Задача оптимального управления портфелем с учетом

Задача оптимального управления
портфелем с учетом ликвидности
рынка
Андреев Николай
Лаборатория по финансовой инженерии
и риск-менеджменту НИУ ВШЭ
Москва, 2012
Традиционный подход:
гипотеза эффективного рынка
Совершенный рынок:
• Участники по отдельности не влияют на цену
(абсолютная эластичность);
• Все заявки имеют немедленное исполнение.
Эффективный рынок:
• Цены мгновенно отражают новую информацию.
Гипотеза эффективного рынка: на эффективном
рынке цена меняется непредсказуемо, если в ней
полностью отражена информация и ожидания
участников.
2
Традиционный подход:
гипотеза эффективного рынка
Согласно гипотезе эффективного рынка, процесс цены
должен обладать мартингальным свойством:
∆Pt = Pt − Pt −1 ,
E (∆Pt Pt −1 , Pt − 2 ,...) = 0 ⇔ E ( Pt Pt −1 , Pt − 2 ,...) = Pt −1.
• Гипотеза случайного блуждания:
– Арифметическое броуновское движение (Kendall, Granger,..):
Pt = µ + Pt −1 + ε t ,
ε t ∝ N (0, σ 2 ).
– Геометрическое броуновское движение (Башелье):
ln Pt = µ + ln Pt −1 + ε t , ε t ∝ N (0, σ 2 ).
3
Традиционный подход:
гипотеза эффективного рынка
rt = ln Pt − ln Pt − ∆t -- доходность актива. Согласно
гипотезе случайного блуждания, {rt } -- нормальные
н.о.р.с.в.
Стилистические факты для доходности:
–
–
–
–
–
–
–
–
отсутствие автокорреляций;
«тяжелые» хвосты распределений;
ассиметрия распределения;
распределение похоже на нормальное при малых ∆t ;
кластеризация волатильности;
2
автокорреляция rt , rt ;
корреляция величины доходности и волатильности;
корреляция волатильности и торгуемого объема.
4
Микроструктурные модели рынка
Классические модели не учитывают роль рынка в
ценообразовании
Микроструктура рынка изучает процесс и результаты
обмена активами по определенным торговым
правилам (O’Hara, 1995).
Необходимо учесть
• эластичность,
• издержки при совершении сделок,
• ликвидность рынка
• …
5
Трансакционные издержки
Трансакционные издержки
Явные издержки
Неявные издержки
Бид-аск спрэд
Влияние на
цену
6
Ликвидность рынка
• Ликвиден тот рынок, на котором участники
совершают крупные сделки быстро и с
небольшим влиянием на цены (BIS, 1999).
• Kyle (1985) ввел 3 характеристики
ликвидности:
– глубина (depth)
– сжатость (tightness)
– релаксация (resiliency)
Ликвидность рынка:
книга лимитированных завок
Ликвидность рынка:
глубина и сжатость
глубина
сжатость
Ликвидность рынка:
релаксация
глубина
сжатость
Ликвидность рынка:
релаксация
релаксация
Оптимальная ликвидация позиции
• Пусть требуется купить/продать позицию достаточно
большого объема.
• Известно время, за которое необходимо провести
всю операцию. Возможно входить в рынок несколько
раз, совершая сделки с частью общего объема
• Критерии эффективности:
– Минимальный рыночный риск;
– Максимальная доходность.
12
Оптимальная ликвидация позиции
Мгновенная ликвидация:
• Минимальный рыночный риск;
• Минимальные явные (прямые) издержки;
• Не нужно учитывать влияние сделки на рынок.
Но
• Низкая ликвидационная стоимость;
• Возможно, закрыть всю позицию сразу не удастся
физически.
13
Оптимальная ликвидация позиции
Логично разбить процесс ликвидации на несколько
сделок, но необходимо
• вычислить оптимальные размеры каждой сделки и
количество сделок;
• выбрать оптимальные моменты входа в рынок;
• оценить рыночные риски;
• оценить влияние предыдущих сделок на рынок.
14
Оптимальная ликвидация позиции:
Almgren-Chriss (1999)
• Модель рынка в дискретном времени;
• Изначально задано максимально допустимое число
сделок;
• Конечный горизонт;
• Сделки совершаются через одинаковые интервалы
времениτ ;
15
Оптимальная ликвидация позиции:
Almgren-Chriss (1999)
• Фундаментальная цена актива
Fk = Fk −1 + σ τ ξ k ,
ξ k ∝ N (0,1).
• «Равновесная» цена актива
 vk 
Pk = Fk − τg  ,
τ 
g (⋅) -- функция постоянного влияния на цену.
• Фактическая цена сделки (удельная стоимость):
 vk 
S k = Pk − h ,
τ 
h(⋅) -- функция мгновенного влияния на цену.
16
Оптимальная ликвидация позиции:
Almgren-Chriss (1999)
Ликвидационная стоимость позиции:
n
r r
W ( v , ξ ) = ∑ vk S k
k =1
Расчет оптимальной стратегии:
r r
r r
Eξ W (v , ξ ) + λDξ W (v , ξ ) → inf
v1 ,...,vn
λ -- коэффициент несклонности к риску. Определяется
предпочтениями ЛПР.
17
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
• Задача решается в духе подхода Almgren-Chriss.
Рассматривается ликвидация за относительно
малый промежуток времени.
• Не учитывается постоянное влияние на цену, что
объясняется малым горизонтом. Рынок не успевает
сильно измениться, малые эффекты бессмысленно
учитывать в грубой модели.
18
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
• Функция транзакционных издержек:
Θ t (v k ) =
Nk
∑
i =1
( p ti − p t ) n ti
vk -- общий объем для исполнения в момент времени k,
pti -- цена исполнения i-ой заявки в момент t,
nti -- объем i-ой заявки в момент t,
pt -- рыночная цена актива. Под рыночной ценой
понимается следующее:
Bid t + Askt
pt =
2
19
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
• Θ t -- интегральный показатель
сжатости и глубины.
• Случайная неотрицательная
возрастающая выпуклая
функция
Θ t (ε )
spread t
ε
→
→0
ε
2
• Простая аппроксимация с
помощью полинома:
Θt ( x) = at x3 + bt x2 + ct x,
где (a,b,c) описываются
VAR(1).
20
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
V -- исходный объем,
vk -- объем ликвидации в момент времени k,
Vk -- остающийся объем на начало момента
времени k,
µ -- средний тренд за момент времени k,
σ -- дневная волатильность,
EΘ(vk ) -- средние издержки в момент времени k,
VarΘ(vk ) -- cредне-квадратическое отклонение
издержек в момент времени k.
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab

 N
∑ vi = V
 i =1
0 ≤ vi ≤ V

N
N
N

 EW = x 0 V + µ ∑ ∑ v i − ∑ E Θ k (v k )
k =1 i = k
k =1

2

N
N
N


 VarW = σ 2 ∑  ∑ v i  + Var ∑ Θ k (v k

k =1  i = k
k =1


 λ VarW − EW → v inf
1 ,..., v N

)
22
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
Ликвидация портфеля из 10 000 акций
ОАО «Лукойл» при N=20
23
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
Ликвидация портфеля из 10 000 акций
ОАО «Лукойл» при N=20 с учетом импульса
волатильности
24
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
• Релаксация (resiliency) – эффект
возвращения цены к исходному значению
после случайного неинформативного
возмущения.
• Если возмущение рынка вызвано
дисбалансом заявок, не подкрепленным
информацией, то возвращение в нормальное
состояние -- вопрос времени.
25
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
• Рассмотрим некий показатель ликвидности
рынка. Скачки показателя должны
соответствовать шоку цены и большим
издержкам.
26
Оптимальная ликвидация позиции:
FERM Lab
Оценим длительность периода релаксации. Из таблицы видно, что агент
должен совершать сделки с интервалом не менее 50 секунд. В противном
случае предыстория сделок влияет на будущую стоимость.
Длительность релаксации
Процент от общего числа шоков
< 50 секунд
99,2%
< 45 секунд
97,6%
< 30 секунд
88,1%
< 6 секунд
54%
< 5 секунд
49,2%
27
Спасибо за внимание!