую плотность.
Ряды же разных направлений в общем случае обладают различной
плотностью. В частных случаях и у непараллельных рядов промежутки могут
быть одинаковыми.
Возьмём теперь относительно исходного узла А0 ещё один ближний к
нему узел, лежащий в плоскости чертежа, но не вне ряда А0Аn. Пусть это
будет узел В1, отстоящий от узла А0 на расстояние b (рис. 1.2). Соединив узлы
А0 и В1 прямой линией и продолжив её дальше, получим новый ряд А0Вn с
промежутком ряда b.
Два пересекающихся ряда А0Аn и А0Вn, определяют положение
плоскости, которая пройдёт через бесконечное множество узлов
пространственной решётки.
Совокупность узлов пространственной решётки, лежащих в одной
плоскости, называется плоской сеткой.
Узлы всякой плоской сетки можно расположить в вершинах равных и
параллельных друг другу параллелограммов, смежных по целым сторонам.
Такую систему параллелограммов в нашем случае получим, если через узлы
В1, В2, . . . , Вn проведём ряды, параллельные ряду А0Аn, а через узлы А2.,А3,А4, .
. . ,Аn, - ряды, параллельные ряду А0Вn (см. рис. 2) .
Число узлов, приходящихся на единицу площади плоской сетки,
называется её ретикулярной плотностью.
Согласно второму основному свойству пространственной решётки
через любой узел решётки можно провести плоскую сетку, параллельную
данной и имеющую такую же ретикулярную плотность. Таким образом в
решётке параллельно каждой плоской сетке проходит бесконечное
множество тождественных плоских сеток. Совокупность параллельных друг
другу плоских сеток пространственной решётки будем называть серией
плоских сеток. Расстояние между двумя ближайшими параллельными
плоскими сетками называется межплоскостным расстоянием.
Bn
B3
B2
B1
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
Рис. 1.2. Плоская
сетка
В пространственной решётке имеется
бесчисленное множество различным образом ориентированных плоских
сеток, поскольку через три любых узла решётки всегда можно провести
плоскую сетку.
Непараллельные плоские сетки отличаются друг от друга не только
положением в пространстве, но в общем случае и ретикулярной плотностью.
Для дальнейшего построения пространственной решётки возьмём
относительно исходного узла А0 ближайший к нему узел С1, не лежащий в
плоскости построенной нами плоской сетки Аn-А0-Вn (рис. 3). Проведя
прямую А0С1 и продолжив её, найдём на ней серии узлов С2,С3, . . . ,Сn,
образующих третий ряд А0Сn, непараллельный первым двум и имеющий
промежуток с.
Через каждый узел этого ряда проведём плоские сетки, параллельные
сетке Аn-A0-Bn. Все они в совокупности образуют серию плоских сеток.
Вторую серию плоских сеток получим, если через все узлы ряда А0Аn
провести плоские сетки, параллельные оси Вn-A0-Cn, определяемой
пересекающимися рядами А0Вn и А0Сn. Наконец, можно построить третью
серию плоских сеток, проведя через узлы ряда А0Вn плоские сетки,
параллельные сетке Аn-A0-Cn, определяемой рядами А0Аn и А0Сn.
Три серии построенных плоских сеток, взаимно пересекаясь, образуют
систему равных, параллельно ориентированных и смежных по целым граням
параллелепипедов, т. е. пространственную решётку. На рис.1.3 один из
параллелепипедов решётки выделен жирными линиями. Все узлы
полученной решётки располагаются только в вершинах параллелепипедов.
Если известно расположение узлов решётки у одного параллелепипеда, то
можно построить всю решётку параллельным повторением данного,
поступательно перемещая параллелепипед на величину его рёбер по их
направлению.
Bn
B2
B1
Cn
C2
C1
A0
A1
Рис.1. 3. Пространственная
решётка
A2
A3
A4
An
Параллелепипед,
поступательным
перемещением
которого на величину и по направлению его рёбер можно построить всю
пространственную решётку, называется параллелепипедом повторяемости.
Параллелепипеды повторяемости можно выделить у данной
пространственной решётки самым различным образом (рис. 1.4).
a
b
n
В одних случаях параллелепипеды повторяемости
m
p
d
c
могут не иметь никаких других узлов, кроме узлов
s
q
w
в вершинах (например, параллелепипеды abcd и
v
t
h
hikl). В других же случаях параллелепипеды
u
l
i
повторяемости, помимо узлов в вершинах, могут
k
заключать узлы ещё и внутри себя или на своих
Рис. 1.4. Различные
гранях (например, параллелепипеды mnpq и stuv).
параллелепипеды
Вершины подобных параллелепипедов не образуют
повторяемости
всех узлов данной пространственной решётки.
пространственной решётки Параллелепипеды повторяемости, имеющие узлы
(на чертеже показаны
только в своих вершинах, называются примитивными.
только основания
Вершины примитивных параллелепипедов образуют
параллелепипедов)
все узлы данной пространственной решётки.
Если
узлы
решётки
располагаются
только
в
вершинах
параллелепипедов повторяемости, то каждый узел принадлежит
одновременно восьми попарно смежным параллелепипедам (рис. 1.3).
Следовательно, на долю одного параллелепипеда приходится 1/8 узла,
находящегося в его вершине. Поэтому на один примитивный параллелепипед
приходится всего 1/8  8 = 1 узел пространственной решётки.
Одна и та же пространственная решётка может быть разбита на
примитивные параллелепипеды различными способами, но каким бы
способом мы ни разбивали нашу решётку на параллелепипеды, её общий
объём и количество узлов остаются неизменными. А так как каждому узлу
отвечает всегда один примитивный параллелепипед, то любые примитивные
параллелепипеды данной пространственной решётки имеют одинаковый
объём. У всех других параллелепипедов повторяемости, не являющихся
примитивными, объём будет больше, так как количество узлов,
приходящихся на непримитивный параллелепипед, всегда превышает 1.
Построенная нами пространственная решётка представляет собой
бесконечную фигуру, поскольку каждый из рядов решётки может быть
продолжен неопределённо далеко.
Реальные кристаллы являются телами конечных размеров, поэтому, как
уже отмечалось выше, их можно рассматривать как части пространственных
решёток, ограниченные плоскостями - гранями. С точки зрения учения о
пространственной решётке грани кристалла представляют собой плоские
сетки, а рёбра - ряды его решётки.
Необходимо при этом иметь в виду, что реальные кристаллические
вещества часто образуют сложные решётки, состоящие из двух или
нескольких геометрически равных простых пространственных решёток,
определённым образом вставленных друг в друга. Такие сложные решётки
получили название кристаллических решёток. Узлами кристаллических
решёток являются всегда только атомы или ионы химических элементов.
На рис. 1.5 приведены кристаллические решётки некоторых элементов.
Кристаллическая решётка хлористого цезия (рис. 1.5
б) состоит из двух простых решёток, одна из которых
имеет узлы, соответствующие ионам цезия, а другая а
б
совпадающие с ионами хлора. Обе решётки
совершенно тождественны и сдвинуты друг
относительно
друга на величину расстояния
г
+
в
между ионами Cs
и Cl- так, что вершины
Рис.
параллелепипедов одной решётки находятся в центрах
1.5.Кристаллические
параллелепипедов другой решётки.
решетки меди(а),
Кристаллическую решётку хлористого цезия можно
хлористого цезия (б), всегда заменить простой пространственной решёткой,
хлористого натрия(в) примитивным параллелепипедом которой будет являться
и кальцита(г)
ромбоэдр.
Решётка кристаллов хлористого натрия (каменной соли) состоит из
двух одинаковых решёток, подобных кристаллической решётке меди (рис.
1.5 а). При этом решётка, отвечающая ионам натрия, так вставлена в
решётку, соответствующую ионам хлора, что узлы натриевой решётки
занимают середину ребра параллелепипедов повторяемости хлорной решётки
и наоборот.
Кристаллическая решётка кальцита состоит из двух одинаковых
решёток, одна из которых отвечает катионам кальция, а другая - анионам
СО32-. Параллелепипед повторяемости этих решёток имеет форму ромбоэдра
с узлами в вершинах и в центре параллелепипеда (рис. 1.5 г).
Всякий атом или ион представляет собой весьма сложную систему,
состоящую из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных
электронных оболочек. Поэтому между атомами и ионами действуют как
силы притяжения, так и силы отталкивания.
В грубой схеме два соседних атома (или иона) будут притягиваться
друг к другу до тех пор, пока силы притяжения не будут уравновешены
силами отталкивания. А так как атомы (ионы) различных химических
элементов имеют различное строение, то неодинаковы и силы их
взаимодействия. Следовательно, и расстояния между атомами (ионами)
различных химических элементов в кристаллической решётке должны быть
разными.
Вот почему вещества различного химического состава имеют
различные кристаллические решётки. Это - основной закон о
кристаллических решётках, на котором базируется вся кристаллохимия.
Закон Бравэ
Кристаллические тела в большинстве случаев образуются из
плоскостей путём образования кристаллов из пересыщенных растворов или
при кристаллизации расплавов.
Однако, известны случаи образования кристаллов непосредственно из
газо- или парообразного вещества. Например, иней возникает из паров воды,
из газообразных выделений вулканов осаждаются кристаллы серы,
хлористого натрия и др.
Наконец, возможны и такие случаи, когда кристаллические
образования возникают из твёрдых веществ. В качестве примера можно
привести выделение кристаллов стекла (помутнение). В технике используют
способность металлов к перекристаллизации, получая крупно- или
монокристаллические образования.
Итак, при образовании кристаллов вначале возникают мельчайшие
кристаллики, а затем они вырастают в более крупные кристаллы.
Установленно, что грани растущих кристаллов передвигаются
параллельно самим себе от центра кристаллизации.
Вследствие этого углы между двумя любыми гранями остаются
постоянными. При этом разные грани перемещаются с разной скоростью.
Скоростью роста данной грани называется расстояние по нормали к ней, на
которое она передвигается в единицу времени при росте кристалла (рис.1.6).
Различие в скоростях роста различных граней кристалла обуславливает
его внешний облик: некоторые грани в процессе роста кристалла
увеличиваются и становятся доминирующими, а другие грани постепенно
уменьшаются в размерах и в конце концов могут совсем исчезнуть с
поверхности кристалла. Из рис. 1.7 видно, что зарастают и исчезают те грани,
которые имеют наибольшую скорость роста (грань ВС). В результате
кристалл, как правило, покрывается гранями с малыми скоростями роста
(при условии, что двухгранный угол между смежными гранями превышает
900).
m
C
n
Чем отличаются грани с разными скоростями роста?
Разные плоские сетки имеют неодинаковое строение, и
B
различаются ретикулярной плотностью. Чем больше
P q
ретикулярная плотность, тем большее количество частиц
A
примет строго упорядоченное расположение. Следовательно
Рис. 1.6.
грани с малыми плотностями растут быстрее, т. е. кристаллы
Передвижение
покрываются преимущественно гранями с большими
граней при росте
ретикулярными плотностями.
кристалла:
Впервые это предположение высказал французский
pq - скорость
кристаллограф Бравэ. В настоящее время эта гипотеза
нарастания грани подтверждается с помощью рентгеноструктурного анализа.
АВ, mn- скорость Поэтому предположение Бравэ можно отнести к числу
нарастания грани статистических законов.
ВС
Закон Бравэ формулируется следующим образом: “Чем
больше ретикулярная плотность плоской сетки, тем чаще она встречается в
качестве
реальной
грани на кристаллах”.
Закон
Бравэ
часто
t
m
Рис. 1.7. Зарастание
нарушается,
потому
что
на
C u D
грани ВС, имеющей
n
относительные скорости роста
наибольшую
B
граней
кроме
ретикулярной
скорость роста
p q
плотности влияют другие физикоA
химические факторы. К ним
относят концентрационные потоки, степень пересыщения раствора, давление
и т. п.
Действие этих факторов приводит к появлению граней с малыми
плотностями при одновременном уменьшении граней больших плотностей.
Вследствие этого кристаллы одного и того же вещества могут иметь
различное число граней, а так же отличаться величиной и формой одинаково
расположенных граней. Но внутреннее строение всех этих кристаллов
остаётся неизменным. Поэтому рёбра разных кристаллов данного вещества
должны отвечать одинаковым плоским сеткам и рядам его кристаллической
решётки. Углы между соответственными гранями и рёбрами у всех
кристаллов сохраняются постоянными (закон постоянства углов кристаллов).
Поэтому можно установить состав исследуемого кристалла, измеряя углы
между его гранями и рёбрами.
a
b
c
Рис. 1.8. Кристаллы горного
хрусталя
постоянства углов.
На рис. 1.8 изображено
несколько кристаллов горного
хрусталя, иллюстрирующих закон