О касательном граничном поведении функций многих

О касательном граничном поведении функций многих
переменных // Матем.заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 230–248.
В. Г. Кротов
Аннотация
В работе изучается асимптотическое поведение функций, заданных в областях многомерного действительного или комплексного пространства, когда точка подходит к границе внутри касательных областей
с различным порядком касания. Основные результаты статьи связаны с граничным поведением функций из
пространств Харди-Соболева в многомерном комплексном шаре и решений эллиптических краевых задач в
липшицевой области действительного евклидова пространства.
Методы статьи основаны на двухвесовых оценках для касательных максимальных функций в
абстрактном шаре. Границей этого шара является пространство с мерой и квазиметрикой.
Ключеые слова:касательное граничное поведение, пространства Харди-Соболева, эллиптические
краевые задачи.
1. Введение.
Систематическое изучение касательного граничного поведения функций из
пространств Харди было начато в работах [1], [2], где рассматривались
потенциалы функций из H p (Rn+1
+ ) (при p > 1 в [1] и при p > 0 в [2]) и
продолжено затем многими авторами (см., например, [3] – [8]). Так в нашей
работе [4] с этой точки зрения изучались функции из пространств Харди для
многих комплексных переменных и решения некоторых краевых задач. Такого
же типа результаты были получены затем в [6], [7].
Здесь мы обобщаем ряд результатов из цитированных работ в некоторых
направлениях, основным из которых является рассмотрение скорости
касательной сходимости. Сейчас будет приведен типичный результат нашей
работы, относящийся к касательному асимптотическому поведению решений
задачи Дирихле для полигармонического уравнения ∆m u = 0.
Пусть Ω – ограниченная липшицева область в Rn , n ≥ 2, µ – мера Лебега на
∂Ω,
Γ∗ε (P ) = {x ∈ Ω : |x − P | < a(dist (x, ∂Ω))ε }, P ∈ ∂Ω,
и
Nε u(x) = sup{|u(y, r)| : (y, r) ∈ Γ∗ε }
– соответствующий максимальный оператор.
При ε = 1 область Γ∗ε (P ) допускает некасательный подход к границе:
если a достаточно велико (больше липшицевой постоянной области Ω), то
Γ∗1 (P ) содержит конус фиксированных высоты и раствора, не зависящих от
P ∈ ∂Ω. Если же ε < 1, то область Γ∗ε (P ) допускает касательный подход к
границе, причем степень касания области Γ∗ε (P ) и ∂Ω тем выше, чем меньше ε.
1
Параметр a оказывает незначительное влияние на геометрию области Γ∗ε (P ) –
при увеличении a область Γ∗ε (P ) расширяется, но степень ее касания границы
при этом не меняется.
Рассмотрим, cледуя [9], P D(m, p)-задачу Дирихле: найти m-гармоническую
функцию u в области Ω, для которой некасательные пределы производных в
направлении внешней нормали порядка l = 0, ..., m − 1 µ-почти всюду совпадают
с заданными функциями из класса Соболева Wlp (∂Ω) и N1 (∇m−1 u) ∈ Lpµ (∂Ω) .
Теорема. Пусть p > 0, m ∈ N, m ≥ 2, 0 ≤ σ < m − 1 < (n − 1)/p, (n − mp + p −
1)/(n − σp − 1) ≤ ε < 1 и ν – внешняя мера на ∂Ω, удовлетворяющая условию
µ(B(x, t)) ≤ ctβ ,
где c не зависит от x ∈ X и t > 0,
β=
n − (m − σε − 1)p − 1
.
ε
Тогда, если u – решение полигармонической задачи Дирихле P D(m, p), то
m−2
X
l
∇ u(0) + kN1 (∇m−1 u)kLpµ (∂Ω)
kNε (Wσ u)kLpν (∂Ω) ≤ c
!
l=0
(c не зависит от u), и для ν-почти всех P ∈ ∂Ω выполнено равенство
Γ∗ε − lim Wσ u(x, P ) = 0,
x→P
где

Wσ u(x, P ) = u(x) −
X (x − P )k
k!
|k|<[σ]

Dk u(P ) |x − P |−σ .
Здесь и всюду ниже в работе через c мы обозначаем различные положительные
постоянные, зависящие, возможно, от некоторых параметров (существенная
зависимость отражается соответствующими индексами).
Отметим, что мера ν может быть сингулярной относительно µ и, в
частности, возможно сосредоточена на подмногообразиях границы ∂Ω меньшей
хаусдорфовой размерности, а также не обязана быть аддитивной, поэтому в
качестве ν могут быть взяты, например, различные емкости.
Параметр β (показатель плотности внешней меры ν) указывает точную
связь между основными параметрами: размерностью n, порядком уравнения m,
качеством граничных данных p, геометрией областей сходимости ε и порядком
скорости сходимости σ.
Мы покажем также, что эти утверждения являются неулучшаемыми в том
смысле, что даже в случае, когда Ω – единичный шар в Rn , условие на
внешнюю меру ν является в некотором смысле необходимым. Кроме того,
области Γ∗ε , участвующие в формулировках, выбраны оптимально и не допускают
расширения.
2
Основой для получения результатов такого рода являются двухвесовые
неравенства для специальных максимальных функций на пространствах с мерой
и квазиметрикой. При этом мы опираемся на методы нашей работы [4], которые
изложены в п. 2, где изучается граничное поведение операторов типа дробного
интегрирования на абстрактных пространствах.
В п. 3 рассмотрены приложения к граничному поведению дифференцируемых
функций и, в частности, решений краевых задач в негладких областях nмерного евклидова пространства. п. 4 посвящен приложениям результатов п.
2 к пространствам Харди в многомерном комплексном шаре.
Результаты работы в том или ином объеме докладывались на конференциях
"Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ",
посвященной 90-летию академика С.М.Никольского (Москва, 27 апреля – 3 мая
1995 г.), на Саратовской зимней школе "Теория функций и приближений"(Саратов, 27 января–2 февраля 1996 г.), "Краевые задачи, специальные функции и
дробное исчисление", посвященной 90-летию академика Ф.Д.Гахова (Минск,
16–20 февраля 1996 г.), и "Гармонический анализ и приближения"(Нор-Амберд,
18–25 сентября 1998 г.) и частично анонсированы [10].
2. Весовые оценки касательных максимальных функций
Пусть X – компактное хаусдорфово пространство, топология которого
задается квазиметрикой d. Это означает, что функция d : X × X → [0, ∞)
удовлетворяет условиям
d(x, y) = 0 ⇔ x = y, d(x, y) = d(y, x), d(x, y) ≤ ad [d(x, z) + d(z, y)]
для любых x, y, z ∈ X (постоянная ad ≥ 1 не зависит от выбора элементов x, y, z
в X) и семейство открытых шаров
B(x, t) = {y ∈ X : d(x, y) < t}
образует базу окрестностей топологии X.
Лемма 1. Существует постоянная ρ = ρd ≥ 1 такая, что для любого
множества E ⊂ X из любого покрытия {B} этого множества шарами можно
выделить не более чем счетное подсемейство {Bj } ⊂ {B} со свойствами
Bi
\
Bj = ∅ (i 6= j), E ⊂
[
ρBj .
j
Здесь ρB – шар с тем же центром, что и B, радиуса в ρ раз больше.
Доказательство леммы имеется в [11].
Неотрицательная функция ν, определенная на борелевских множествах из X
называется внешней мерой, если она монотонна и субаддитивна, то есть
G1 ⊂ G2


[
X
⇒ ν(G1 ) ≤ ν(G2 ), ν  Gj  ≤
ν(Gj ).
j
3
j
Если f – борелевская функция и ν – внешняя мера на X, то положим
kf k
∞
Z
Lpν (X)
= p
λ
p−1
1/p
ν{|f | > λ} dλ
0
Конечно, если ν – мера, то
kf kLpν (X) =
Z
|f |p dν
1/p
.
X
В дальнейшем термин "мера на X"означает "неотрицательная борелевская
мера на X".
Будем говорить, что внешняя мера µ на X удовлетворяет условию Фростмана
Fβ (d) = Fβ порядка β > 0 (и писать µ ∈ Fβ ), если
µ(B(x, t)) ≤ ctβ , x ∈ X, t > 0
(c не зависит от x и t).
Если внешняя мера µ на X такова, что
µ(B(x, 2t)) ≤ cµ µ(B(x, t))
(cµ не зависит от x ∈ X и t > 0), то говорят, что µ удовлетворяет условию
удвоения D∞ (d) = D∞ . Мы пишем тогда µ ∈ D∞ . В этом случае существует
такая постоянная γ > 0, что
µ(B(x, s)) ≤ c
γ
s
t
µ(B(x, t)), x ∈ X, 0 < t < s
(c не зависит от x, s и t). Это условие мы называем условием удвоения Dγ (d) =
Dγ порядка γ и пишем µ ∈ Dγ . Таким образом, D∞ = ∪γ>0 Dγ . Если µ ∈ D∞ ,
то тройка (X, d, µ) называется обычно пространством однородного типа [11].
Ограничение µ ∈ D∞ понадобится нам не всегда. Основное условие, которое мы
будем использовать в этом параграфе – Fβ,γ -условие на пару внешних мер ν и µ
на X.
Пусть ν и µ – две внешние меры на X и β > 0, γ > 0. Будем говорить, что
пара (ν, µ) удовлетворяет условию Fβ,γ (d) = Fβ,γ (и писать (ν, µ) ∈ Fβ,γ ), если
ν(B(x, s)) ≤ csβ t−γ µ(B(x, t)), x ∈ X, 0 < t < s ≤ diam Ω
(c не зависит от x, s и t).
Рассмотрим произведение X × [0, 1) и будем трактовать X как границу
(отождествляя X × {1} и X). Пусть 0 < ε ≤ 1 и a > 0. Для каждой точки
x ∈ X выделим область подхода к границе
Γε (x) ≡ Γa,ε (x) = {(y, r) ∈ X × [0, 1) : d(x, y) < a(1 − r)ε }
и введем соответствующий максимальный оператор
Nε u(x) ≡ Na,ε u(x) = sup{|u(y, r)| : (y, r) ∈ Γa,ε }.
4
(2.1)
Как правило, мы будем считать для простоты, что a = 1, и в таком случае первый
индекс в обозначенях для Γa,ε и Na,ε будем опускать.
Отметим, что если µ ∈ D∞ , то при 0 < a < b выполняется неравенство
kNb,ε ukLpµ (X) ≤ ckNa,ε ukLpµ (X) ,
где c не зависит от u ∈ C(X × [0, 1)). Это следует из леммы 1.
Пусть K ∈ L1 [0, 1] и
Ku(x, r) =
Z
1
K(s)u(x, rs) ds, x ∈ X, 0 ≤ r < 1.
0
Мы раcсматриваем только непрерывные функции на X × [0, 1), так что интеграл
всегда будет иметь смысл.
Основное условие на ядро K, которое мы будем рассматривать – это
δ
Z
|K(1 − s)| ds ≤ cδ α , 0 < δ ≤ 1
(2.2)
0
с некоторыми постоянными c > 0 и α > 0, не зависящими от δ. Будем
ссылаться на (2.2) как на Sα -условие (и писать K ∈ Sα ). Легко видеть, что
оно эквивалентно следующему условию
2δ
Z
|K(1 − s)| ds ≤ cδ α , 0 < δ ≤ 1
δ
(с некоторой другой постоянной c). В частности, (2.2) выполнено, если
|K(s)| ≤ c(1 − s)α−1 , 0 ≤ s < 1.
Введем еще оператор
Jα u(x, r) = (1 − r)α u(x, r).
(2.3)
В этом параграфе мы будем изучать условия, при которых неравенство
kNε (Ku)kLqν (X) ≤ ckN1 ukLpµ (X)
справедливо для всех функций u ∈ C(X × [0, 1)) с постоянной c, не зависящей
от u. Для этого приведем некоторые вспомогательные утверждения.
Пусть A ≥ 1, 0 < ε < 1,
ΩA
ε (x)
= (y, r) ∈ X × [1 − A
−ε/(1−ε)
1−r
, 1), d(x, y) <
A
ε .
Определим максимальные функции (см. (2.3))
A
Nα,ε
u(x) = sup{|Jα u(y, r)| : (y, r) ∈ ΩA
ε (x)}.
Подобные конструкции впервые рассматривались в [2]. Впоследствии различные
варианты таких функций изучались в [3] – [7]. Здесь мы используем для
A
изучения Nα,ε
методы нашей работы [4].
5
Лемма 2. Пусть α > 0, p > 0, ν – внешняя мера и µ – мера на X, (ν, µ) ∈ Fβ,γ
при некоторых γ > αp и β > γ − αp. Тогда при A ≥ 1 выполнено неравенство
A
kNα,ε
(u)kLpν (X) ≤ cA−εβ/p kN1 ukLpµ (X) ,
где c не зависит от A и u ∈ C (X × [0, 1)), а εβ = γ − αp.
В случае ν = µ при условии µ ∈ Dγ это утверждение доказано в п. 2.9
нашей работы [4]. Доказательство леммы 2 в точности такое же, лишь в момент
применения условия Dγ надо применить условие Fβ,γ . Это же относится и к
следующей лемме.
Лемма 3. Пусть α > 0, p > 0, ν – внешняя мера и µ – мера на X, (ν, µ) ∈ Fβ,γ
при некоторых γ > αp и β = γ − αp. Тогда
kN1 (Jα u)kLpν (X) ≤ ckN1 ukLpµ (X)
где c не зависит от u ∈ C (X × [0, 1)).
Теорема 1. Пусть α > 0, p > 0, 0 < ε < 1, ν – внешняя мера, µ – мера на
X, (ν, µ) ∈ Fβ,γ при некоторых γ > αp, β = (γ − αp)/ε и пусть K ∈ Sα . Тогда
выполнено неравенство
kNε (Ku)kLpν (X) ≤ ckN1 ukLpµ (X)
для любой функции u ∈ C(X × [0, 1)), где c не зависит от u.
Доказательство. Пусть x ∈ X и точка (y, r) такова, что d(x, y) < (1 − r)ε .
Найдем натуральное k0 так, чтобы 2k0 δr < δrε ≤ 2k0 +1 δr . Здесь
δr = 1 − r
(2.4)
Это обозначение будет систематически использоваться в дальнейшем.
Тогда
Z
1
≤
1
Z
+
Z
r
K(s)u(y, rs) ds
0
r
1−δrε
+
1−δrε
Z
!
|K(s)u(y, rs)| ds ≡
0
≡ I1 + I2 + I3
Сначала оценим I1 :
I1 ≤
Z
1
r
−α
|Jα u(y, sr)| ds
|K(s)| δsr
1
≤ Nα,ε
u(x)δr−α
Z
1
r
1
|K(s)| ds ≤ cNα,ε
u(x).
Далее,
I2 =
k0 X
k=0
2k δr
−α Z
1−2k δr
1−2k+1 δr
|K(s)|
6
2k δr
α
|u(y, rs)| ds
≤c
k0
X
2k
u(x)
Nα,ε
k
2 δr
1
−α Z
1−2k+1 δ
k=0
|K(s)| ds ≤ c
r
k0
X
k
2
u(x).
Nα,ε
k=0
Наконец, для оценки I3 возьмем 0 < ε < ε1 и найдем 0 < α1 < α так, чтобы
(γ − α1 p)ε = (γ − αp)ε1 . Тогда
1−δsε
Z
|I3 | ≤
|K(s)| (1 − s)−α1 δsα1 |u(y, rs)| ds
0
≤ cNα11 ,1 u(x) ≤ cNα11 ,ε1 u(x),
так как
1
Z
0
|K(s)| δs−α1 ds < ∞
(последнее следует из (2.2)).
Таким образом, мы доказали неравенство
∞
X
Nε (Ku)(x) ≤ c
2k
Nα,ε
u(x)
!
+
Nα11 ,ε1 u(x)
.
k=0
Теперь для оценки первого слагаемого справа надо использовать лемму 2
∞
Z
λ
p−1
∞
X
ν
0
≤
∞
X
2
εβk
2
Z
∞
0
k=0
≤c
≤c
∞
X
k=0
∞
X
2
2k
Nα,ε
u
!
> λ dλ
k=0
εβ
k
2
λp−1 ν Nα,ε
u > (1 − 2− 2 )2−
2
εβk
2
Z
∞
0
εβk
2
−εβk
2
λ dλ
2
λp−1 ν Nα,ε
u > λ dλ
Z
∞
0
k=0
k
εβk
2
λp−1 µ (N1 u > λ) dλ
Нужное неравенство для второго слагаемого
Z
0
∞
λp−1 ν Nα11 ,ε1 u > λ dλ ≤ ckN1 ukLp (µ)
получается также прямым применением леммы 2, но с α1 и ε1 вместо α и ε
соответственно. Теорема доказана.
Лемма 4. Пусть p > 0, 0 < ε < 1, 0 < σ ≤ α, ν – внешняя мера, µ – мера на
X, (ν, µ) ∈ Fβ,γ при некотором γ > (α − σε)p и βε = γ − (α − σε)p. Пусть еще
ядро K ∈ Sα . Тогда выполнено неравенство
kNε (Kσ u)kLpν (X) ≤ ckN1 ukLpµ (X)
для любой функции u ∈ C(X × [0, 1)) (c не зависит от u), где
Kσ u(y, r) = d−σ (x, y)
Z
1
1−d(x,y)
7
K(s)u(y, sr) ds.
Доказательство. Пусть x ∈ X и d(x, y) < δrε (см. (2.4)). Если d(x, y) ≤ δr , то
−σ
d
(x, y)
Z
1
|K(s)u(y, sr)| ds
1−d(x,y)
−σ
≤d
1
(x, y)Nα−σ,1
u(x)
Z
1
1−d(x,y)
σ−α
1
|K(s)| δsr
) ds ≤ cNα−σ,1
u(x).
(2.5)
Пусть теперь d(x, y) > δr , тогда найдется натуральное такое j, что δr <
2−εj/(1−ε) и
(2−j−1 δr )ε < d(x, y) ≤ (2−j δr )ε .
Выберем еще натуральное n0 так, чтобы
2n0 δr < d(x, y) ≤ 2n0 +1 δr .
Отметим, что тогда при n = 0, ..., n0 будет выполняться неравенство
1 − ρn
1 − ρn <
2n+j
ε
, ρn = 1 − 2n δr .
Поэтому,
d−σ (x, y)
σεj
≤ c2
−σε
(1 − r)
Z
1
|K(s)u(y, sr)| ds
1−d(x,y)
"Z
n0
1
X
+
r
≤c
n0
X
∗
n=0
Z
ρn
#
|K(s)u(y, sr)| ds
ρn+1
n+j
2
2(n+j)αε Nα−σε,ε
u(x)
n=0
A
(* у знака суммы означает, что последний
в силу условия Sα и определения Nα,ε
интеграл в сумме берется по отрезку [1 − d(x, y), ρn0 ]). Таким образом, учитывая
еще (2.5), получаем
sup
d−σ (x, y)
d(x,y)<(1−r)ε


1
≤ c Nα−σ,1
u(x) +
Z
1
|K(s)u(y, sr)| ds
1−d(x,y)
∞ X
∞
X
j=0 n=0
2n+j


2(n+j)εσ Nα−σε,ε u(x) .
(2.6)
Так как (ν, µ) ∈ Fβ,γ (X) и ε < 1, то (ν, µ) ∈ Fεβ,γ (X), а по лемме 3,
1
kNα−σ,1
ukLpν (X) ≤ ckN11 ukLpµ (X) .
Далее по лемме 2 из условия (ν, µ) ∈ Fβ,γ (X) с βε = γ − (α − σε)p вытекает, что
n+j
2
kNα−σε,ε
ukLpν (X) ≤ c2−(n+j)εβ/p kN11 ukLpµ (X) .
Осталось подставить эту оценку в (2.6) и заметить, что εβ/p − σε = γ/p − α > 0.
8
3. Граничное поведение решений эллиптических краевых задач
В этом параграфе мы будем использовать результаты п. 2 для изучения
поведения дифференцируемых функций вблизи границы липшицевой области
в n-мерном евклидовом пространстве Rn , n ≥ 2. Эти результаты будут затем
применены к решениям некоторых краевых задач для уравнений в частных
производных эллиптического типа.
Пусть
Ω = {rθ : θ ∈ S n−1 , 0 ≤ r < g(θ)}
– ограниченная липшицева область в Rn , n ≥ 2, звездная относительно начала
координат (последнее не ограничивает общности и принимается для удобства).
Здесь g : S n−1 → R+ – положительная липшицева функция на единичной сфере
S n−1 ⊂ Rn , т.е.
(
)
|g(θ) − g(θ1 )|
L = sup
: θ, θ1 ∈ S n−1 < ∞.
|θ − θ1 |
Пусть еще
M = sup{g(θ) : θ ∈ S n−1 }, m = inf{g(θ) : θ ∈ S n−1 },
Результаты п. 2 будут применяться при следующем выборе основных параметров:
X = ∂Ω – граница области Ω, d(P, Q) = |P − Q| – евклидова метрика, µ – мера
Лебега на ∂Ω. При этом
µ(B(P, t)) tn−1 , P ∈ ∂Ω, 0 < t ≤ 2 diam Ω
с постоянными эквивалентности, не зависящими от P и t. Здесь B(P, t) –
поверхностные шары на ∂Ω, порожденные евклидовой метрикой. При выбранных
X, d и µ мы будем использовать основные обозначения п. 2, отождествляя при
этом ∂Ω × [0, 1) и Ω с помощью отображения (P, r) → rP , где P ∈ ∂Ω, r ∈ [0, 1).
При этом под некасательным пределом в точке P ∈ ∂Ω будем понимать предел
вдоль области Γ1 (P ). Термин "почти всюду"без указания меры относится к мере
µ.
Вместо областей Γε (P ) можно было бы рассматривать области
Γ∗ε (P ) = {x ∈ Ω : |x − P | < a (dist (x, ∂Ω))ε }, P ∈ ∂Ω,
которые мы использовали для формулировок во введении. Эти области
формально не укладываются в схему, изложенную выше, но в существенном
совпадают с областями Γε (P ). Это показывает следующая лемма.
Лемма 5. Существует постоянная c > 0 такая, что
1
(1 − r) ≤ dist (x, ∂Ω)) ≤ c(1 − r), x ∈ Ω.
c
Доказательство. Пусть x = rg(θ)θ, d = x∂Ω, Q = g(θ)θ, Q0 = g(θ0 )θ0 –
ближайшая к x точка ∂Ω, y = rg(θ0 )θ0 , причем можно считать, что r ≥ 1/2.
Тогда
(1 − r)g(θ) = |x − Q| ≤ |x − Q0 | + |Q − Q0 | = d + |Q − Q0 |
9
d + |g(θ)θ − g(θ0 )θ| + |g(θ0 )θ − g(θ0 )θ0 | ≤ d + (L + M ) |θ − θ0 |
L+M
L+M
|x − Q0 | ≤ 2
+ 1 d,
≤d+
rg(θ)
m
откуда
1
L+M
+ 1 d.
2
m
m
Здесь было использовано то, что rg(θ)θ0 ∈ Ω, а также то, что g(θ0 ) ≤ g(θ).
Обратное неравенство очевидно
1−r ≤
d = |x − Q0 | ≤ |x − Q| = |rg(θ)θ − g(θ)θ| ≤ M (1 − r).
Далее мы будем использовать стандартные векторные обозначения
|k| =
n
X
kj , k! =
n
Y
kj !, xk =
k
xj j ,
n
Y
Dk =
∂
∂xj
j=1
j=1
j=1
j=1
n
Y
!kj
(3.1)
для мультииндекса k = (k1 , ..., kn ) и вектора x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . Кроме того,
пусть ∇l u означает вектор всех частных производных Dk u, |k| ≤ l, функции
u ∈ C l (Ω).
Пусть функция u ∈ C 1 (Ω) и
Ru =
n
X
xj Dj u(x)
j=1
– радиальная производная. Нам понадобятся следующие легко проверяемые
тождества (см. [12] в комплексном случае)
1
d
u(sx) = Ru(sx),
ds
s
RDk u(x) = Dk Ru(x) − |k| Dk u(x).
Обозначим через
Tl (x, y; u) = u(x) −
X (x − y)k
|k|<l
k!
Dk u(y)
тейлоровские остатки функции u ∈ C l (Ω). С помощью этих тождеств и
интегрирования по частям нетрудно вывести [13] равенства
Z 1
1
1
1
u(x) =
ln
(l − 1)! ρ s
s
l−1
l−1
X
1
1
R u(sx)ds +
ln
ρ
j=0 j!
l
Z 1
1
1
1
ln
(l − 1)! ρ s
s
Tl (x, y; u) =
l−1
X
1
1
+
ln
ρ
j=0 j!
l−1
!j
Rj u(ρx),
(3.2)
Rl u(sx)ds
!j
Tl−j (ρx, ρy; Rj u)
10
(3.3)
+
l−1
X
1Z
j=0
j!
ρ
1
1
1
ln
s
s
j
(sx − sy)k k j+1
D R u(sy)ds,
k!
|k|=l−j−1
X
где 0 < ρ < 1.
Пусть p > 0 и m ∈ N. Введем классы
(
p
Hm
(Ω)
m
p =
= u ∈ C (Ω) : kukHm
m
X
)
l
kN1 (∇ u)kLpµ (∂Ω) < ∞ .
l=0
Отметим (см. [4]), что
kN1 ukLpµ (∂Ω) ≤ c |u(0)| + kN1 (∇u)kLpµ (∂Ω)
(c не зависит от u), поэтому
p
kukHm
(Ω) m−1
X
l
∇ u(0) + kN1 (∇m u)kLpµ (∂Ω) .
l=0
Из тождества (3.2) и из результатов пп. 3.8 и 3.11 работы [5] следует, что для
p
каждой функции u ∈ Hm
(Ω) все частные производные Dk u порядка |k| < m почти
всюду на ∂Ω имеют некасательные пределы, которые мы обозначаем Dk u(P ).
p
(Ω) и почти всех P ∈ ∂Ω
Поэтому если l < m, то для каждой функции u ∈ Hm
имеет смысл выражение Tl (x, P ; u).
Введем обозначение
T[σ] (x, P ; u)
Wσ u(x, P ) =
.
(3.4)
|x − P |σ
Из сказанного вытекает, что при σ < m выражение (3.4) корректно определено
p
для u ∈ Hm
(Ω) и x ∈ Ω при почти всех P ∈ ∂Ω.
◦
p
p
(Ω), состоящий из функций, у
(Ω) – подкласс в Hm
Пусть еще Hm
которых частные производные порядка k, |k| = m, почти всюду на ∂Ω имеют
◦
p
p
некасательный предел. Hm
(Ω) является замкнутым подпространством в Hm
(Ω),
состоящим из функций, для которых
p
lim ku − ur kHm
(Ω) = 0,
r→1
где ur (x) = u(rx) (см. лемму 2.5 в нашей работе [5]).
Теорема 2. Пусть m ∈ N, 0 < p < (n − 1)/m, (n − mp − 1)/(n − 1) ≤ ε < 1 и ν
– внешняя мера на ∂Ω, удовлетворяющая Fβ -условию, εβ = n − mp − 1. Тогда
p
для любой функции u ∈ Hm
(Ω) выполнено неравенство
p
kNε ukLpν (∂Ω) ≤ ckukHm
(Ω)
(c не зависит от u).
◦
p
Если дополнительно u ∈Hm
(Ω), то для ν-почти всех P ∈ ∂Ω существует
Γε − limx→P u(x).
11
Доказательство. Воспользуемся тождеством (3.2) с ρ = 1/2. Нужная оценка
для первого слагаемого справа вытекает из теоремы 1. Второе слагаемое справа
оценивается так
n
o
j
R u(x/2)) ≤ inf Na,1 (Rj u)(P ) : P ∈ ∂Ω ,
где a = 4diam (Ω). Отсюда вытекает нужное неравенство и для второго
слагаемого.
Теорема 2 может рассматриваться как предельный частный случай σ = 0
следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть p > 0, m ∈ N, 0 < σ < m < (n − 1)/p, (n − mp − 1)/(n −
σp − 1) ≤ ε < 1 и ν – внешняя мера на ∂Ω, удовлетворяющая Fβ -условию с
p
β = (n − (m − σε)p − 1)/ε. Тогда для любой функции u ∈ Hm
(Ω) выполнено
неравенство
p
kNε (Wσ u)kLpν (∂Ω) ≤ ckukHm
(Ω)
(c не зависит от u).
◦
p
Если дополнительно u ∈Hm
(Ω), то для ν-почти всех P ∈ ∂Ω
Γε − lim
x→P
T[σ] (x, P ; u)
= 0.
|x − P |σ
Доказательство. Пусть α = [σ] + 1 > σ. Мы будем сейчас использовать лемму
4 с квазиметрикой d1 (P, Q) = |P − Q|1/δ , где
(m − α)p
.
(3.5)
n−1
Временно примем обозначение Nε,d для операторов Nε , тогда Nε,d = Nεδ,d1 .
Пусть P ∈ ∂Ω и Q ∈ ∂Ω, причем |P − Q| < (1 − r)ε . Запишем тождество (3.3)
с x = rQ, y = P и ρ = 1 − d1 (P, Q), поделив обе части на |x − P |σ , обозначая
первое слагаемое справа в полученном равенстве через W 0 (x), а сумму остальных
– через W 00 (x). Тогда (см. (3.4))
δ =1−
Wσ (x, P ) ≤ |W 0 (x)| + |W 00 (x)| .
Воспользуемся теперь леммой 4 для оценки W 0 :
kNε,d W 0 kLpν (∂Ω) = kNεδ,d1 W 0 kLpν (∂Ω) ≤ ckN1,d1 (Rα u)kLpµ (∂Ω) = kNδ,d (Rα u)kLpµ (∂Ω) .
Основное условие на внешнюю меру для применения леммы 4 –
ν(Bd1 (P, t)) ≤ ctβ1 , β1 =
(n − 1)δ − (α − σε)
ε/δ
(Bd1 (P, t) – шары на ∂Ω, порожденные квазиметрикой d1 ) или (переходя к
обычным евклидовым шарам на ∂Ω)
ν(B(P, t)) ≤ ct((n−1)δ−(α−σε)p)/ε .
12
В силу выбора δ (см. (3.5))
(n − 1)δ − (α − σε)p
n − (m − σε)p − 1
=
ε
ε
и нужное условие выполнено.
Слагаемое W 00 оценивается просто с помощью формулы Тейлора с остатком
Лагранжа как
X
|W 00 (x)| ≤ c
N1,d1 (Jα−σ (Dk u))(P )
|k|≤α
Поэтому по лемме 3
kNε,d (W 00 )kLpν (∂Ω) = kNεδ,d1 (W 00 )kLpν (∂Ω) ≤
≤c
X
kN1,d1 (Dk u)kLpµ (∂Ω) = c
|k|≤α
X
kNδ,d (Dk u)kLpµ (∂Ω)
|k|≤α
(нужное условие на внешнюю меру ν сейчас опять выполнено).
Итак, мы доказали, что
kNε (Wσ u)kLpν (∂Ω) ≤ c
X
kNδ,d (Dk u)kLpµ (∂Ω) .
|k|≤α
Для завершения доказательства осталось воспользоваться теоремой 2 (с
метрикой d) при ν = µ и ε = δ.
Рассмотрим граничное поведение решений некоторых краевых задач для
полигармонического уравнения ∆m u = 0, m ≥ 1. Пусть n = n(P ) – единичная
внешняя нормаль к ∂Ω в точке P ∈ ∂Ω (она существует для µ-почти всех P .)
Следуя [9], рассмотрим следующие краевые задачи
1) P D(m, p) (Lp -полигармоническая задача Дирихле): найти m-гармоническую
функцию u в области Ω, для которой N1 (∇m−1 u) ∈ Lpµ (∂Ω) некасательные
пределы и Γ1 − limx→P ∂ l u/∂nl (x) при l = 0, ..., m − 1 µ-почти всюду совпадают с
заданными функциями из класса Соболева Wlp (∂Ω).
2) RD(m, p) (Lp -полигармоническая регулярная задача Дирихле): найти mгармоническую функцию u в области Ω, для которой N1 (∇m u) ∈ Lpµ (∂Ω) и
некасательные пределы Γ1 − limx→P ∂ l u/∂nl (x) при l = 0, ..., m − 1 µ-почти всюду
совпадают с заданными функциями из класса Соболева Wlp (∂Ω).
Определение классов Соболева на негладкой поверхности довольно громоздко,
и мы его не приводим, отсылая к [9]. Здесь оно в явном виде не понадобится.
Отметим, что все частные производные решения краевой задачи P D(m, p)
порядка |l| < m σ-почти всюду на ∂Ω имеют некасательные пределы [9],
◦
p
следовательно, решение этой краевой задачи принадлежит классу Hm−1
(Ω).
◦
p
Точно так же решение задачи RD(m, p) принадлежит Hm
(Ω). Поэтому к ним
применимы теоремы 2 и 3 и мы приходим к следующим утверждениям.
Теорема 4. Пусть p > 0, m ∈ N, m ≥ 2, 0 ≤ σ < m−1 < (n−1)/p, (n−mp+p−
1)/(n−σp−1) ≤ ε < 1 и ν – внешняя мера на ∂Ω, удовлетворяющая Fβ -условию
13
с β = (n − (m − σε − 1)p − 1)/ε. Тогда если u – решение полигармонической
задачи Дирихле P D(m, p), то
m−2
X
l
∇ u(0) + kN1 (∇m−1 u)kLpµ (∂Ω)
kNε (Wσ u)kLpν (∂Ω) ≤ c
!
l=0
(c не зависит от u) и для ν-почти всех P ∈ ∂Ω
Γε − lim
x→P
T[σ] (x, P ; u)
= 0.
|x − P |σ
Теорема 5. Пусть p > 0, m ∈ N, 0 ≤ σ < m < (n − 1)/p, (n − mp − 1)/(n −
σp − 1) ≤ ε < 1 и ν – внешняя мера на ∂Ω, удовлетворяющая Fβ -условию с
β = (n−(m−σε)p−1)/ε. Тогда если u – решение полигармонической регулярной
задачи Дирихле P D(m, p), то
kNε (Wσ u)kLpν (∂Ω) ≤ c
m−1
X
l
∇ u(0) + kN1 (∇m u)kLpµ (∂Ω)
!
l=0
(c не зависит от u) и для ν-почти всех P ∈ ∂Ω
Γε − lim
x→P
T[σ] (x, P ; u)
= 0.
|x − P |σ
Некоторые частные случаи теорем 4 и 5 были доказаны в наших работах [4],
[10] и в [7]. В [7] была рассмотрена регулярная задача Дирихле для уравнения
Лапласа (m = 1) при σ = 0, причем существенно использовались специальные
свойства решений и дополнительные ограничения на область Ω. Теорема 2
применима и к решениям краевых задач для более общих эллиптических
уравнений (см.например [14]).
Рассмотрим вопрос о точности результатов этого параграфа. Мы покажем
сейчас, что даже в случае, когда Ω – единичный шар в Rn , основное условие
теорем 2-5 (Fβ -условие на внешнюю меру ν) является необходимым для
справедливости этих утверждений, по крайней мере в некоторых типичных
частных случаях. Кроме того, будет показано, что области Γε выбраны
оптимальным образом и не могут быть существенно расширены.
Пусть n ≥ 3, p > 1, Ω = B n – единичный шар в Rn , f ∈ Lpµ (S n−1 ) и
Sf (x) =
Z
S n−1
f (θ) |x − θ|2−n dµ(θ)
– ньютонов потенциал. Отметим для дальнейшего, что ∇(Sf ) почти всюду на
S n−1 имеет некасательный предел и
kN1 (∇(Sf ))kLpµ (S n−1 ) ≤ ckf kLpµ (S n−1 ) .
14
поэтому Sf является решением некоторой гармонической регулярной задачи
RD(1, p) в B n , а также решением некоторой бигармонической задачи Дирихле
P D(2, p) в B n .
Пусть χδ – характеристическая функция шара B(θ0 , δ) ⊂ S n−1 , где 0 < δ < 1
и θ0 ∈ S n−1 фиксированы.
Если x0 = (1 − δ)θ0 ∈ B n , то при θ ∈ B(θ0 , δ)
|x0 − θ| ≤ |θ − θ0 | + δ ≤ 2δ
и
2−n
Sχδ (x0 ) ≥ (2δ)
Z
B(θ0 ,δ)
χδ (θ) dµ(θ) ≥ c0 δ,
(3.6)
где c0 – некоторая положительная постоянная.
Если число A > 1 выбрать достаточно большим, то при Aδ ≤ |θ − θ0 | ≤ δ ε
выполнено неравенство u(θ) ≤ c0 δ/2 и
Wσ (Sχδ )(x0 , θ) =
|u(x0 ) − u(θ)|
> cδ 1−εσ
|x0 − θ|σ
для таких θ, следовательно,
{Nε (Sχδ ) > c0 δ} ⊃ B(θ0 , δ ε ),
{Nε (Wσ (Sχδ )) > cδ 1−εσ } ⊃ B(θ0 , δ ε ) − B(θ0 , Aδ).
Отсюда и из неравенства kχδ kLpµ (S n−1 ) ≤ cδ (n−1)/p вытекает следующее
утверждение: если ν – внешняя мера на ∂B n = S n−1 , для которой выполнено
неравенство
p
1
ν ({Nε (Wσ u) > λ}) ≤ c
|u(0)| + kN1 (∇ukLpµ (S n−1 )
λ
для любого λ > 0 и любого решения u бигармонической задачи Дирихле
P D(2, p) (с постоянной c, не зависящей от u и λ), то 1) если σ = 0, то
ν ∈ Fβ при β = (n − (1 − σε)p − 1)/ε; 2) если σ > 0, то из ν ∈ Fεβ следует ν ∈ Fβ
с тем же β.
Таким образом, условие на внешнюю меру в теоремах этого параграфа нельзя
ослабить и оно является необходимым даже для неравенств слабого типа c Nε u
и Nε (Wσ u) по крайней мере для m = 2 в теореме 4 и для m = 1 в теореме 5.
Покажем, далее, что при σ = 0 области Γε в утверждениях теорем 4 и 5,
относящихcя к сходимости почти всюду, не допускают расширения.
Пусть функция Φ : (0, 1] → R+ такова, что
lim Φ(t) = +∞.
(3.7)
ΓΦ,ε (θ) = {rη : |θ − η| < Φ(1 − r)(1 − r)ε , 0 ≤ r < 1, η ∈ S n−1 }
(3.8)
t→+0
Рассмотрим области
15
и соответствующие максимальные операторы
NΦ,ε u(θ) = sup{|u(rη)| : η ∈ ΓΦ,ε (θ)}
Пусть k = 2, ..., n − 1,
Skn−1 = {θ ∈ S n−1 : θk−1 = ... = θn = 0},
νk – мера Лебега на S k−1 , "пересаженная"на S n−1 при отождествлении S k−1
и Skn−1 . Тогда νk удовлетворяет Fβ -условию с β = k − 1 и если θ ∈ Skn−1 , то
ν(B(θ, t)) ≥ ctk−1 .
Из неравенств(3.6) следует, что NΦ,ε (Sχδ )(θ) ≥ cδ при θ ∈ B(θ0 , Φ(δ)δ ε ),
поэтому
ε k−1
νk ({NΦ,ε (Sχδ ) > cδ}) ≥ c (Φ(δ)δ )
= cΦ
k−1
kχδ kLpµ (S n−1 )
(δ)
δ
!p
Так как множитель Φk−1 (δ) может быть сделан сколь угодно большим, то
найдутся последовательности неотрицательных функций fj и чисел λj ↑ ∞ со
свойствами
∞
X
νk ({NΦ,ε (Sfj ) > λj }) = ∞,
j=1
∞
X
j=1
kfj kpLpµ (S n−1 ) < ∞.
Поэтому существует последовательность Tj вращений Rn , переводящих Skn−1 в
себя, и таких, что
νk
lim {NΦ,ε (S(fj ◦ Tj )) > λj } = νk (Skn−1 ).
j→∞
Положим теперь

f =
∞
X
1/p
(fj ◦ Tj )p 
j=1
и рассмотрим гармоническую функцию
u(x) = Sf (x).
Так как f ∈ Lpµ (S n−1 ), то u является решением некоторой гармонической
регулярной задачи RD(1, p) в B n , а также решением некоторой бигармонической
задачи Дирихле P D(2, p) в B n .
С другой стороны при всех j и θ ∈ S n−1
NΦ,ε (u)(θ) ≥ NΦ,ε (S(fj ◦ Tj ))(θ)
и для νk -почти всех θ ∈ S n−1 неравенство NΦ,ε (u)(θ) > λj выполнено для
бесконечно многих j. Следовательно, νk -почти всюду на S n−1 NΦ,ε (u)(θ) = +∞.
Таким образом, мы показали, что утверждения теорем 4 и 5 теряют силу, если
при σ = 0 области Γε в формулировках заменить любыми областями вида (3.8),
где Φ удовлетворяют условию (3.7).
16
4. Приложения к пространствам Харди H p (B n ).
В этом параграфе результаты п. 2 применяются в случае X = ∂B n – граница
единичного шара в Cn , n ≥ 1. Мы используем здесь неизотропную квазиметрику
d(ζ, η) = |1 − hζ, ηi| ,
где
hζ, ηi =
n
X
ζk η k
k=1
– комплексное скалярное произведение, ζ = (ζ1 , ..., ζn ), η = (η1 , ..., ηn ). Пусть еще
µ – нормированная поверхностная мера на ∂B n . Отметим (см. [12]), что
µ(B(ζ, t)) tn , ζ ∈ ∂B n , 0 < t ≤ 2,
(4.1)
с постоянными эквивалентности, не зависящими от ζи t. Здесь B(ζ, t) – шары,
порожденные неизотропной квазиметрикой. При выбранных X, d и µ мы будем
использовать основные обозначения п. 2, отождествляя при этом ∂B n × [0, 1) и
B n с помощью отображения (ζ, r) → rζ, где (ζ ∈ ∂B n , r ∈ [0, 1)).
Пусть H(B n ) – класс голоморфных функций в B n и 0 < p < ∞. Пространствo
Харди H p (B n ) определяtтся (см., например, [12]) как множество функций f ∈
H(B n ), для которых
kf kH p = sup kfr kLpµ (∂B n ) < ∞,
0<r<1
где fr (z) = f (rz).
Хорошо известно [12], что каждая функция f ∈ H p (B n ) µ-почти всюду на
∂B n имеет Γ1 -предел (определение Γ1 см. в (2.1)). Количественным выражением
этого факта является максимальное неравенство [12]
kN1 f kLpµ (∂B n ) ≤ ckf kH p ,
(4.2)
где c не зависит от f .
Функция f ∈ H(B n ) разлагается в ряд по однородным полиномам
f (z) =
∞
X
fm (z), fm (λz) = λm fm (z)
m=0
(сходимость равномерная на компактах в B n [12]). В терминах этих разложений
определим операторы дробного интегрирования порядка α > 0
Iα f (z) =
∞
X
m=0
(m + 1)
−α
1 Z1
1
fm (z) =
ln
Γ(α) 0
s
α−1
f (sz) ds.
Теорема 6. Пусть ν – внешняя мера на ∂B n , p > 0, 0 < α < n/p, 0 < ε < 1.
Тогда следующие условия эквивалентны
1) kNε (Iα f ) kLpν (∂B n ) ≤ ckf kH p при всех f ∈ H p (B n ) (c не зависит от f );
2) ν{ζ ∈ ∂B n : Nε (Iα f )(ζ) > λ} ≤ c (kf kH p /λ)p при всех f ∈ H p (B n ) и λ > 0 (c
не зависит от f и λ);
17
3) ν ∈ Fβ , где β = (n − αp)/ε.
Если выполнено 3), то Iα f ν-почти всюду имеет Γε -предел для любой
функции f ∈ H p (B n ).
Доказательство. Утверждение 3) → 1) сразу следует из теоремы 1,
неравенства (4.2) и соотношения (4.1). Утверждение 1) → 2) очевидно.
Утверждение 2) → 3) получается с помощью тестовой функции
gt (z) = (1 − ρhζ, zi)−A ,
где ρ = 1 − t, ζ- фиксированная точка, A > n/p. В самом деле,
kgt kH p tn/p−A
[12]. Кроме того, Iα gt (ρz) ≥ ctα−A , поэтому
Nε (Iα gt (η)) ≥ ctα−A η ∈ B(ζ, tε )
и
!p
kgt kH p
ν{Nε (Iα gt ) > ct
}≥c
tαp−n ν (B(ζ, tε )) .
tα−A
Таким образом, из 2) вытекает, что ν (B(ζ, tε )) ≤ ctn−αp .
Утверждение о сходимости ν-почти всюду получается из 2) стандартно.
Теорема 6 сохраняет силу и для других естественных операторов дробного
интегрирования, например, для дробных интегралов Коши-Сеге
α−A
Cα f (z) =
Z
∂B n
Z 1
f ∗ (η)
1
(1 − s)α−1 sn−α−1 f (sz) ds,
n−α dµ(η) =
B(α, n − α) 0
(1 − hz, ηi)
где 0 < α < n, f ∗ – граничная функция (или граничное распределение) для f (z)
(см.[4], [15], [6]), для дробных интегралов Римана-Лиувилля [4]
Rα f (z) =
∞
X
Γ(m + 1)
1 Z1
fm (z) =
(1 − s)α−1 f (sz) ds.
Γ(m
+
α
+
1)
Γ(α)
0
m=0
Часть 3) → 1) теоремы 6 при ν = µ была доказана в [4], а при p > 1 с Cα
вместо Iα – в [6](в [6] ν – мера).
Будем использовать ниже естественные комплексные аналоги обзначений из
(3.1)-(3.3) (получаемые заменой в них (x1 , ..., xn ) ∈ Rn на (z1 , ..., zn ) ∈ Cn ). При
p > 0, α > 0 введем классы Харди-Соболева Hαp (B n ) = Iα (H p (B n )) . Тогда если
f ∈ Hαp (B n ), то Dk f ∈ H p (B n ) при |k| ≤ [α].
Теорема 7. Пусть p > 0, 0 ≤ σ < α < n/p, (n − αp)/(n − σp) ≤ ε < 1 и ν –
внешняя мера на ∂B n , удовлетворяющая Fβ -условию с β = (n − (α − σε)p)/ε.
Тогда для любой функции f ∈ Hαp (B n )
kNε (Wσ f )kLpν (∂B n ) ≤ ckf kHαp (B n )
18
(c не зависит от f ) и для ν-почти всех ζ ∈ ∂B n
Γε − lim
z→ζ
T[σ] (z, ζ; f )
= 0.
|z − ζ|σ
Доказательство не отличается от доказательства теорем 2 (при σ = 0) и 3
(при σ > 0).
19
Список литературы
[1] Nagel A., Rudin W., Shapiro J. Tangential boundary behavior of function in
Dirichlet-type spaces // Ann. Math. 1982. V.116. N2. P.331–360.
[2] Nagel A, Stein E.M. On certain maximal functions and approach regions //
Adv in Math. 1984. V.54. N 1. P. 83–106.
[3] Ahern P., Nagel A. Strong Lp -estimates for maximal functions with respect to
singular measure with applications to exceptional sets // Duke Math. J. 1986.
V.53. N2. P.359–393.
[4] Кротов В.Г. Оценки для максимальных операторов, связанных с граничным
поведением, и их приложения // Труды МИАН им.В.А.Стеклова. 1989.
Т.190. С.117–138.
[5] Кротов В.Г. О граничном поведении функций из пространств типа Харди
// Известия АН СССР, сер.матем. 1990. Т.54. N 1. C. 957–974.
[6] Sueiro J. Tangential boundary limits and exceptional sets for harmonic function
in Dirichlet-type spaces // J. Math. Ann. 1990. V. 286, N 4. P. 661–678.
[7] Cifuentes P., Dorronsoro J., Sueiro J. Boundary tangential convergence in
spaces of homogeneous type // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. V. 332, N 1. P.
331–350.
[8] Cascante C, Ortega J.M. Tangential-exceptional sets for Hardy-Sobolev spaces
// Illinois J. Math. 1995. V.39. N1. P.68–85.
[9] Verhota G. The Dirichlet problem for the polyharmonic equation in Liphschiitz
domains // Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39. N3. P.671–702.
[10] Кротов В.Г. Весовые неравенства, связанные с граничным поведением
функций из многомерных классов Харди-Соболева и решений
эллиптических краевых задач // Краевые задачи, специальные функции и
дробное исчисление. Труды межд. конф. посв. 90-летию со дня рoждения
академика Ф.Д.Гахова (Беларусь, Минск, 16–20 февраля 1996 г.). Минск.
1996. С. 172–177.
[11] Coifman R.R., Weiss G. Extensions of Hardy spaces and their use in analysis
// Bull.Amer.Math.Soc. 1977, V. 83, N 4, P. 569–645.
[12] Рудин У. Теория функций в единичном шаре в Cn . М.: Мир, 1984.
[13] Кротов В.Г. О дифференциальных свойствах на границе функций,
голоморфных в единичном шаре в Cn // Матем. заметки. 1989. Т. 45. N 2,
С. 51–59.
[14] Pipher J., Verhota G.C. Dilatation inveriant estimates and the boundary
Gårding inequality for the higher order elliptic operators // Ann. Math. 1995.
V. 142, N 1. P. 1–36.
[15] Ahern P., Cohn W. Exceptional sets for Hardy-Sobolev function // Indiana
Univ. Math. J. 1989. V.38. N2. P.417–452.
20