методика учета шарниров при расчете изгибаемых стержневых

УДК 539.3:624.072
Петр Павлович Назарьев
кандидат технических наук,
доцент кафедры механики
строительного факультета ПетрГУ
[email protected]
МЕТОДИКА УЧЕТА ШАРНИРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ
ИЗГИБАЕМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Предложен вариант учета шарниров при формировании матрицы жесткости стержневого конечного элемента.
A variant accounting for the formation of joints stiffness matrix of finite
element rod.
Ключевые слова: метод конечных элементов, шарнир, матрица жесткости.
Key words: finite elements method, hinge, rigidity matrix.
Типичным элементом стержневой изгибаемой конструкции является
шарнир. Обычно его понимают как отсутствие поворотной связи между торцом
стержня и соответствующего узла. В общем случае в составе расчетной модели
может потребоваться исключить и линейные связи. В таком смысле термин
«шарнирный узел», широко распространенный в строительной механике для
описания моделей стержневых конструкций, при расчете методом конечных
элементов теряет смысл. Можно говорить только о шарнире (или обобщенном
шарнире в случае устранения произвольных комбинаций связей). Можно привести в качестве примера введения шарнира путем устранения связей способ, ис-
пользуемый в широко известной конечноэлементной программе «Лира»:
Очевидно, что разработчики расчетных программ прекрасно знают
способы учета шарниров в стержневых конструкциях, однако в литературе
данный
вопрос
на
«студенческом»
уровне
отражен
недостаточно.
В
монографиях по методу конечных элементов, например в широко известной
книге Р. Галлагера [1] подобные мелкие детали не рассматриваются, а в
литературе учебного характера, например [2], описываются различные, не
очевидно оптимальные подходы. В настоящей работе результат получается тот
же что и в ряде пособий, но вместо подготовленных заранее матриц жесткости,
число которых для пространственного стержня при устранении произвольной
комбинации связей, в том числе и линейных, предлагается общая методика, что
важно при учебном характере решения рассматриваемой задачи.
Воспользуемся технологией конденсации, что означает сокращение порядка системы уравнений за счет исключения некоторых степеней свободы.
Этот прием рассмотрен, например, в [1]. Пусть имеется матрица жесткости для
произвольного конечного элемента
k
и система разрешающих уравнений в
перемещениях:
k =V⋅P ,
где V
– вектор узловых перемещений,
P
(1)
– вектор узловых сил. Разобьем
вектор
P
путем перестановки строк на два подвектора: P c , соответствую-
щего остающимся связям по торцам стержня, и P f , соответствующего устраняемым связям по торцам стержня, то есть собственно врезаемому обобщенному шарниру. Такое же разбиение на
Vc и
V
f
зададим и для вектора
V .
Тогда после одновременной перестановки строк и столбцов матрица жесткости
k также получит блочное разбиение. В итоге система (1) может быть записана
в блочном виде:
[
k cc k cf
k fc k ff
][ ] [ ]
Vc
P
= c
Vf
Pf
.
Условием отсутствия связей между торцами стержня и узлами служит
равенство
P f =0. Учтем
данное
соотношение,
выполняя
блочное
перемножение матриц. Получим:
k cc V c + k cf V f =P c
.
k fc V c + k ff V f = P c
Поскольку матрица
(2)
k невырождена, невырожден и блок
k ff . Тогда из
второго уравнения в системе (2) получим V f :
V f =k −1
ff (P c −k fc V c )
и подставим в первое уравнение:
k cc V c +k cf k −1
ff (P c −k fc V c )= P c .
Окончательно
получим
редуцированную
систему
после
процедуры
конденсации:
−1
(k cc −k cf k −1
ff k fc )V c =(E−k cf k ff ) P c ,
где
E - единичная матрица того же порядка, что и
обозначения
k̃ =k cc −k cf k −1
ff k fc
и
̃ E−k cf k −1
P=
ff ,
V c . Вводя новые
запишем с их использованием разрешающую систему:
k̃ V c = P̃ .
Рассмотрим теперь конкретный пример получения матрицы жесткости с
учетом шарнира. Будем исходить из матрицы жесткости для изгибаемого
плоского стержневого элемента с шестью степенями свободы (три в каждом
узле), записанной в локальных координатах:
K
Здесь
[
A/ I
0
0
− A/ I
0
0
2
2
0
12/ L
6/ L
0
−12/ L
6/ L
EI
0
6/ L
4
0
−6/ L
2
= L − A/ I
0
0
A/ I
0
0
2
2
0
−12 / L −6/ L
0
12/ L
−6/ L
0
6/ L
2
0
−6/ L
4
A - площадь поперечного сечения стержня,
сечения,
]
u1
v1
ϕ1
u2 .
v2
ϕ2
I - момент инерции
E - модуль упругости материала. Получение данной матрицы
проиллюстрировано, например, в [3]. Справа от матрицы показан порядок
степеней свободы. Схема конечного элемента и узловые перемещения показаны
на рисунке.
Покажем, как можно получить матрицу жесткости при наличии обычного
шарнира на левом торце конечного элемента.
Необходимо обнулить силу, соответствующую ϕ 1 . Затем переставляем
строки и столбцы в матрице k так, чтобы третья строка и третий столбец
оказались на последних позициях:
K
[
A/ I
0
− A/ I
0
0
0
2
2
0
12/ L
0
−12 / L
6/ L
6/ L
EI − A/ I
0
A/ I
0
0
0
= L
2
2
0
−12 / L
0
12/ L
−6/ L −6/ L
0
6/ L
0
−6/ L
4
2
0
6/ L
0
−6/ L
2
4
Далее выпишем отдельные подматрицы:
[
A/ I
0
−A/ I
0
0
2
2
0
12/ L
0
−12/ L
6/ L
EI
k cc=
−A/ I
0
A/ I
0
0
L
2
2
0
−12/ L
0
12/ L
−6/ L
0
6/ L
0
−6/ L
4
[]
0
6/ L
EI
k cf =
0
L
−6/ L
4
k fc =
u1
v1
u2 ,
v2
ϕ2
EI
[ 0 6/ L 0 −6/ L 4 ] ϕ 2 ,
L
k ff =
EI
[4].
L
Выполним матричные вычисления:
k −1
ff =
EI
[ 1/ 4 ] ,
L
[]
0
1 6/ L
−1
k cf k ff =
0 ,
4
−6/ L
4
[
0
0
0 9/ L 2
EI
−1
k cf k ff k fc =
0
0
L
0 −9/ L 2
0 3/ L
]
0
0
0
2
0 −9/ L 3/ L
0
0
0 ,
2
0 9/ L −3/ L
0 −3/ L
1
]
u1
v1
u2 ,
v2
ϕ2
]
u1
v1
u2 .
v2
ϕ2
ϕ1
[
]
A/ I
0
− A/ I
0
0
2
2
0
3/ L
0
−3/ L 3/ L
EI
̃k =k cc −k cf k −1
−A/ I
0
A/ I
0
0 .
ff k fc =
L
2
2
0
−3/ L
0
3/ L −3/ L
0
3/ L
0
−3/ L
3
Это и есть окончательный вид матрицы жесткости для стержня с шарниром в
начальном
узле.
Очевиден
путь
получения
из
исходной
матрицы
редуцированной при любой комбинации устраняемых связей между торцами
элемента и узлами. Он сводится к рассмотренным алгебраическим операциям.
Список литературы
1. Галлагер Р.
Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984. –
192 с.
2. Валиуллин А. Х. Расчет плоских рам с промежуточными шарнирами методом конечных элементов. /А.Х.Валиуллин//Вестник Казан. технол. Унта. – 2011. – №6. – с. 194-199.
3. Хечумов Р. А., Кепплер Х., Прокопьев В. И. Применение метода конечных
элементов к расчету конструкций. – М.: Издательство АСВ, 1994. – 353 с.