Задания и ответы по математике

Методика и система
оценивания (проверки)
городской математической
олимпиады УГТУ
(Волкова И.И., Мотрюк Е.Н., Пластинина Е.В.,
Габова М.Н.. Канева Е.А.)
Ухта, 2012 г.
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
ЗАДАНИЯ
1. Найдите минимальное натуральное n, при котором выражение
n(n + 1)(n+ 2)(n + 3) делится на 2012.
(10 баллов)
2. Найти сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111…….
(10 баллов)
3. Решить уравнение
3 sin 0,25x  42 
sin 2 0,25 x  6 sin 0,25 x  9  1  2 .
(10 баллов)
4. Найти наименьшее из расстояний от точки М с координатами (-1;0) до точек ( x; y ) таких
27
что y 
(15 баллов)
, x  1 .
2 x  12
5. В соревнованиях по легкой атлетике 82% от числа участников выполнили норматив II-го
разряда по прыжкам в высоту, 65% - по прыжкам в длину и 70% - в тройном прыжке.
Оказалось, что каждый участник выполнил норматив хотя бы по двум дисциплинам.
Спортсмены, выполнившие норматив по всем дисциплинам, мечтают стать мастерами
спорта. Какой процент участников собирается стать мастерами спорта?
(15 баллов)
6. При каких значениях параметра а неравенство
cos x log 3 cos x  a
 3log 9 1 sin
2

x  a a  2 
выполняется при всех х из области допустимых значений?
(20 баллов)
7. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в
треугольники ABD и BDC, касаются. Найти радиусы окружностей, если известно, что
AD=2см, CD=4см, BD=5см.
(20 баллов)
2
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Задача 1. Найдите минимальное натуральное n, при котором выражение n(n + 1)(n+ 2)(n + 3)
делится на 2012.
(10 баллов)
Решение:
2012 = 4•503.
503- простое.
Заметим, что из четырех последовательных натуральных чисел не более одного делится на
503.
Поэтому ровно одно из наших четырех чисел делится на 503.
Приравнивая к 503 по очереди все множители, находим, n + 3 =503, n = 500.
Получаем, что только при n= 500 произведение делится на 2012.
Ответ: 500.
Баллы
10
4
0
Критерии оценки
Найдено разложение числа 2012 на простые множители.
Правильно проведен перебор вариантов равенства одного из множителей 503 (их 4)
Найдено разложение числа 2012 на простые множители.
Не проведен перебор вариантов равенства одного из множителей 503 (их 4) или
сделан не правильно.
Ответ не найден или неверен.
Задача 2. Найти сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111…….
(10 баллов).
Решение:
1) Рассмотрим сумму S= 1+11+111+1111+……….=
= 1+(10+1)+(100+10+1)+(1000+100+10+1)+…….=
= 1+(10 1 +1)+( 10 2  101  1 )+(10 3 + 10 2  101  1 )+………(10 n 1 +10 n  2 +……+ 10 2  101  1 )=
= n+(101+102+103+…….+10n-1)+(101+102+103+…….+10n-2)+……….+10.
Заметим, что в скобках находятся суммы геометрических прогрессий, число членов которых
убывает от (n-1) до одного. При этом везде b1=10, q=10.
b (1  q n )
Используем формулу: Sn= 1
. Получим:
1 q
S = n+
10(1  10 n 1 ) 10(1  10 n  2 ) 10(1  10 n 3 )
10(1  101 )
+
+
+……..+
=
1  10
1  10
1  10
1  10
10(1  10 n 1 )
10
10
(1-10n-1+1-10n-2+1-10n-3+…………..+1-101)= n- (n-1).
9
9
1  10
10(10 n  1) n
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, получим S=
- .
9
81
= n+
Ответ:
1 10(10 n  1)
(
 n) .
9
9
3
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Баллы
10
6
2
0
Критерии оценки выполнения задания 2
Приведена правильная последовательность всех шагов решения:
1) правильно сгруппированы слагаемые;
2) замечена закономерность;
3) использована формула суммы первых n членов геометрической прогрессии;
4) все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена
вычислительная ошибка или описка в шаге 3)или 4) не влияющая на
правильность дальнейшего хода решения.
В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.
В решении есть некоторые продвижения, например шаг 1) и 2).
Задача не решена.
Задача 3. Решить уравнение
3 sin 0,25x  42 
sin 2 0,25x  6 sin 0,25x  9  1  2 .
(10 баллов)
Решение:
1. Преобразуем
3sin 0,25x  42  sin 0,25x  32
 1 2,
3sin 0,25x  4  sin 0,25x  3  1  2.
2. Так как при всех x  R 4  3 sin 0,25 x  0, 3  sin 0,25 x  0,
имеем 3sin 0,25 x  4  3  sin 0,25 x  1  2 ,
3 sin 0,25 x  4  3  sin 0,25 x  1  2 ,
1  2 sin 0,25 x  1  2 ,
sin 0,25 x 
2
,
2
x
2
  1n arcsin
 n, n  Z
4
2
x   1n   4n, n  Z
Ответ: x  1n   4n, n  Z .
Баллы
10
6
2
0
Критерии оценки выполнения задания 3
Обоснованно получен верный ответ.
Приведена верная последовательность всех шагов решения:
1) упрощено выражение, стоящее в левой части уравнения, использовано понятие
модуля;
2) показано, что выражения под модулями всегда положительны;
3) правильно решено полученное тригонометрическое уравнение.
Приведена верная последовательность всех шагов решения. Упущено понятие
модуля. Получен правильный ответ
В решении есть некоторые продвижения.
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок .
4
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Задача 4. Найти наименьшее из расстояний от точки М с координатами (-1;0) до точек ( x; y )
27
таких что y 
(15баллов)
, x  1 .
2 x  12
Решение:
1. Пусть точка N ( x; y )  графику функции, задаваемой уравнением y 


27
.
координаты N  x ;
2



2
x

1


Расстояние
от
точки
M ( xM ; y M )
до
точки
27
2 x  12
N ( xN ; y N )
, тогда ее
равно:
MN  ( x N  xM ) 2  ( y N  y M ) 2 .
2


27
 
Получаем, MN  ( x N  xM )  ( y N  y M )  x  (1)   

0
 2 ( x  1) 2



2
2
2
2
2
2


27
2 27
  x  12  27


 x  1  

x

1

( x  1)  4 .
2
4
2
2( x  1)
 2 ( x  1) 
Таким образом, необходимо найти такое значение x , при котором MN  min.
2
Введем функцию расстояния
f ( x) 
x  12  27
2
2
( x  1)  4
и исследуем ее на
наименьшее значение.
2. Найдем производную функцию:

2


1
27
f ( x)   x  12 
( x  1) 4  


2
2

 2  x  12  27 ( x  1) 4
2
1

2
x  12  27
2
( x  1)  4
1

2
x  12  27
2
2
( x  1)  4
1

2

2


27 2
  2( x  1) 
 (4)( x  1)  5  


2


x  12  27
2
2
( x  1)  4
1
27 2
2  x  1 
( x  1)  4
2
2

27 2  (4) 
  2( x  1) 


2  ( x  1) 5 


27 2  (2) 
  2( x  1) 

5 

(
x

1
)


 2( x  1) 6  27 2  (2) 


5


(
x

1
)


5

2


27
2

4
  x  1 
( x  1)  


2


Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
1

x  12  27
2
Итак,
2

2  ( x  1) 6  27 2
( x  1) 5
( x  1)  4

( x  1) 6  27 2
( x  1) 5 
x  12  27
2
2
.
( x  1)  4


( x  1) 6  27 2
27 2
4 
.
x  1 
( x  1)


2
2
27
 ( x  1) 5  x  12 
( x  1)  4
2
необходимому условию существования экстремума функции

f ( x)  


По
2

2
( x  1) 6  27 2
x  12  27

0
2
f ( x )  0 ,
т.е.
( x  1) 6  27 2  0 ,
( x  1)  4
2
(знаменатель не равен нулю в силу условия задачи x  1).
( x  1) 5 
( x  1)  27  0
6
2
1
2
3 6
  
x  1   3


( x  1)  27

x 1  3
6
2

x 1 

x2.
 
1
2 6
27

По достаточному условию существования точки минимума:
Таким образом, xmin  2 . Тогда и наименьшее расстояние MN при xmin  2 будет равно
27 2
MN  x  1 
( x  1) 4 
2
2
 
2
27 2
27 2
33
4
2
4
2
2  1 
(2  1)  3 
 (3)  3 
 (3) 4 
2
2
2
2
 32 
36  (3) 4
32
3
3 2 3 6
 1
3
 32 
 3 2 1    3 2     3 
 3


.
2
2
2
2
2 2
 2
2
Ответ:
3 6
.
2
Баллы
15
10
5
0
Критерии оценки выполнения задания 4
а) В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
б) Возможно иное решение, но обоснованное и приводящее к верному ответу.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений и, возможно, приводящая к
неверному ответу.
Составлена функция для исследования на экстремум, но при нахождении
производной допущены ошибки, что приводит к неверному ответу.
Ответ не найден или неверен.
6
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Задача 5 . В соревнованиях по легкой атлетике 82% от числа участников выполнили
норматив II-го разряда по прыжкам в высоту, 65% - по прыжкам в длину и 70% - в тройном
прыжке. Оказалось, что каждый участник выполнил норматив хотя бы по двум дисциплинам.
Спортсмены, выполнившие норматив по всем дисциплинам, мечтают стать мастерами
спорта. Какой процент участников собирается стать мастерами спорта?
(15 баллов)
Решение. Пусть общее число участников равно п. Множество всех участников в
соответствии с условиями задачи разбивается на четыре группы (подмножества).
Выполнили
норму
прыжках в высоту
+
+
+
в Выполнили норму в Выполнили норму в
прыжках в длину
тройном прыжке
+
+
+
+
+
+
x
y
z
t
Пусть x – число участников, не выполнивших норматив по тройному прыжку, y – по
прыжкам в длину, z – по прыжкам в высоту, t – выполнивших по всем дисциплинам. Тогда
можно составить систему уравнений:
 x  y  t  0.82 n,
 x  z  t  0.65 n,


 y  z  t  0.7 n,
 x  y  z  t  n.
Напр., складываем первые три уравнения системы, тогда
2 x  2 y  2 z  3t  2.17 n,

 x  y  z  t  n.
Перемножим второе уравнение на (-2),
2 x  2 y  2 z  3t  2.17 n,

 2 x  2 y  2 z  2t   2n.
Отсюда получаем t = 0,17п.
Ответ: 17%.
Баллы
15
10
5
0
Критерии оценки выполнения задания 5
1) В представленном решении обоснованно получена система уравнений, в
которой число неизвестных больше числа уравнений;
2) правильно проведено решение системы;
3) проведена правильная интерпретация полученного множества решений;
получен верный ответ.
4) Возможно иное решение, но обоснованное и приводящее к верному ответу.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений и, возможно, приводящая к
неверному ответу.
В решении есть некоторые продвижения.
Нет правильных идей, задача полностью не решена.
7
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Задание 6. При каких значениях параметра а неравенство
cos xlog cos x a
3
2
 3log9 1sin x aa2 
выполняется при всех х из области допустимых значений?
Решение: D(y): cosx>0
log 9 1  sin 2 x  log 9 cos 2 x  log 3 cos x  cos x  0  log 3 cos x , тогда неравенство примет


log cos x  a
вид: cos x 
3
 3log3 cos xaa2 
Прологарифмируем обе части неравенства
возрастающая, знак неравенства не изменится)
log 3 (cos x)
log3 cos x  a
по
основанию
3 (функция
y  log 3 x
 log 3 3log3 cos xa a2 
log 3 cos x  a log 3 (cos x)  log 3 cos x  a(a  2)
Пусть log 3 cos x  t
0  cos x  1  t  0
Получим t 2  ( a  1)t  a(a  2)  0 ,
(т.к. t  0   ( a  1)t  0  t 2  ( a  1)t  0 t
тогда для выполнения условия задачи
достаточно, чтобы  a(a  2)  0  a  0; 2 )
Для выполнения условия задачи достаточно, чтобы выполнялось:
А) D<0
2
D   a  1  4aa  2  a 2  2 a  1  4a 2  8a  5a 2  2 a  8a  1
 2 5
2 5

;1
Если а<0, то D  5a 2  10a  1  0  a  1 

5
5


Следовательно, таких значений параметра не существует.
Если а>0, то D  5a 2  6a  1  0  a  0,2 ; 1
Следовательно, a  0,2 ; 1 .
Б) D  0 при t  0 , тогда
5a 2  2 a  8a  1  0
D  0



 f (0)  0
a(a  2)  0
Если а<0, то D  5a 2  10a  1  0  a  ( ; 1 
8
2 5
2 5
]  [1 
; ) , тогда
5
5
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Следовательно, таких значений параметра не существует.
Если а>0, то D  5a 2  6a  1  0  a  ( ; 0,2]  [1; ) , тогда
Следовательно, a  (0 ; 0.2]  [1 ; 2) .
Ответ: При a  0; 2 неравенство cos x 
х из области допустимых значений.
log3 cos x  a
Баллы
20
15
10
5
0
2
 3log9 1sin x aa2  выполняется при всех
Критерии оценки
В представленном решении обоснованно получен верный ответ
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений и, возможно, приведшая к
неверному ответу
Заданы условия, при которых неравенство выполняется при всех х из области
допустимых значений.
Сделана замена, получено квадратичное неравенство.
Ответ не найден.
Задача 7. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные
в треугольники ABD и BDC, касаются. Найти радиусы окружностей, если известно, что
AD=2см, CD=4см, BD=5см.
(20 баллов)
Решение. Надо найти r и R –радиусы окружностей.
Выполним построение (см. рис. 1).
Рис. 1.
9
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
Рис. 2.
1. Обозначим MD=OD=y (по свойству касательных) (см. рис. 2).
,
следовательно DF=у.
, поэтому
2.
.
3.
,
4.
,
5. Полупериметры
и
:
,
По формуле Герона
6. Известно, что полупериметр, радиус вписанной окружности и площадь треугольника
связаны соотношением:
.
Тогда
7. Сравнивая 5 и 6, получаем
.
10
Городская математическая олимпиада УГТУ
________________________________________________________________________________________________________________________
11 класс
8. По теореме косинусов для
и
:
Упрощая далее, получаем
Решаем систему, исключая
.
,
9. Найдем последовательно
,
Ответ: r = 4 см, R =12 см.
Баллы
20
15
Критерии оценки выполнения задания 7
В предоставленном решении обоснованно получен верный ответ.
1) Получен неверный ответ. Радиусы окружностей найдены по верному
алгоритму, но сделана вычислительная ошибка.
2) Получен верный ответ, но необходимые пояснения и ссылки на
используемые теоремы и свойства приведены не везде.
1) Получен неверный ответ. Радиусы окружностей найдены по верному
10
алгоритму, но сделано более 1 вычислительной ошибки.
2) Получен верный ответ, но необходимые пояснения и ссылки на
используемые теоремы и свойства не приведены.
1) Ответ не получен. Решение доведено только до середины и без пояснений.
5
2) В решении в самом начале сделана грубая ошибка: неправильно
использованы свойства или теоремы и верный ответ не получен.
Ответ не найден или неверен.
0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Литература.
1. Лунгу К. Н. Тесты по математике для абитуриентов. М.: Айрис-пресс, 2005. - 325с.
2. Сергеев И. Н. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в ВУЗы.
М: КДУ, 2005. - 60с.
3. Горнштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. М.: Илекса, Харьков:
Гимназия, 2003. – 336с.
4. Шарыгин И. Ф. Математика для поступающих в Вузы. М.: Дрофа, 1907. - 416с.
11