energy_spectrumx

Моделирование энергетического спектра для электронов в
связанных квантовых ямах
Описание лабораторной работы
Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент Агарев В. Н., канд. физ.-мат. наук,
доцент Хазанова С. В., магистрант Абросимов А. С., магистрант Дегтярев В. Е.
Целью настоящей работы является освоение компьютерного моделирования
энергетического спектра для электронов в связанных квантовых ямах на основе
полупроводниковых наноструктур.
Введение
Энергетический
спектр
электронов
в
полупроводниковых
наноструктурах
определяется их размерами и топологией. Поэтому путем изменения размеров и
топологии возможно управление энергетическими спектрами носителей заряда, что
представляет большой интерес для практических приложений.
Постановка задачи
В связанных симметричных квантовых ямах (рис. 1) энергетические уровни
испытывают известное расщепление, величина которого зависит от свойств разделяющих
их барьера.
U(x)
U0
E2
E0
E1
x
Рис. 1. Вид потенциальной ямы в квазиклассическом приближении.
Волновая функция и энергия расщепления, найденные в [1] в квазиклассическом
приближении есть:
𝜓0 (0) = √
𝜔
1 𝑎
exp (− ∫ |𝑃|𝑑𝑥),
2𝜋𝑉0
ℏ 0
2(𝑈0 −𝐸0 )
2𝜋
𝑚
𝑇
где 𝑉0 = √
; 𝜔=
𝜓0′ (0) =
𝑚𝑉0
𝜓 (0),
ℏ 0
(1)
- классическая частота периодического движения в
одной яме.
𝜔ℏ
1 𝑎
𝐸2 − 𝐸1 =
𝑒𝑥𝑝 (− ∫ |𝑃|𝑑𝑥),
𝜋
ℏ −𝑎
(2)
а - точка поворота, отвечающая энергии E0 (рис. 1).
Квазиклассическое
приближение
справедливо,
когда
потенциал
меняется
𝑚ℏ 𝑑𝑈
достаточно плавно, так, что
𝑝3
| 𝑑𝑥 | ≪ 1.
В полупроводниковых наноструктурах связанные квантовые ямы могут быть
получены на основе гетероструктур (например, GaAs - AlGaAs [2]), при этом границы
слоев резкие (много меньше длины волны Де Бройля). Поэтому, строго говоря,
квазиклассическое приближение неприменимо. Такая задача рассмотрена в [3] (рис. 2).
U(x)
V0
I
II
III
E
0
a
a+b
Рис. 2. Вид потенциальной ямы.
Для уровней энергии в такой яме найдено уравнение:
𝜘
𝜘
( 𝑡𝑔(𝑘𝑎) + 1) 𝑒 𝜘𝑏 = ± ( 𝑡𝑔(𝑘𝑎) − 1),
𝑘
𝑘
где 𝑘 =
√2𝑚𝐸
;
ℏ
𝜘=
√2𝑚(𝑉0 −𝐸)
ℏ
x
2a + b
(3)
.
При 𝜘𝑏 ≫ 1 решение уравнения (3) получают в виде:
𝑘1,2 =
где 𝜘0 =
𝜋𝑛
𝑘0
𝑘0 −𝜘 𝑏
−
∓2
𝑒 0 ,
𝑎
𝑎𝜘0
𝑎𝜘0
√2𝑚(𝑉0 −𝐸𝑛(0) )
ℏ
; 𝑘0 =
𝜋𝑛
(0)
; 𝐸𝑛 =
𝑎
яме шириной a. Тогда, для энергии найдем:
(4)
𝜋 2 𝑛 2 ℏ2
2𝑚𝑎2
- значение энергии в потенциальной
(0)
𝐸𝑛 1,2 =
(0)
𝐸𝑛
(0)
2𝐸𝑛
4𝐸𝑛 −𝜘 𝑏
−
∓
𝑒 0
𝑎𝜘0
𝑎𝜘0
(5)
Волновые функции нижнего и верхнего уровня соответственно:
𝜓𝐼 =
1
√𝑎
sin(𝑘1,2 𝑥) 𝜓𝐼𝐼 = (−1)𝑛−1
𝜓𝐼𝐼𝐼 =
1
√𝑎
1 𝑘0 −𝜘 (𝑥−𝑎)
(𝑒 0
+ 𝑒 −𝜘0 (𝑎+𝑏−𝑥) )
√𝑎 𝜘0
(6)
sin(𝑘1,2 (2𝑎 + 𝑏 − 𝑥))
Выражения (5,6) выполнены при условии 𝜘𝑏 ≫ 1, то есть при большем затухании
волновых функций в области барьера.
Для компьютерного моделирования математическую задачу необходимо поставить
в безразмерном виде, чтобы исключить в расчетах ошибки вычислений, связанные с
большими и малыми размерными константами, такими как постоянная Планка или масса
покоя электрона. Естественным масштабом расстояния в задаче является ширина ямы L,
которую можно принять за единицу длины.
Тогда единицей измерения энергии будет величина
ℏ2
2𝑚𝐿2
. В безразмерном виде
уравнения Шредингера и граничные условия примут вид:
𝜓′′ + (𝜀 − 𝑉(𝑥))𝜓 = 0
𝜓(0) = 𝜓(1) = 0
Для ямы с бесконечными стенками (рис. 3), задачу можно решить методом
пристрелки, изложенным в [4].
Для
симметричной ямы с конечными барьерами задачу также можно решить
методом пристрелки. В симметричной яме волновые функции могут быть симметричными
или антисимметричными. Поэтому, сместив начало координат в центр ямы, можно для
симметричных волновых функций брать начальные условия как: 𝜓0 (0) = 1, 𝜓0′ (0) = 0, а
для
антисимметричных
𝜓0 (0) = 0,
𝜓0′ (0) = 1. Критерием правильности
функций будет их сходимость в областях вне ямы.
волновых
Пример моделирования в пакете MATHEMATICA
2000
1500
1000
500
0
1+β
1
0.2
0.4
0.6
2+β
0.8
1.0
x
Рис. 3. Вид потенциала в безразмерных единицах двух связанных квантовых ям,
ограниченных бесконечными стенками, высота барьера - 0,5 эВ, ширина структуры 40 нм.
L, нм
-49
-50
0
1
2
3
4
5
6
7
-51
Ln(dE)
-52
-53
-54
-55
-56
-57
Рис. 4. Зависимость логарифма расщепления уровня от ширины разделяющего
барьера.
U, эВ
-48
-49
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Ln(dE)
-50
-51
-52
-53
-54
-55
-56
-57
Рис. 5. Зависимость логарифма расщепления уровня от высоты разделяющего барьера.
Порядок выполнения работы
1.
Разработать
программу
моделирования
энергетического
спектра
в
потенциальной яме с произвольным потенциалом.
2.
Получить у преподавателя вид потенциала в яме.
3.
Провести исследование зависимости расщепления уровней в яме от
параметров барьера.
4.
Найти волновые функции.
Вопросы для подготовки допуска
1.
Примеры наноструктур c эффектами размерного квантования.
2.
Условия проявления эффектов размерного квантования в наноструктурах.
3.
Квазиклассические решения для связанных квантовых ям.
4.
Решения для прямоугольных барьеров.
5.
Применение метода пристрелки к решению задачи моделирования.
Литература
1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М.: Наука, 1974
2. А. Я. Шик, Л. Г. Бакуева, С. Ф. Мушхин, С. А. Рыков. Физика наноразмерных
систем. Спб.: Наука, 2001.
3. И. И. Гольдман, В. Д. Кривченков. Сборник задач по квантовой механике. М.:
Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957.
4. В. Н. Агарев. Моделирование энергетического спектра в полупроводниковых
наноструктурах методом пристрелки. ННГУ, компьютерный фонд изданий,
2007.