Лекция 13. Измеримые функции и Канторова лестница 1

Лекция 13. Измеримые функции и Канторова лестница
1. Принцип непрерывности.
Теорема 1 Пусть Xn – последовательность вложенных измеримых подмножеств
отрезка [0, 1], X = ∩Xn . Тогда
µX = lim µ(Xn ).
n→∞
2. Пример неизмеримого множества (см. конспект прошлой лекции).
3. Мера Лебега на прямой.
С помощью параллельного переноса определена мера на отрезке [n, n + 1] для любого n ∈ Z.
Определение 1 Множество X измеримо, если измеримо пересечение
Xn = X ∩ [n, n + 1].
Определение 2 µ(Xn ) = ΣµXn ; если ряд расходится, мера считается бесконечной.
Теорема 2 Мера Лебега на прямой σ-аддитивна (допускается мера ∞).
Доказательство Простое следствие определений и σ-аддитивности меры Лебега на
отрезке.
¤
4. Функция Кантора. Определяется как предел кусочно-линейных функций fn : [0, 1] → [0, 1].
Определение индуктивное:
(
f0 ≡ x, f10 =
1
2
на [0, 31 ] ∪ [ 23 , 1]
на ( 13 , 23 )
0
f1 (0) = 0, f непрерывна. Функция fn+1 получается из функции fn следующим
образом: горизонтальные участки графика не меняются; наклонные, с сохранением
граничных значений, перестраиваются так же, как функция f0 превращалась в f1 .
Предложение 1 Построенная выше последовательность fn равномерно сходится.
Предельная функция fC нестрого монотонна и непрерывна.
1
Определение 3 Функция fC из предложения 1 называется Канторовой функцией
(или Канторовой лестницей).
4. Самоподобие.
Продолжим функцию fC на R до функции f˜C , полагая
fC (x) = 2n fC (3−n x), x ∈ [en−1 , 3n ).
Предложение 2 Функция f˜C непрерывна и удовлетворяет условию:
x
2f˜C ( ) = f˜C (x), x > 0
3
(1)
Доказательство Оператор Φ : f 7→ g, g(x) = 2f ( x3 )|[0,1] сдвигает построенную выше
последовательность f0 , f1 , . . . , fn . . . на одну позицию влево. Предел сохраняется. ¤
Следствие 1
f˜C (x) − f˜C (y)
(x − y)
log3 2
=
f˜C (3x) − f˜C (3y)
(3x − 3y)log3 2
Следствие 2 f˜C удовлетворяет условию Гельдера с показателем log3 2.
2