Лекция №1 ИЗОГНУТАЯ ОСЬ БАЛКИ Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При этом точки оси получают поперечные перемещения или прогибы, а поперечные сечения поворачиваются относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона касательной к изогнутой оси балки. Прогибы и углы поворота в балках часто называются линейными и угловыми перемещениями. Р А + (x) ось балки В – (x) x x М y=f(x) изогнутая ось балки (ИОБ) y y f (x) - закон изменения прогиба оси балки; АМВ – изогнутая ось (упругая линия) – кривая, в которую превращается прямолинейная до деформации ось балки после приложения нагрузки; (x ) - угол наклона касательной. Прогибы и углы поворота в балках являются переменными величинами, т.е. функциями координаты х. О знаке (x ) : - положительно, если при совмещении оси балки с касательной идет движение по часовой стрелке. касательная ось балки касательная На часть конструкций часто накладываются жесткие ограничения на перемещения, например для балочных мостов, кран-балок и т.д., т.е. возникает необходимость рассмотрения геометрической стороны задачи при изгибе. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ Постановка задачи: Вид ИОБ определяется 1. действием нагрузки, которая вызывает внутренние усилия M, Q, N; 2. геометрической характеристикой I; 3. материалом Е. Значит y f ( M , E , I ) I – момент инерции поперечного сечения балки относительно его нейтральной оси; Е – модуль упругости материала балки. M f (x) , E, I – от x не зависят. y E I M (x) Лекция №1 ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В лекции «Напряжения в случае плоского поперечного изгиба балки» (прошлый семестр) рассматривалось «Определение нормальных напряжений». При этом было рассмотрено 3 стороны задачи: 1. геометрическая сторона задачи; 2. физическая сторона задачи; 3. статическая сторона задачи. При рассмотрении геометрической стороны задачи была установлена зависимость y , где - относительная деформация; y - прогиб оси балки; - радиус кривизны ИОБ. При рассмотрении физической стороны задачи была использована гипотеза о том, что продольные волокна балки не давят друг на друга, т.е. что изгиб сводится к деформациям продольных волокон, которые деформируются изолированно, испытывая простое одноосное растяжение (сжатие). Эта гипотеза делает возможным для связи деформаций и напряжений при изгибе использование закона Гука. E y E E В статической стороне задачи было рассмотрено следующее сечение Суммарное действие внутренних напряжений должно быть равно внешним воздействиям. dF N dF Имеет место 2 условия равновесия: 1. X лев 0 2. M лев 0 М x N X лев 0 X лев N dF 0 F dF - сила по элементарным площадкам; dF - сила по всему сечению. F N E y F 1 dF E y dF F E I M лев 0 M dF y F Отсюда F 1 M EI E y dF y E y 2 dF F (1), E I Лекция №1 где - радиус кривизны ИОБ; E I - жесткость балки при изгибе (изгибная жесткость). Так как в выражение (1) вошли все 3 фактора M, E, I, то осталось выразить 1 через y. Для этого воспользуемся выражением из высшей математики 1 y (2) [1 ( y) 2 ]3 / 2 Приравниваем (1) и (2). y M (3) точное дифференц. уравнение ИОБ 2 3/ 2 [1 ( y) ] EI Так как в реальных конструкциях нормами проектирования допускаются сравнительно малые прогибы, а именно 1 1 f , то ИОБ в реальности пологая. 200 1000 Угол 10 dy tg , а ( y) 2 [tg(10 )]2 0,017 2 0,000289 , то этим слагаемым в выражении Поскольку y dx (3) можно пренебречь. Таким образом, M y (4) EI Эта формула устанавливает зависимость между M , E I и 2-ой производной y от прогиба. Известно, что M 0 , когда момент, растягивая нижние волокна, обращает балку выпуклостью вниз. Тогда из математики y 0 (вторая производная от функции отрицательна, если кривая обращена выпуклостью в положительную сторону оси y). x y Таким образом, при положительном изгибающем моменте, 2-ая производная должна быть отрицательной, следовательно в уравнении (4) удерживается знак «-» и формула имеет вид M y (5) приближенное дифференц. уравнение ИОБ EI Лекция №1 ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ Ранее известные зависимости: dM Q dx dQ q dx y f (x) , y M E I y Q E I y (6) (7) q E I y IV Уравнения (7) позволяют, имея q, Q и M (а эти величины всегда возможно определить, построив эпюры в балках), получить значения y (прогиба) и (угла поворота). II. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИОБ Существует 3 метода решения дифференциальных уравнений ИОБ: 1. Метод непосредственного интегрирования 2. Метод начальных параметров 3. Метод Мора 1. МЕТОД НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ Метод непосредственного интегрирования заключается в непосредственном интегрировании уравнения (5). E I y M x E I y Mdx C1 (8) 0 x E I y Mdx dx C1 x C2 00 x Зная закон изменения M f (x) можно определить y как функцию от x ( y f (x) ). Интегрирование ведется по участкам, для которых должны быть известны аналитические выражения изгибающих моментов M f (x) . В результате двукратного интегрирования на каждом участке появляются 2 произвольные постоянные С1 и С2. Если балка разбивается на n участков, то постоянных интегрирования будет 2n. Их определяют из 1. граничных условий (способов закрепления); 2. условий сопряжения участков. Лекция №1 1. УСЛОВИЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ (ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ) 1) жесткое защемление Р При x 0 y 0 и 0 x y 2) шарнирное опирание Р x При x 0 y 0 и 0 При x y 0 и 0 y Таким образом, с учетом граничных условий осталось 2 n 2 неизвестных. 2. УСЛОВИЯ СОПРЯЖЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ УЧАСТКОВ а x yлев при x a yправ y л ев , прав л ев yправ прав лев y Таким образом, всегда можно составить 2 n 2 условия сопряжения и найти уравнение ИОБ.