Исследование операций и методы оптимизации 4 курс

Исследование операций и методы оптимизации
4 курс
Преподаватели: д.ф.-м.н., профессор Горелик В.А., д.п.н., профессор Деза Е.И., к.ф.-м.н.,
доцент Муравьева О.В., к.ф.-м.н., доц.Привалов А.А.
Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы.
Содержание дисциплины
№
1
2
3
4
5
Наименование раздела
Содержание раздела
дисциплины
(дидактические единицы)
Основные понятия и ма- Понятие операции, оперирующей стороны, цели, решетематическая
модель ния, целерационального поведения. Математическое мооперации
делирование процессов принятия решений. Оптимизационные задачи в науке, технике, экономике. Общая математическая модель операции. Понятие стратегии. Неконтролируемые факторы (фиксированные, случайные, неопределенные). Понятие целевой функции (критерия,
функции полезности, функции выигрыша). Аксиоматика
теории полезности. Принятие решений в условиях полной
информации, риска, неопределенности и многокритериальности. Принципы оптимальности (конструктивный и
аксиоматический подходы).
Классические оптимиза- Введение в оптимизацию. Локальный и глобальный эксционные задачи
тремум. Теоремы существования. Одномерная и многомерная оптимизация. Безусловный экстремум: необходимые и достаточные условия. Условный экстремум: функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа, необходимые и достаточные условия. Примеры.
Нелинейное программи- Общая постановка задачи нелинейного программироварование
ния. Выпуклое программирование, двойственность, теорема Куна-Таккера. Численные методы решения (градиентные, возможных направлений, множителей Лагранжа,
Ньютона, штрафных функций).
Линейное программиро- Постановка задачи, геометрический смысл, примеры.
вание
Симплекс-метод. Двойственные задачи и теоремы двойственности. Транспортная задача, метод потенциалов.
Целочисленное линейное программирование. Методы отсечении и ветвей и границ.
Матричные игры
Определение игры. Информированность и принципы поведения. Гарантированный результат. Антагонистические
игры. Матричная игра. Определение понятия цены антагонистической игры. Смешанные стратегии. Существование цены игры и равновесия в смешанных стратегиях.
Методы решения матричных игр и нахождения равновес-
1
ных ситуаций. Примеры.
6
7
8
9
Биматричные игры
Доминирующие и доминируемые стратегии. Разрешимость по доминированию. Равновесие по Нэшу. Равновесие и паретооптимальность.
Многокритериальная
Проблема многокритериальности. Многокритериальность
оптимизация
и неопределенность. Формализация понятия оптимальности. Задание предпочтений на множестве альтернатив.
Паретооптимальность. Методы свертки, идеальной точки,
лексикографии, ограничений, уступок, попарных сравнений.
Принятие решений в ус- Математическое ожидание и дисперсия. Функции риска.
ловиях риска
Полезность в стохастических условиях. Статистические
решения. Задача Марковича управления портфелем ценных бумаг.
Принятие решений в ус- Игры с природой. Матрица риска. Критерии Вальда, Лапловиях неопределенно- ласа, Гурвица, Сэвиджа. Целевое программирование.
сти
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
1. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче безусловной оптимизации.
2. Функция Лагранжа. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с
ограничениями типа равенств.
3. Линейное программирование. Постановка задачи. Существование и свойства решения.
4. Теорема двойственности в линейном программировании.
5. Необходимые условия экстремума в задаче с ограничениями типа неравенств.
6. Задача векторной оптимизации и ее формализации. Оптимальность по Парето. Метод идеальной точки.
7. Игры в нормальной форме. Равновесие по Нэшу.
8. Седловые точки. Необходимые и достаточные условия существования седловых
точек.
9. Выпуклое программирование. Теорема Куна-Таккера.
10. Теорема о дополняющей нежесткости в линейном программировании.
11. Основная теорема матричных игр фон Неймана.
12. Теорема Нэша для биматричных игр.
13. Графический метод решения матричной игры.
14. Решение матричной игры сведением к линейному программированию.
15. Принципы оптимальности при принятии решений в условиях стохастики (риска).
16. Принципы оптимальности при принятии решений в условиях неопределенности.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ
1. Решение задачи на безусловный экстремум.
2. Решение экстремальной задачи с ограничениями типа равенств.
3. Решение экстремальной задачи с ограничениями типа неравенств.
4. Нахождение седловой точки.
5. Графическое решение задачи линейного программирования.
6. Решение задачи линейного программирования с использованием двойственности.
2
7. Решение задачи векторной оптимизации по методу идеальной точки.
8. Нахождение множества Парето.
9. Решение задачи Марковица.
10. Решение матричной игры с использованием свойства доминирования.
11. Решение матричной игры в чистых стратегиях.
12. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.
13. Графическое решение матричной игры.
14. Решение биматричной игры в чистых стратегиях.
15. Решение биматричной игры в смешанных стратегиях.
16. Нахождение паретооптимальных решений.
Основная литература:
1. Горелик В.А. Исследование операций и методы оптимизации. М.: Издательский
центр «Академия», 2013.
2. Теоретические основы информатики. Матросов В.Л., Горелик В.А. и др. М.: Издательский центр Академия, 2009 г.
3. Белолипецкий А.А., Горелик В.А. Экономико-математические методы. Университетский учебник. М.: Издательский центр «Академия», 2010.
4. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений: Учебное пособие. СПб.: БХВПетербург, 2005.
5. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций. М.: ТК Велби, Изд-во Проспект,
2006.
Дополнительная литература:
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1993.
2. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. М.: Изд-во МГУ, 1997.
3. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях.
М.: Наука, 1991.
4. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал Пресс,
2008.
5. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990.
6. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М.: Едиториал УРСС, 2002.
7. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981.
8. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике.
М.: Мир, 1964.
9. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2001.
10. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в
экономике. М.: ЮНИТИ, 2001.
11. Льюс Р., Райфа Х. Игры и решения. Введение и критический обзор. М.: ИЛ, 1961.
12. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.
13. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.
14. Оуэн Г. Теория игр. М.: Наука, 1971.
15. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учебное пособие для университетов. М.: Высшая школа, Книжный дом "Университет", 1998.
16. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука,
1986.
17. Таха Х. Введение в исследование операций. М.: Вильямс, 2001.
3
18. В.Ю.Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005 Электронная версия на сайте МЦНМО
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php
19. В. М. Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. МЦНМО, 2001. Электронная
версия на сайте МЦНМО
http://www.mccme.ru/free-books/dubna/tich.pdf
20. А. Шень. Игры и стратегии с точки зрения математики (c1) 2-е изд., М.: МЦНМО,
2008 Электронная версия на сайте МЦНМО http://www.mccme.ru/freebooks/shen/shen-games.pdf
4