АНАЛИЗ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МЕХАНІКИ
І МІЦНОСТІ КОНСТРУКЦІЙ
ISSN 2079 –1836
2012, вип. 19
УДК 539.3:519.6:624.074
Э. Л. Гарт, канд. физ.-мат. наук, Ю. В. Грицук, канд. техн. наук,
В. С. Гудрамович, чл.-корр. НАН Украины, д-р техн. наук,
В. М. Левин, д-р техн. наук, С. А. Рябоконь, канд. техн. наук,
Е. В. Самарская
АНАЛИЗ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ПЛАСТИНЧАТЫХ АРМИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
БАШЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ С ОТВЕРСТИЯМИ
Проведено численное исследование распределения напряжений и деформаций
в пластинчатом армированном элементе железобетонных сооружений с прямоугольным
отверстием. Использованы метод неполной дискретизации и проекционно-итерационные
схемы реализации метода конечных элементов.
Ключевые слова: башенные сооружения, пластинчатый армированный элемент
с отверстием, метод неполной дискретизации, метод конечных элементов,
проекционно-итерационные схемы.
Введение. Пластинчатые элементы являются составными частями многих башенных сооружений промышленного назначения. К ним относятся
башенные копры для добычи полезных ископаемых подземным способом,
угольные башни коксохимзаводов, грануляционные и коммуникационные
башни предприятий для изготовления минеральных удобрений, коробчатые
опоры мостов, силосные хранилища зерна и др. Такие сооружения зачастую
возводятся из железобетона, который относится к армированным материалам. Пластинчатые элементы сооружений имеют проёмы – отверстия,
обычно прямоугольные, для реализации технологического процесса или
сообщения между помещениями. Указанные особенности определяют существенную неоднородность конструкционных элементов, что значительно
усложняет расчёт.
Среди методов, применяемых при соответствующем расчёте напряжённо-деформированного состояния (НДС), выделим два: метод неполной дискретизации (1) [6–9] и проекционно-итерационную модификацию метода
конечных элементов (2) [1, 2, 12]. В данной работе проведён анализ НДС на
основе указанных методов.
Постановка задачи. Рассмотрим пластинчатый элемент башенных сооружений в виде прямоугольной армированной пластины с отверстием.
Размеры и схема нагружения (это нагружение создаётся вышележащей
частью сооружения) показаны на рис. 1. Проведём анализ НДС указанного
пластинчатого элемента на основе методов 1 и 2. Особенности строения
конструкции и нагружения таковы, что можно считать элемент находящимся
в плоском напряжённом состоянии.
____________________________
 Э. Л. Гарт,
Ю. В. Грицук, В. С. Гудрамович,
В. М. Левин, С. А. Рябоконь, Е. В. Самарская, 2012
54
Рис. 1 – Расчётная схема пластины
Метод неполной дискретизации. Для решения поставленной задачи
используется математическая модель на основе дискретно-континуальной
схемы Канторовича – Власова, модифицированной И. Е. Милейковским
(метод «исходных уравнений»), которая представляет собой краевую задачу для нормальной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [6–9]:
dZ
 AZ  P ,
dz
(1)
Z      , Z   Н   T , z   , Н  ,

где Z  ZT , Z T
T

(2)
; Z , Z  – векторы обобщённых перемещений и усилий
соответственно в сечении z  const ; A  A  z , Z  – матрица коэффициентов,
зависящих от геометрии элемента конструкции [6], распределения деформативных свойств материала и уровня его загружения в окрестности этого

T
сечения; P  P  z   PT , PT

ва и изменения влажности
 P  ,
– вектор, зависящий от интенсивности нагреа также обобщенных нагрузок
 P  ;
T –
вектор обобщенных усилий на верхнем торце; H – длина пластинчатого
элемента складки. Первое из краевых условий (2) сформулировано для абсолютно жесткого фундамента.
Основные положения метода следующие [6, 9]: поле обобщенных перемещений элементов стенок a  s, z  аппроксимируется, применительно к
реализуемому в данной схеме методу Бубнова – Галёркина, выражением
55
n
a  s, z  
  m  s  Zm  z  ,
(3)
m
где s, z – тангенциальные поперечная и продольная координаты точки;
 m  s    mij  s   – m -ая матрица координатных функций; Zm  z  – m -ый
вектор обобщённых узловых перемещений (вектор обобщённых координат)
в сечении z  const . Для произвольного сечения z  const вводится система
точек (узлов) si ( i  , n ), которые сохраняются при изменении z ; линии
s  si – ребра складки, участок стенок между соседними ребрами (номера
их i и j ) – грани шириной lij  l p  s j  si , где p – номер грани.
Примем, что m  i – номер узла, n – количество узлов в сечении. Узлы
сгущаются в областях локализации возмущений НДС, при этом учитываются особенности напряжённо-деформированного состояния в зоне углов [6].
Координатные функции в (3) – функции с ограниченным носителем
 si , s j  (если s j  si ). На каждом носителе заданы две линейно независи

мые координатные функции. При этом для плосконапряженного состояния
(k )
(k )
)
)
(mij
 s    si l p , (mij
 s   si l p , m   при s  s и m   при
k)
s  s ,  mij  (mij
E , E – единичная матрица   ( k  ,  ). Тогда (3)
приобретает вид
a  s, z    mij  s  Cip Zi  z    mji  s  C jp Z j  z  ,
(4)
где Cp – матрица преобразования обобщённых перемещений при переходе от общей к локальной системе координат (   i , j , для плоской грани
Cip  C jp ).
Деформации криволинейной грани определяются по формулам теории
оболочек. Для геометрически линейной постановки задачи вектор дефорT
маций     s ,  z ,  sz ,  zn ,  sn ,  s ,  z ,  sz  имеет вид
  V a  V
a
a
 V
,
s
z
(5)
где V (  , , ) – матрицы геометрических соотношений, причём для
плоской грани V   (  – нулевая матрица).
В качестве определяющих соотношений примем линейную зависимость [4]:
T
векторы усилий в сечении s  const , Fps   N s , Tsz , Qs , M s , M sz 
56
и в сечении
z  const ,
T
Fpz   Tzs , N s , Qz , M zs , M z 
для
p -ой грани определяются
равенством
Fpk  s, z   D pk  ,
(6)
где через D pk   d pk  обозначены матрицы жёсткости упругого материала;
в случае задач теории вязкоупругости – это соответствующие операторы [10].
Вектор обобщённых усилий, относящихся к i -му узлу, можно записать в
таком виде
lp
Z i  z  
  CipT Tip  s  Fpz  s, z  ds .
(7)
pPi 
Подставив в (7) выражения (4) – (6) и объединив полученные векторы
обобщённых усилий узлов в вектор обобщённых усилий всего сечения

T
T
складки с n узлами Z   z   Z 
, Z 
, , Z Tn
T

, получим его зависимость от
вектора обобщённых перемещений сечения Z ( z ) и его производной по z
Z ( z ) в виде
Z   z   KZ  z   K Z  z  ,
где K  – матрицы жесткости, определяемые согласно [6] для упругого
состояния материала.
Удобно их блочное представление K   k, ij  , где для плоской грани
i  j  :
lp
T
k, ij  Cip
T
 ip  s  DpzV p   jp  s  ds  C jp ;

lp
k, ii 
T
Cip
Tip  s  D pzV pz ip  s  ds  Cip ;
 
pP
(8)

i
lp
T
k, ij  Cip
T
 ip  s  D pzV pjp  s  ds  C jp ;

lp
k, ii 
  Tip  s  D pzV pip  s  ds  Cip .
pPi 
57
Для плоской грани в плосконапряженном состоянии условия равновесия
её элемента имеют вид
Fp  ( H  s  Fps )

 q  z, s    ,
z
s
(9)
где q  z, s  – вектор интенсивности распределённых нагрузок, действующих
вдоль продольной и поперечной тангенциальных координат и по нормали к
срединной поверхности; H  s    при s   si , si  и H  s    при s   si , si  .
Выделим из складки сечениями z  const и z  dz  const бесконечно малую полоску. Принцип возможных перемещений даёт для каждого её узла
равенство
lp
 Fpz  ( H  s  Fps )

T
Cip
Tip  s  

 q  z, s   ds   ,
 z

s


pPi

 
откуда после подстановки (6) для Fps , интегрирования и элементарных
преобразований получаем
Z   z   K Z  z   K  Z  z   Q  z   ,
где K  – блочные матрицы жёсткости, K   k, ij  ; Q  z  – вектор
обобщённых нагрузок.
Подставляя в (9) выражения (4) – (6), получим для i  j :
lp
T
k, ij  Cip
T
 ip  s  D psV p  jp  s  ds  C jp ;

k, ii 

T
Cip
pPi
 lp

 T  s  D V    s  ds  D V  C ;
ip
ps p  jp
ps  p

 ip



lp
T
k, ij  Cip
T
 ip  s  D psV pjp  s  ds  C jp ;

T
k, ii  Cip
58
 lp

 T  s  D V   s  ds  D V  C ;
ip
ps p ip
ps p

 ip



lp
Qi  z  

T
T
T
Cip
Tip  s  q  z , s  ds , Q  z   Q
, Q
, , QTN
 
pP
i
T

.

Подсистемы физических уравнений (8) и уравнений равновесия (9), составленные в обобщённых усилиях и перемещениях, образуют полную систему уравнений деформирования складки (геометрические соотношения (5)
учтены в физических соотношениях, выраженных через перемещения).
После преобразований они приводятся к виду (1), с учетом того, что при
решении краевой задачи для нормальной системы может быть использован
метод ортогональной прогонки.
Проекционно-итерационные схемы реализации метода конечных
элементов (МКЭ). Согласно методу 2 в соответствии с вариационным
принципом минимума потенциальной энергии для решения поставленной
задачи требуется найти перемещения u ( x, y ), v ( x, y ) , доставляющие минимум функционалу [3]

  u    E
  v 
  Eb
s
s
 x  Esx      b  y  Esy    

  x 
   
  y 
    




(10)

Eb u v
Eb  u v  

  

dxdy  (p x u  p y v)ds
 x y       y x  
 

 
Γp

I [u , v ] 


при граничных условиях
u Гz   ,
v Гz   ,
(11)
где u ( x, y ), v ( x, y ) – проекции вектора перемещений на оси Ox и Oy соответственно; px ( x, y ), p y ( x, y ) – проекции вектора нагрузки p  x, y  на оси
Ox и Oy ; Eb – модуль упругости бетона;  – коэффициент Пуассона для
бетона; Esx , Esy – модули упругости стали арматурных стержней, паралs
s
лельных осям Ox и Oy ; x  , y  – коэффициенты армирования в направ-
лении осей Ox и Oy ;  – область пластины; Γ p – граница области приложения нагрузки p ; Г z – граница области  , на которой заданы перемещения.
Исходную задачу нахождения минимума функционала (10) можно рассматривать как задачу условной минимизации в гильбертовом пространстве [1]
I [ z ]  inf ,
zZ,
(12)
59
где I [ z ] – непрерывный функционал, ограниченный снизу на множестве
кинематически возможных перемещений Z вещественного гильбертова про()
странства H  W (  ; z  (u , v) – вектор-функция перемещений.
Проекционно-итерационный вариант МКЭ изложен в [1, 2, 12]. Напомним
его основную идею. Исходная экстремальная задача (12) аппроксимируется
с помощью МКЭ последовательностью дискретных экстремальных задач
для функций многих переменных. Каждая из полученных задач решается с
помощью метода последовательной верхней релаксации [11], причём строится лишь несколько приближений к точке минимума соответствующей
функции многих переменных. Последнее из полученных приближений интерполируется на более мелкую конечноэлементную сетку и служит на ней
начальным приближением. Процесс решения на последовательности вложенных сеток продолжается до достижения заданной точности.
Следуя МКЭ, область  разбивается на прямоугольные конечные
элементы. Внутри каждого конечного элемента искомые функции перемещений u ( x, y ) и v ( x, y ) приближённо заменяются билинейными функциями, зависящими от узловых значений u и v в каждой из четырёх вершин
конечного элемента. Далее, применяя необходимое условие минимума
функции многих переменных, значения перемещений u и v в текущем
узле выражаются через узловые значения перемещений четырёх примыкающих к данному узлу конечных элементов (при этом не требуется хранение матрицы жёсткости системы в явном виде) [5]. Уточнение узловых
значений перемещений проводится с помощью метода последовательной
верхней релаксации по схеме, описанной выше.
Практика применения проекционно-итерационных схем реализации
МКЭ показывает их преимущество по времени счёта на компьютере в несколько десятков раз по сравнению с традиционным МКЭ [1, 2, 12].
Численный анализ. Расчеты проведены для железобетонной пластины
(рис. 1): бетон класса B20 ( Eb   ГПа ,   ,  ), стержни армирования из
s
стали ( Esy  Esx   ГПа ,  y  ,  , x   ,  ). Численные результаты расчёта на основе проекционно-итерационного варианта МКЭ получены на последовательности 3-х вложенных вдвое конечноэлементных сеток
s
(33181, 65361, 125721) с точностью вычислений    и параметром
релаксации   ,  .
На рис. 2 приведены распределения напряжений в сечении 1 в бетоне
и арматуре, полученные двумя методами. Они дают достаточно близкие
результаты.
60
а)
б)
в)
Рис. 2 – Зависимость нормальных напряжений в бетоне (а –
в арматуре (б –
by ),
 sy , в –  sx ): 1 – метод неполной дискретизации;
2 – проекционно-итерационный вариант МКЭ
Проведён анализ НДС складки при двух этапах нагружения: длительное
сжимающее нагружение и последующее догружение мгновенной нагрузкой,
которая деформирует каждую грань складки (пластину). Использована вязкоупругопластическая модель деформирования бетона: на первом этапе нагружения применяется теория вязкоупругости [4, 10], на втором этапе – деформационная теория пластичности и теория деформирования железобетона с
трещинами [2, 4, 6]. Рассмотрены два варианта режима нагружения:
61
одновременное приложение нагрузок обоих этапов и поэтапное нагружение
с разными скоростями [7].
На рис. 3 и 4 приведено распределение напряжений и деформаций в сечении над отверстием, цифрами 1 и 2 обозначены результаты для первого и второго вариантов режимов нагружения соответственно. На рис. 3, а, б приведено
распределение нормальных напряжений в матрице и в вертикальной арматуре соответственно, на рис. 3, в – касательных напряжений в матрице, на
рис. 4 – линейных деформаций вертикальных волокон.
а)
б)
в)
Рис. 3 – Распределение напряжений в сечении над отверстием
62
Рис. 4 – Распределение линейных деформаций в сечении над отверстием
Выводы. Расчеты напряжённо-деформированного состояния армированной пластины с отверстием (проёмом) на основе метода неполной дискретизации и проекционно-итерационного варианта метода конечных элементов дают достаточно близкие результаты. При этом второй метод оказывается более эффективным по времени расчёта на ПК по сравнению с
первым методом и позволяет получить более точную картину распределения напряжений в зоне их концентрации (вблизи угловых точек отверстия).
Отметим, что оба метода могут быть применены при решении задач теории вязкоупругости. В этом случае вместо упругих постоянных используются
соответствующие операторы [10].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Гарт Э. Л. Проекционно-итерационные модификации метода конечных элементов
в краевых задачах теории упругости / Э. Л. Гарт // Доп. НАН України. – 2008. – № 6. –
С. 56–61.
2. Гарт Е. Л. Розв’язування задач пружно-пластичної рівноваги пластин з прямокутним і круговим отворами на основі проекційно-ітераційних схем реалізації методу скінченних елементів / Е. Л. Гарт, В. С. Гудрамович, С. А. Рябоконь // Вісн. Київськ. ун-ту. Сер. :
Фіз.-мат. науки. – 2009. – Вип. 3. – С. 61–66.
3. Гудрамович В. С. Расчёт упругой армированной пластины с отверстием /
В. С. Гудрамович, Э. Л. Гарт, Ю. В. Грицук, С. А. Рябоконь // Наук. вісн. Луганськ. нац. агр.
ун-ту. Сер. : Технічні науки. – Луганськ : Вид-во ЛНАУ, 2010. – № 14. – С. 52–61.
4. Карпенко Н. И. Общие модели механики железобетона / Н. И. Карпенко. – М. :
Стройиздат, 1996. – 416 с.
5. Кузьменко В. И. Трёхмерные контактные задачи для многослойного упругопластического пакета / В. И. Кузьменко // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. – 1984. – № 4. –
С. 105–112.
6. Левин В. М. Железобетонные башенные сооружения. Исследования, расчет /
В. М. Левин. – Макеевка : ДонГАСА, 1999. – 230 с.
7. Левин В. М. Напряжённое состояние и прогрессирующее разрушение армированной вязкоупругопластической складки / В. М. Левин, В. С. Гудрамович, В. А. Митраков и др. //
Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела : VI Межд. наук. конф.,
2010 г., Донецк –Мелекино : мат. конф. – Донецк : Юго-Восток, 2010. – С. 56–61.
8. Левин В. М. Напряжённое состояние армированной вязкоупругой пластины при
сложном нагружении / В. М. Левин, В. С. Гудрамович, В. А. Митраков и др. // Теорет. и
прикл. механика. – 2008. – Вып. 44. – С. 118–124.
63
9. Милейковский И. Е. Метод исходных уравнений при расчёте пологих оболочек на
ЭЦВМ / И. Е. Милейковский // Новые методы расчёта строительных конструкций. – М. :
Стройиздат, 1968. – С. 28–35.
10. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. – М. : Наука,
1966. – 752 с.
11. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский,
Е. С. Николаев. − М. : Наука, 1978. − 592 с.
12. Hudramovich V. S. Elastoplastic deformation of nonhomogeneous plates [Electronic resource] / V. S. Hudramovich, E. L. Hart, S. A. Rjabokon’ // Journ. of Eng. Math. – 2011. – DOI:
10.1007/s 10665–010–9409–5. – Available from: http://www.springerlink. com/content/100287.
Днепропетровский национальный университет
им. Олеся Гончара,
Институт технической механики
НАН Украины и ГКА Украины,
Днепропетровск, Украина,
Донбасская национальная академия
строительства и архитектуры,
Макеевка, Украина
Поступила в редколлегию 20.12.2011
Е. Л. Гарт, канд. фіз.-мат. наук, Ю. В. Грицук, канд. техн. наук,
В. С. Гудрамович, чл.-кор. НАН України, д-р техн. наук,
В. М. Левин, д-р техн. наук, С. А. Рябоконь, канд. техн. наук,
О. В. Самарська
АНАЛІЗ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ
ПЛАСТИНЧАТИХ АРМОВАНИХ ЕЛЕМЕНТІВ
БАШТОВИХ СПОРУД З ОТВОРАМИ
Виконано числове дослідження розподілу напружень та деформацій
в пластинчатому армованому елементі залізобетонних споруд з прямокутним отвором.
Використані метод неповної дискретизації та проекційно-ітераційні схеми реалізації
метода скінченних елементів.
Ключові слова: баштові споруди, пластинчатий армований елемент з отвором,
метод неповної дискретизації, метод скінченних елементів, проекційно-ітераційні схеми.
E. L. Hart, Associate Professor, Y. V. Gritsuk, Associate Professor,
V. S. Hudramovich, Corresponding member of NAS Ukraine, Professor,
V. M. Levin, Professor, S. A. Ryabokon’, Associate Professor,
E. V. Samarskaya
ANALYSIS OF THE STRESS-AND-STRAINED STATE
FOR PLATE REINFORCED ELEMENTS
TOWER STRUCTURES WITH HOLES
Numerical investigation of distribution of stresses and strain plate reinforced
elements tower structures with holes is developed. Incomplete discretization method and
projective-iterative schemes of finite element method are used.
Keywords: tower structure, plate reinforced element with hole, incomplete discretization
method, finite element method, projective-iterative schemes.
64