ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 539.3
Ю. И. Д и м и т р и е н к о, А. И. К а ш к а р о в,
А. А. М а к а ш о в
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ РАСЧЕТ
ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ
МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ
Разработан метод решения задач теории малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина на ячейке периодичности для композитов с пространственной структурой армирования,
основанный на сведении исходной задачи к задаче “классического” типа, для которой применен метод конечных элементов. Разработана численная процедура, и решена задача расчета эффективных упругопластических характеристик для пространственноармированного композита.
Метод асимптотического осреднения периодических структур,
идея которого была предложена в 1974 г. Н.С. Бахваловым и независимо Э. Санчес-Паленсией (см. список литературы к работам [1], [2]),
позволяет математически точно вычислять так называемые эффективные характеристики композиционных материалов, как линейные, так
и нелинейные. Применение этого метода для расчета упругих модулей композитов, а также для расчета нелинейно-упругих и упругопластических свойств было впервые предложено Б.Е. Победрей [3].
Было показано, что для этих целей необходимо решение специальных
задач на ячейке периодичности композита. Однако методы решения
этих задач до настоящего времени удалось разработать только для
очень ограниченного типа структур — слоистых и однонаправленноармированных. В недавних работах [4–7] был предложен новый метод
решения задач на ячейке периодичности, основанный на сведении их
к задачам классического типа, к которым уже может быть применен
метод конечного элемента. С помощью этого метода были рассчитаны упругие модули пространственно-армированных композитов.
Цель настоящей работы — дальнейшее развитие этого метода для
расчета упруго-пластических характеристик композитов со сложными
структурами армирования.
Метод асимптотического осреднения для упруго-пластических
задач. Рассмотрим пространственно-армированный композит (рис. 1),
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
Рис. 1. Композиционный материал с пространственной (3-D) схемой армирования
которому в пространстве R3 соответствует область V c поверхностью
Σ. Композит состоит из N компонентов. Компоненты с индексами
α = 1, . . . , N −1 представляют собой волокна различных типов, ориентированные по α-му направлению в R3 , а компонент с индексом α = N
— это матрица. Обозначим Vα , α = 1 . . . N , — области в R3 , соответствующие α-му компоненту композита; Σα — поверхности областей
Vα и ΣαN — поверхности контакта матрицы и волокон (волокна полагаем не контактирующими между собой); Σαe — часть поверхности
Σ композита, занятая α-м компонентом (причем Σα = ΣαN ∪ Σαe —
NS
−1
ΣαN ∪ ΣN e — для матрицы). Волокна и мадля волокон и ΣN =
α=1
трицу полагаем изотропными упруго-пластическими, соответствующими деформационной теории пластичности А.А. Ильюшина (теория
малых упруго-пластических деформаций) [8]. Тогда в каждой области Vα , α = 1 . . . N , можно рассмотреть следующую задачу малых
упруго-пластических деформаций:

α

= 0,
в Vα ;
σij,j







σijα = Fijα (εαkl ) ,
в V α ∪ Σα ;



1 α
(1)
ui,j + uαj,i ,
εαij =
в Vα ;


2
o



α
N
α
N

=
u
,
σ
−
σ
на ΣαN ;
u

i
i
ij
ij nj = 0



 α
ui = uie , на Σ1αe σijα nj = Sie , на Σ2αe .
Здесь uαi , σijα , εαij — перемещения, напряжения и деформации в α-м
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
27
компоненте, последние два условия в системе (1) — это условия идеального контакта матрицы и волокон, и условия на α.
Пусть теперь композиционный материал обладает периодической
структурой (см. рис. 1), ячейка периодичности (ЯП) Vξ которого состоит из N компонентов Vαξ , α = 1, . . . , N . Введем малый параметр
κ = l/L 1 как отношение характерного размера ЯП к характерному размеру всего композита, а также глобальные xk и локальные ξ k
координаты. Будем полагать, что матрица является связной областью.
Обозначим также ΣξαN = ΣαN ∩ Vξ — поверхности раздела матрицы и
волокон в ЯП.
В этом случае для такой структуры может быть применен метод
асимптотического осреднения [1–5], согласно которому решение задачи (1) для матрицы и волокон строится в виде асимптотических
разложений [5]:
(0)
α(1)
uαi = ui (xk ) + κui
α(0)
(xk , ξ l ) + κ2 . . . ,
α(1)
εαij = εij (xk , ξ l ) + κεij (xk , ξ l ) + κ2 . . . ,
α(0)
(2)
α(1)
σijα = σij (xk , ξ l ) + κσij (xk , ξ l ) + κ2 . . . ,
причем по аргументу ξ l эти функции полагаются периодическими.
Деформации и напряжения “нулевого уровня” имеют следующий вид:
1 α(1)
α(1)
= εˉij + (ui/j + uj/i ),
2
1 (O)
(O)
u + uj,i ,
εˉij =
2 i,j
α(0)
, если ξ k ∈ Vαξ , α = 1, . . . , N.
= Fijα εkl
α(0)
εij
α(0)
σij
(3)
(4)
(5)
Здесь ,l = ∂/∂xl и /l = ∂/∂ξ l — производные по двум типам координат.
При выводе формул (3)–(5) и далее используется правило дифференцирования асимптотических разложений:
∂f (xi , ξi ) ∂f (xi , ξi ) ∂ξk
∂f (xi , ξi ) 1 ∂f (xi , ξi )
∂f (xi , ξi )
→
+
=
+
.
∂xj
∂xj
∂ξk
∂xj
κ
∂ξk
∂xj
Подставляя разложения (2) в систему (1), применяя правило дифференцирования и собирая члены при одинаковых степенях k, получаем так называемую локальную задачу на ячейке периодичности:
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
Здесь

α(0)


в Vξ ,
σij/j = 0,







α(0)
α(0)
α


ε
,
в Vξ ∪ Σs ,
σ
=
F

ij
ij
kl






1 α(1)

α(0)
α(1)

в Vξ ,
ui/j + uj/i ,
 εij = εˉij +
2


α(1)
N (1)



ui = ui








на ΣξαN ,

α(1)
N (1)


σij − σij
nj = 0 








D
E
hh
ii


α(1)
 uα(1) = 0,
u
= 0.
i
i
huαi i
=
N Z
X
α=1V
ξα
uαi dVξ ,
εαij
=
N Z
X
εαji dVξ
(6)
(7)
α=1V
ξα
— операторы осреднения.
В выражении (6) условие [[uαi ]] = 0 — это условие периодичности
функций на границе ячейки периодичности, а условие huαi i = 0 вызвано требованием единственности решения локальной задачи [3]. В силу
α(1)
периодичности функций ui имеет место следующее соотношение:
D
E 1
α(0)
(0)
(0)
ui,j + uj,i .
εˉij = εij
=
(8)
2
Метод упругих решений для локальных задач Жpq на ячейке периодичности.. Будем полагать далее, что волокна и матрица —
изотропные, а ЯП является симметричной при зеркальном отражении
относительно трех координатных плоскостей Σs = {ξ s = 0}, а также симметричной относительно поворота на угол π вокруг каждой
оси координат Oξ s и симметричной при преобразовании центральной
симметрии с центром в точке O (подробнее об этих преобразованиях см. работу [9]). Это ограничение назовем основным допущением
симметрии композита. Согласно этому допущению, вместо решения
локальной задачи (6) на всей ЯП Vξ , можно перейти к решению задачи
на области Ṽξ , представляющей 1/8 ЯП.
Поскольку задача (6) нелинейная, то для ее решения применим
итерационный метод, являющийся разновидностью метода упругих
решений [8]. Согласно этому методу определяющие соотношения в
системе (6) для компонентов композита линеаризуются следующим
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
29
образом:
{m}
σijα
α{m}
(m}
α{m}
α
= Cijkl
εkl
α{m}
{m−1} α{m} α{m−1}
+ Fijα εαkl
− Cijkl
εkl
α(o)
(9)
α(o)
и εij
— значения напряжений σij и деформаций εij на
где σij
α{m}
— тензоры модулей упругости
m-м шаге итерационного цикла, а Cijkl
компонентов композита на m-м шаге итерации. В простейшем вариα
анте метода эти модули являются константами и совпадают с Cijkl
.
α{m}
α(1)
— значения перемещений uij на m-м шаге
Обозначим также uij
итерационного цикла. Тогда на m-м шаге итерации вместо задачи (6)
получаем следующую линеаризованную задачу:

α{m}

σij/j = 0 в Ṽξ ,







α{m}
α{m} α{m}
α{m−1} α{ m} α{m−1}


= Cijkl εkl + Fijα εkl
в Ṽξ ∪ Σ0s ∪ Σs ,
− Cijkl εkl
σij





1 α{m}
α{m}
α{m}
u
ε
в Ṽξ ,
=
ε
ˉ
+
+
u
ij
ij
j/i

2 i/j






α{m}
N {m}



u
=
u
,

i
i



на Σ̃ξαN .



α{m}
N {m}

− σij
)nj = 0
(σij
(10)
Согласно предложенному в работе [5] варианту метода асимптотического осреднения, перемещения первого уровня и напряжения нулевого уровня при каждом значении m представляются в виде следующих сумм :
α{m}
ui
=
3
X
α{m}
ui(pq) ,
p,q=1
α{m}
εij
=
3
X
α{m}
εij(pq) ,
α{m}
σij
p,q=1
=
3
X
α{m}
σij(pq) , (11)
p,q=1
α{m}
если ξ k ∈ Vαξ , α = 1, . . . , N , причем для функций ui(pq) в каждой
комбинации (pq) выделяется линейная часть по локальным координатам:
α{m}
α{m}
ui(pq) = −ˉ
εpq (δip ξ q + δiq ξ p ) + Ui(pq) (ξ l ),
(12)
α{m}
где δip — символ Кронекера, а Ui(pq) (ξi ) — некоторые функции, называемые псевдоперемещениями, для которых при каждом фиксированном наборе индексов (pq) получаем следующую задачу, называемую
“линеаризованной локальной задачей Жpq на ячейке периодичности”:
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
 α{m}
σij(pq)/j в Ṽξ ,






1 α{m−1}

α{m}
α{m} α{m}
α{m} α{m−1}

=
C
ε
−
C
ε
+
в Ṽξ ∪ Σ0s ∪ Σs ,
σ̃ij
σ

ijkl
ijkl
ij(pq)
ij(pq)
ij(pq)


6


1 α{m}
α{m}
α{m}
εij(pq) =
Ui(pq)/j + Uj(pq)/i в Ṽξ ,
2



(13)

α{m}
N {m}



U
=
U
,


i(pq)
i(pq)




на Σ̃ξαN .

α{m}
N {m}


σij(pq) − σij(pq) nj = 0 

Здесь обозначено:
α{m−1}
σ̃ij
= Fijα
3
X
α{m−1}
εkl(pq)
p,q=1
!
;
(14)
1
(15)
εˉkl(pq) = εˉpq (δkp δlq + δkq δlp ) .
2
Кроме того, к системе (13) присоединяются условия на координатных плоскостях Σs = {ξ s = 0} и на торцевых поверхностях ЯП
Σ0s = {ξs = 1/2}, s = 1, 2, 3, которые записываются следующим образом:
α
α
α
при p = q Ui(pq)
= 1/2ˉ
εpq δip , Sj(pq)
= 0, Sk(pq)
= 0 на Σ0i ,
(16)
i 6= j 6= k 6= i;
α
α
α
= 1/4ˉ
εip δip , Sj(pq)
= 0, Uk(pq)
=0
при p 6= qUi(pq)
на Σ0j , i, j = {p, q};
α
α
α
Si(pq)
= 0, Sj(pq)
= 0, Uk(pq)
= 0 на Σ0k , i 6= j 6= k 6= i,
а также
α
α
α
при p = q, Ui(pq)
= 0, Sj(pq)
= 0, Sk(pq)
= 0 на Σi ,
(17)
(18)
i 6= j 6= k 6= i;
α
α
α
= 0, Sj(pq)
= 0, Uk(pq)
= 0 на Σj , i, j = {p, q};
при p6=q Ui(pq)
α
α
α
= 0, Sj(pq)
= 0, Uk(pq)
= 0 на Σk , i 6= j 6= k 6= i.
Si(pq)
(19)
Вывод этих граничных условий для линеаризованных задач (13) такой
же, как и полученный в работе [5], для линейных задач на ячейке
периодичности. Здесь введены обозначения для векторов усилий Si(pq) :
X3
α{m}
Si(pq) ≡
σil(pq) nl .
(20)
l=1
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
31
Решение задачи (13)–(17) разыскивается в области Ṽξ , представляющей 1/8 ЯП: Ṽξ = Vξ ∩ (ξi ≥ 0), здесь также обозначена Σ̃ξαβ —
поверхность контакта компонентов внутри Ṽξ : Σ̃ξαβ = Σξαβ ∩ Vˉξ .
Появление условий (16), (17) связано с требованием периодичности всех функций (1) на границе ЯП, а также наличием симметрии
ЯП относительно трех координатных плоскостей для рассматриваемого типа композита. Более подробно эти условия обсуждаются в работе
[5]. Там же на рисунках приведены граничные условия для задач Ж 33,
Ж13 и Ж31 .
Вариационная формулировка локальной задачи Жpq . Для произвольного конечного объема V⊂ Ṽξ вариационная формулировка задачи Жpq (13) при фиксированных p и q имеет вид
Z
Z
Z
T
T
δε σdV = δU SdΣ + δεT σ̂ {m−1} dV .
(21)
V
V
Σ
Здесь обозначены координатные столбцы псевдоперемещений U , напряжений σ, деформаций ε и поверхностных усилий S:
iт
h
α{m}
α{m}
α{m}
U = U1(pq) , U2(pq) , U3(pq) ,
h
√
α{m}
α{m}
α{m}
α{m}
σ = σ11(pq) , σ22(pq) , σ33(pq) , σ13(pq) / 2,
h
√
α{m}
α{m}
α{m}
α{m}
ε = ε11(pq) , ε22(pq) , ε33(pq) , ε13(pq) / 2,
σ̂
{m−1}
=
h
α{m} √
σ23(pq) / 2 ,
√
α{m}
ε23(pq) / 2,
т
α
α
α
, S2(pq)
, S3(pq)
,
S = S1(pq)
iт
α{m} √
σ12(pq) / 2 ,
α{m} √
ε12(pq) / 2 ]т ,
(22)
α{m−1}
α{m−1}
α{m−1}
α{m−1}
α{m−1}
α{m−1}
σ̂11(pq) , σ̂22(pq) , σ̂33(pq) , σ̂13(pq) , σ̂23(pq) , σ̂12(pq)
α{m−1}
σ̂ij(pq)
α{m} α{m−1}
= Cijkl εkl(pq)
1 α{m−1}
− σ̃ij
.
6
iт
,
Линеаризованные определяющие соотношения, следующие из второй группы уравнений в системе (13), с использованием координатных
столбцов записываются следующим образом:
σ = С ε,
(23)
где С — матрица упругости размером [6 × 6], составленная из компоα{m}
нентов тензора Сijkl стандартным образом [9]:
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1

α{m}
C1111







C=
 сим.





α{m}
C1113
α{m}
C1123
C1112
C2222
α{m}
0
0
0
α{m}
0
0
0
α{m}
0
0
0
α{m}
0
0
α{m}
0
C3333
2C1212
2C1313
α{m}
2C2323








.






(24)
Соотношения Коши (третья группа уравнений в системе (13)) в матричном виде записываются следующим образом:
(25)
ε = DU,
где D — матрица линейных дифференциальных операторов дифференцирования (∂l = ∂/∂ξ l ):


0
0
∂1




0
∂
0
2





0
0
∂3 


.
D= 
(26)
√
√


0
∂1 / 8 
 ∂3 / 8


√
√ 


0
∂3 / 8 ∂2 / 8 


√
√
∂2 / 8 ∂1 / 8
0
С учетом определяющих отношений (23) и (25) вариационное уравнение (21) можно представить в виде
Z
Z
Z
т
т
(DδU ) CDU dV =
δU SdΣ + (DδU )т σ̃dV .
(27)
V
Σ
V
Метод конечного элемента для задач Жpq. Аппроксимируя псевдоперемещения U в КЭ линейными функциями
U = Φq,
(28)
где q — координатный столбец псевдоперемещений в узлах КЭ, а Φj (ξi )
— матрица функции формы, зависящая от типа КЭ, получаем итоговую
разрешающую систему линейных алгебраических уравнений:
Kq = f,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
(29)
33
где
K=
Z
B т CBdV
(30)
V
— локальная матрица жесткости, B = DΦ, а
Z
Z
т
f = Φ S dΣ + B т σ̃dV
Σ
(31)
V
— столбец нагрузок.
Глобальная матрица жесткости задачи составляется из локальной
матрицы жесткости стандартным образом [10], после ее формирования к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применяются граничные условия (16) и (17). Граничные условия идеального
контакта (последняя группа соотношений в системе (13)) не требуют
специального учета, так как при данном варианте МКЭ они удовлетворяются автоматически.
Решая СЛАУ, находим перемещения q в узлах, по которым вычисляем псевдоперемещения U = Φq, деформации ε = Bq и напряжения
σ {m} = CBq − σ̂ {m−1} в КЭ. Для решения СЛАУ применялся метод
сопряженных градиентов.
Рассматривались два типа конечных элементов — четырех узловой тетраэдр, обеспечивающий линейную аппроксимацию псевдоперемещений U и приводящий к постоянным напряжениям σв каждом
КЭ, а также десяти узловой тетраэдр, обеспечивающий квадратичную
аппроксимацию псевдоперемещений и линейную аппроксимацию напряжений в КЭ.
Каждая из указанных задач Жpq решалась несколько раз: при заданных значениях деформаций εˉpq осуществлялся итерационный цикл
решения соответствующей задачи до достижения условия сходимости
решения, которое выбиралось следующим образом:
3 3 X
−1
X
(α){m}
(α){m−1} (α){m−1} ≤ δ,
(32)
σβγ(pq) − σβγ(pq) ∙
σβγ(pq) β,γ=1
β,γ=1
где δ = 0,01 . . . 0,001. Число итераций m = M , обеспечивающее выполнение данного условия, было различным для разных задач Ж pq
и для разных значений εˉpq , но не превышало 10. . . 15. Напряжения
при максимальном значении номера итерации m = M обозначались
(α){M }
как σβγ(pq) . Для повышения устойчивости счета задачи Ж11 , Ж22 и
Ж33 решались совместно — как общая задача с входными данными
εˉ11 , εˉ22 и εˉ33 . Также совместно решались задачи Ж13 и Ж31 , Ж12 и Ж21 ,
Ж23 и Ж32. Далее совершался еще один цикл решения задач Жpq — по
значениям входных данных εˉpq .
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
Расчет эффективных упруго-пластических характеристик композиционного материала. После решения серии задач Жpq (13), (16),
(19) указанным методом для всех pq проинтегрируем напряжения
(α){M }
σβγ(pq) по областям, занятым волокнами и матрицей,
σ
ˉij =
D
(α){M }
σij
E
=
3 D
X
p,q=1
(α){M }
σ
ˉij(pq)
E
.
(33)
В результате получим осредненные напряжения в локальной упругопластической задаче (6). Тогда эффективные упруго-пластические соотношения, связывающие осредненные напряжения σ
ˉij и деформации
εˉpq можно записать в следующем символическом операторном виде:
σ
ˉij = Fˉij (ˉ
εpq ) .
(34)
Поскольку ранее указан алгоритм вычисления средних напряжений σ
ˉij
(α){M }
(формулы (33), в которых σβγ(pq) вычисляются по методу, описанному
в предыдущем пункте) по заданным значениям осредненных деформаций εˉpq , то, тем самым, фактически указан алгоритм нахожднения
значений символического оператора (34).
Данный символический оператор (34) может быть конкретизирован, если имеется информация о типе геометрической симметрии ЯП
композита и типе анизотропии волокон и матрицы. Поскольку принято основное допущение симметрии, то решение всех задач Жpq будет
обладать указанными типами симметрии (т.е. не изменится во всей
ЯП при указанных выше преобразованиях). Это означает, что и оператор (34) должен обладать данным типом симметрии. Но перечисленные выше преобразования вместе с тождественным преобразованием
образуют группу ортотропии (8 преобразований [9]), следовательно
по терминологии, введенной в работе [9], оператор (34) будет тензорной функцией, индифферентной относительно группы ортотропии. Но
тогда для такой функции можно использовать представление ее в тензорном базисе группы ортотропии, которое имеет вид
εpq ) =
σ
ˉij = Fˉij (ˉ
где
3
X
1
ϕγ δiγ δjγ + (ϕ4 εˉ23 + ϕ6 εˉ12 εˉ13 )(δi2 δj3 + δi3 δj2 )+
2
γ=1
1
+ (ϕ5 εˉ13 + ϕ6 εˉ12 εˉ23 )(δi1 δj3 + δi3 δj1 )+
2
1
+ (ϕ7 εˉ12 + ϕ6 εˉ13 εˉ23 )(δi1 δj2 + δi2 δj1 ), (35)
2
ϕγ = ϕγ (I1ε , . . . , I7ε ) ,
γ = 1, . . . , 7,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
(36)
35
скалярные функции от семи инвариантов тензора осредненных деформаций (независимых из них только шесть):
I1ε = εˉ11 , I2ε = εˉ22 , I3ε = εˉ33 , I4ε = εˉ223 ,
I5ε = εˉ213 , I6ε = εˉ13 εˉ12 εˉ23 , I7ε = εˉ212 .
(37)
Эти функции ϕγ фактически и представляют собой искомые эффективные упругопластические характеристики композита. Зная значения
σ
ˉij и εˉpq , функции ϕγ могут быть вычислены следующим образом. Запишем формулы (35) в явном виде:
σ
ˉ11
σ
ˉ22
σ
ˉ33
σ
ˉ23
σ
ˉ13
σ
ˉ12
= ϕ1 (I1ε , . . . , I7ε ),
= ϕ1 (I1ε , . . . , I7ε ),
= ϕ1 (I1ε , . . . , I7ε ),
= ϕ4 εˉ23 + ϕ6 εˉ12 εˉ13 ,
= ϕ5 εˉ13 + ϕ6 εˉ12 εˉ23 ,
= ϕ7 εˉ12 + ϕ6 εˉ13 εˉ23 ,
(38)
а затем образуем из этих соотношений семь инвариантов тензора
средних напряжений Iγσ , γ = 1, . . . , 7, аналогичных инвариантам Iγε ,
γ = 1, . . . , 7 (37), в результате получим систему семи нелинейных
уравнений относительно семи функций ϕγ :
I1σ = ϕ1 , I2σ = ϕ2 , I3σ = ϕ3 ,
I4σ = ϕ24 I4ε + 2ϕ6 ϕ4 I5ε I7ε + ϕ26 I6ε , I5σ = ϕ25 I5ε + 2ϕ6 ϕ5 I4ε I7ε + ϕ26 I6ε ,
I7σ = ϕ27 I7ε + 2ϕ7 ϕ6 I4ε I5ε + ϕ26 I6ε ,
(39)
I6σ = (ϕ4 ϕ5 ϕ7 + ϕ26 (ϕ4 + ϕ5 + ϕ7 ))I6ε + ϕ5 ϕ6 ϕ7 I5ε2 I7ε2 +
+ ϕ4 ϕ6 ϕ7 I4ε2 I7ε2 + ϕ4 ϕ5 ϕ6 I4ε2 I5ε2 + ϕ36 I6ε2 ,
решая которую находим искомые эффективные упругопластические
функции композита (34).
Теорема. Пусть для композита с периодической структурой выполнены следующие условия: 1) принято основное допущение симметрии, 2) волокна и матрица являются квазилинейными упругопластическими изотропными
материалами, т.е. их операторы (5)
ε(α) ε(α)
α
α
α
зависят только от двух инвариантов тензоFij (εkl ) = Fij I1 , I2
ра деформаций относительно группы изотропии:
ε(α)
I1
= εα11 + εα22 + εα33 ,
ε(α)
I2
=
α2
α2
= (εα11 − εα22 )2 + (εα33 − εα22 )2 + (εα11 − εα33 )2 + 6(εα2
13 + ε12 + ε23 ), (40)
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
ε(α)
и не зависят от третьего инварианта в этой группе I3
= det(εαij ),
тогда эффективные упругопластические функции (33), (34) композита являются: а) индифферентными относительно группы ортотропии,
б) квазилинейными: зависящими только от линейных и квадратичных
инвариантов тензора осредненных деформаций I1ε , I2ε , I3ε , I4ε , I5ε , I7ε и
не зависящими от кубического инварианта I6ε , т.е. имеют следующий
вид:
3
P
1
σ
ˉij = Fˉij (ˉ
εpq ) =
ϕγ δiγ δjγ + ϕ4 εˉ23 (δi2 δj3 + δi3 δj2 )+
2
γ=1
(41)
1
1
+ ϕ5 εˉ13 (δi1 δj3 + δi3 δj1 ) + ϕ7 εˉ12 (δi1 δj2 + δi2 δj1 )
2
2
ε ε ε ε ε ε
ϕγ = ϕγ (I1 , I2 , I3 , I4 , I5 , I7 )
(42)
а ϕ6 = 0.
Доказательство. Утверждение а) было нами доказано ранее. Эффективные упругопластические функции (34) композита полностью
определяются видом символического оператора (34) эффективных
определяющих соотношений, который в свою очередь определяется
решением локальной задачи (13), (16), (17). Решение же этой задачи
зависит от εˉpq только через граничные условия (16), в которых деформации εˉpq входят
в виде комбинаций
I1ε = εˉ11 , I2ε = εˉ22 , I3ε = εˉ33 ,
p
p
p
ε23 |,
ε13 |,
ε12 |, совпадающих с шестью
I4ε = |ˉ
I5ε = |ˉ
I6ε = |ˉ
указанными инвариантами тензора εˉpq . Зависимости от кубического
инварианта I6ε у данного оператора нет. Таким образом и утверждение
б) теоремы, а следовательно, и сама теорема доказаны.
Если выполнены условия теоремы, то соотношения (39) для нахождения эффективных упруго-пластических функций ϕγ упрощаются
и имеют вид
ϕ1 = I1σ ,
ϕ24 = I4σ /I4ε ,
ϕ2 = I2σ ,
ϕ3 = I3σ ,
ϕ25 = I5σ /I5ε ,
ϕ27 = I7σ /I7ε
(43)
Для того чтобы воспользоваться этими соотношениями, необходимо: 1) в шестимерном пространстве инвариантов I1ε , I2ε , I3ε , I4ε , I5ε ,
I7ε ввести область допустимых значений, например, шестимерный куб
ε
Q6 = {amin ≤ Iγε ≤ amax , γ = 1, 2, 3, 4, 5, 7}; ввести сетку Iγi
= iγ I,
γ
ε
ε
γ = 1, . . . , 5, 7, где Iγiγ — значения инварианта Iγ в узле сетки с шестимерным номером iγ , γ = 1, . . . , 5, 7, а I = (amax − amin )/N — шаг
ε
сетки; 2) для каждого значения Iγi
, γ = 1, . . . , 5, 7 в узле сетки решить
γ
серию задач Жpq и, получив значения осредненных напряжений (33)
σ
; 3) по формулам (43) найти
σ
ˉij , найти значения их инвариантов Iγi
γ
значения ϕγiγ функций ϕγ .
Данный способ приводит к значительному числу вычислений, так,
если введена сетка с числом узлов на ребре куба Q6 N=10, то общее
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
37
число узлов сетки составит 106 , а число необходимых для решения задач Жpq составит 6 ∙ 106 . Однако, если в расчетах используется модель
малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина, то указанное число задач Жpq может быть существенно сокращено.
Случай малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина. В случае малых упруго-пластических деформаций пластичности А.А. Ильюшина [8] операторы Fijα (εαkl ) в системе (1) для волокон
и матрицы имеют вид
2 α
α
α
α
G (1 − ωu ) − K εαkk δij + 2Gα (1 − ωuα ) εαij ,
(44)
σij =
3
ε(α)
где Gα — модуль сдвига, K α – модуль объемного сжатия, ωuα (I2 )
— функция пластичности А.А. Ильюшина, причем линеаризованные
определяющие соотношения (9) на m-м шаге будут иметь следующий
вид:
α{m}
2 α
α{m}
α{m}
α{m}
α
σij =
− K εkk δij +2Gα 1 − ωuα{m} εij −
G 1 − ωu
3
2 α
α{m−1}
α{m}
α
−
δij +
− K εkk
G 1 − ωu
3
(k−1)
α{m−1}
+ σ̃ij
. (45)
+ 2Gα 1 − ωu(m) εij
Соотношения (42) не зависят от траектории в пространстве деформаций, и часто решения прикладных задач ограничиваются случаем простого (пропорционального) деформирования, при котором
εˉpq (t) = εˉ0pq Ψ(t), здесь t — параметр кривой в пространстве деформаций εˉpq . Тогда в шестимерном пространстве инвариантов Iγε , этой
кривой будет соответствовать луч Iγε (t) = Iγ0 Ψ(t), где Iγ0 выражаются
ε
через εˉ0pq по формулам (37). Вводя сетку вдоль этого луча Iγi
= iΨIγ0 ,
γ
γ = 1, . . . , 5, 7, где Ψ = Ψmax /N — приращение параметра деформирования (шаг сетки), получим, что число задач Жpq , необходимое для
расчета эффективных упруго-пластических функций ϕγ составит 6N .
Случай кубической симметрии. Для композита, у которого армирование осуществлено одинаковым образом относительно всех трех
осей координат, ячейка периодичности будет иметь кубическую симметрию [9], а число независимых инвариантов тензоров Iασ и Iαεˉ равно
трем. В качестве таких инвариантов могут быть выбраны спектральные инварианты [9], которые образуются с помощью спектрального
разложения симметричных тензоров второго ранга относительно кубической группы симметрии [9]:
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
3
σ
Pij(1)
σ
Pij(3)
ε
Pij(1)
ε
Pij(3)
X
1
1
σ
= σkk δij , Pij(2)
=
σαα δiα δjα − σkk δij ,
3
3
α=1
= σij −
3
X
σαα δiα δjα ,
α=1
3
X
1
1
ε
= εkk δij , Pij(2)
=
εαα δiα δjα − εkk δij ,
3
3
α=1
= εij −
3
X
(46)
εαα δiα δjα .
α=1
Спектральные инварианты Iασ и Iαεˉ представляют собой свертки
σ
ε
, Pij(α)
:
соответствующих ортопроекторов Pij(α)
q
q
σ
σ
ε
ε
Iασ = Pij(α)
Pij(α)
, Iαε = Pij(α)
Pij(α)
, α = 1, 2, 3,
(47)
и имеют следующий вид:
1
1 p
I1σ = σii , I2σ = √
(σ11 − σ22 )2 + (σ22 − σ33 )2 + (σ33 − σ11 )2 ,
3
3
√ q
σ
2
2
2
+ σ13
+ σ23
,
I3 = 2 σ12
1
1 p
I1ε = εˉii , I2ε = √
(ˉ
ε11 − εˉ22 )2 + (ˉ
ε22 − εˉ33 )2 + (ˉ
ε33 − εˉ11 )2 ,
3
3
√ q
ε
I3 = 2 εˉ212 + εˉ213 + εˉ223 .
Тогда эффективные определяющие соотношения (34) принимают следующий вид:
3
ϕ1
ϕ2 X 1
ˉ
σ
ˉij = Fij (ˉ
εpq ) = √ δij + ε
δiα δjα εˉαα − I1ε δij +
I2 α=1
3
3
3
X
ϕ3 δiα δjα εˉαα , (48)
+ ε εˉij −
I3
α=1
где функции ϕα связывают спектральные инварианты
Iασ = ϕα (I1ε , I2ε , I3ε ) ,
α = 1, 2, 3,
(49)
и представляют собой искомые эффективные упруго-пластические характеристики композита.
Функции ϕα (I1ε , I2ε , I3ε ) находились численным образом, процедура их вычисления была следующей. По формуле (33) вычислялись
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
39
средние напряжения σ
ˉij с помощью решения соответствующих задач
Жpq при фиксированных значениях εˉpq , затем вычислялись значения
инвариантов Iασ и Iαεˉ по формулам (47), тогда значение Iασ = ϕα и является значением функции ϕα при фиксированных значениях εˉpq . Меняя
затем значения εˉpq , получаем новые значения функции ϕα .
Для приложений важна возможность упрощения эффективных
упруго-пластических характеристик (48). В работе [3] была предложена так называемая простейшая модель анизотропной пластичности,
при которой линейные инварианты осредненных тензоров напряжений и деформаций связаны линейной зависимостью, а квадратичные
– только с соответствующим инвариантом. Применительно к кубической симметрии простейшая модель имеет следующий вид:
I1σ = λ1 I1ε ,
Iασ = ϕα (Iαε ) = 2λα (1 − ωα (Iαε )),
α = 2, 3
(50)
где λα — эффективные константы упругости композита, а ωα (Iαε ) — эффективные функции пластичности А.А. Ильюшина. Ниже приведены
результаты проверки применимости простейшей модели пластичности
для композитов с кубической симметрией.
Результаты численного моделирования упруго-пластического
деформирования композита. При вычислительном эксперименте
рассматривался пространственно-армированный углеалюминиевый
композит, с алюминиевой матрицей и углеродными волокнами, которые для простоты предполагались изотропными и упругими. Константы упругости волокна были взяты следующими: E = 250 ГПа,
ν = 0,35. Матрица полагалась упруго-пластической, функция пластичности выбиралась в виде

ε(N )
∗(N )
 0,
≤ I2 ;
I2
α ε(N )
ωu (I2 ) =
(51)

∗(N )
ε(N )
ε(N )
∗(N )
(N )
(1 − k )(1 − I2 /I2 ), I2
,
≥ I2
который соответствует
кусочно-линейной
зависимости инвариан
σ(N )
σ(N )
ε(N )
тов I2
= I2
I2
. Характеристики матрицы следующие:
∗(N )
(N )
(N )
= σT /E (N ) , где σT = 300 МПа —
(N )
Ep
предел текучести матрицы, k (N ) = (N ) = 0,1 — отношение модулей
E
упругости в пластической и упругой зонах.
Результаты моделирования приведены на рис. 2–9.
На рис. 2 и 3 показаны эффективные диаграммы пластичности: напряжение σ
ˉ33 –деформация εˉ33 и напряжение σ
ˉ13 –деформация εˉ13 для
композита с коэффициентом армирования 0,29, а также для волокна
и матрицы. Из этой диаграммы видно, что даже в направлении армирования композит проявляет пластические свойства, причем предел
E = 70 ГПа, ν = 0,25, I2
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
Рис. 2. Эффективная диаграмма пластичности:
напряжение σ
ˉ33 –деформация εˉ33 для упруго-пластического композита с коэффициентом армирования 0,35 (с), для волокна (f) и матрицы (m)
Рис. 3. Эффективная диаграмма пластичности:
напряжение σ
ˉ13 –деформация εˉ13 для упруго-пластического композита с коэффициентом армирования 0,35 (с), для волокна (f) и матрицы (m)
текучести по деформациям композита и матрицы примерно близки.
Диаграмма деформирования композита в пластической зоне подобна
диаграмме пластичности матрицы. Однако у композита она располагается в области более высоких значений.
ε13 для упругоНа рис. 4 приведена эффективная диаграмма σ
ˉ13 –ˉ
пластического композита, полученная разработанным методом, а также аналогичные диаграммы, построенные приближенно-аналитическими методами по Фойгту (деформации сдвига у матрицы и волокна
равны, а напряжения сдвига суммируются) и по Рейссу (наоборот, напряжения сдвига у матрицы и волокна равны, а деформации сдвига
суммируются). Эффективные определяющие соотношения по Фойгту
и по Рейссу записываются следующим образом:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
41
Рис. 4. Эффективные диаграммы:
напряжение σ
ˉ13 –деформация εˉ13 для упруго-пластического композита (с), оценки
диаграммы по Фойгту (Ф) и Рейссу (Р)
Рис. 5. Распределение напряжений σ13 в 1/8 ЯП упруго-пластического композита в задаче Ж13+Ж31, коэффициент армирования 0,35
ϕf
(1 − ωf (ˉ
σ13 )) σ
ˉ13 (по Рейссу),
2Gm
2Gf
ε13 )) + Gf ϕf (1 − ωf (ˉ
ε13 )))ˉ
ε13 (по Фойгту),
σ
ˉ13 = 2(Gm (1 − ϕf )(1 − ωm (ˉ
где Gm , ωm (ˉ
ε13 ), Gf , ωf (ˉ
ε13 ) — модули сдвига и функции пластичности А.А. Ильюшина для матрицы и волокна. Проведенные расчеты
показали, что вычисления эффективных диаграмм деформирования
композита по этим приближенно-аналитическим методам приводят к
значительной погрешности (см. pис. 4); отличие от результатов, получаемых разработанным методом, достигает 50 % по напряжениям.
На рис. 5 показано распределение напряжений σ13 в 1/8 ЯП упругопластического композита в задаче Ж13+Ж31, а на рис. 6 — распределение напряжений σ33 в задаче Ж33.
Эффективная зависимость инварианта I1σ от I1ε (функция (49) вида
I1σ = ϕ1 (I1ε , 0, 0)) для упруго-пластического композита с коэффициентом армирования 0,35 показана на рис. 7. Зависимости инвариантов I2σ
εˉ13 =
42
1 − ϕ
f
(1 − ωm (ˉ
σ13 )) +
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
Рис. 6. Распределение напряжений σ33 в 1/8 ЯП упруго-пластического композита в задаче Ж33, коэффициент армирования 0,35
Рис. 7. Эффективная зависимость инварианта I1σ от I1ε (функция
I1σ = ϕ1 (I1ε , I2ε , I3ε )) для упруго-пластического композита с коэффициентом армирования 0,35
от I2ε при различных фиксированных значениях инварианта I3ε (функция I2σ = ϕ2 (0, I2ε , I3ε ) приведены на рис. 8, а зависимости инварианта I3σ от I3ε при различных фиксированных значениях инварианта I2ε
(функция I3σ = ϕ3 (0, I2ε , I3ε ) показаны на рис. 9. Этими вычислениями проверялась возможность принятия простейшей модели (49) для
композита. Они показали, что такая модель может быть принята, так
как третий инвариант I3ε практически не влияет на зависимость между вторыми инвариантами I2σ и I2ε , и наоборот, второй инвариант I2ε
практически не оказывает влияния на эффективную зависимость между третьими инвариантами. Этот вывод, по крайней мере, справедлив
для исследованного диапазона изменений характеристик матрицы, волокна и коэффициента армирования.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
43
Рис. 8. Эффективные зависимости инварианта I2σ от I2ε при различных значениях инварианта I3ε для упруго-пластического композита с коэффициентом
армирования 0,35
Рис. 9. Эффективные зависимости инварианта I3σ от I3ε при различных значениях инварианта I2ε для упруго-пластического композита с коэффициентом
армирования 0,35
Выводы. Разработан конечно-элементный метод решения локальных задач на ячейке периодичности для упруго-пластических композитов. Метод позволяет расчитывать эффективные диаграммы деформирования композита, связывающие компоненты эффективных тензоров напряжений и деформаций, а также вычислять микронапряжения
в волокнах и матрице композита.
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
Показано, что для композитов с кубической симметрией ячейки
периодичности эффективные диаграммы могут быть сведены к зависимостям между тремя инвариантами эффективных тензоров напряжений и деформаций.
Проведены сравнительные расчеты эффективных диаграмм деформирования для композита с углеродными волокнами и алюминиевой матрицей на основе разработанного метода и приближенноаналитических методов типа Фойгта–Рейсса. Расчеты показали, что
использование приближенно-аналитических методов приводит к существенным погрешностям при построении эффективных диаграмм
пластичносности композитов — ошибка достигает 50 %.
С помощью разработанного численного метода проведена проверка применимости простейшей модели анизотропной пластичности
Б.Е. Победри, показавшая адекватность этой модели для исследованного типа композитов. Это позволяет ее рекомендовать для проведения
расчетов конструкций из упруго-пластических композитов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Б а х в а л о в Н. С., П а н а с е н к о Г. П. Осреднение процессов в
периодических средах. – М.: Наука, 1984. – 352 c.
2. С а н ч е с - П а л е н с и я Э. Неоднородные среды и теория колебаний. – М.:
Мир, 1984. – 472 c
3. П о б е д р я Б. Е. Механика композиционных материалов. – М.:Изд-во МГУ,
1984.
4. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких
температурах. – М.: Машиностроение, 1997. – 366 с.
5. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К а ш к а р о в А. В. Конечно-элементный метод
для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных
композитов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cер. “Естественные науки”. –
2002. – № 2. – C. 95–108.
6. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К а ш к а р о в А. И., М а к а ш о в А. А.
Конечно-элементное моделирование процесса разрушения пространственноармированных композитов с периодической структурой / Современные
естественно-научные и гуманитарные проблемы. – М.: Логос, 2005. – С. 485–
498.
7. Д и м и т р и е н к о Ю. И., К а ш к а р о в А. И., М а к а ш о в А. А. Разработка конечно-элементного метода решения локальных задач теории упругости
“на ячейке периодичности” для композитов с периодической пространственной
структурой / Математика в современном мире: Под ред. Ю.А. Дробышева. –
Калуга: Изд-во КГПУ, 2004. – С. 177–191.
8. И л ь ю ш и н А. А. Пластичность. – М.: ГИИТЛ. – 1948.
9. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Тензорное исчисление. – М.: Высшая школа, 2001.
– 575 с.
10. П о п о в Б. Г. Расчет конструкций вариационно-матричными методами. –
М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. – 294 c.
Статья поступила в редакцию 27.01.2006
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
45
Юрий Иванович Димитриенко родился в 1962 г., окончил в
1984 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой “Вычислительная математика
и математическая физика” МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член Академии инженерных наук. Автор более 100
научных работ в области вычислительной механики, нелинейного тензорного анализа, термомеханики композитов, математического моделирования в материаловедении.
Yu.I. Dimitrienko (b.1962) graduated from the Lomonosov Moscow State University
in 1984. D.Sc.(Phys.-Math.), professor, head of “Computational Mathematics and
Mathematical Physics” department of the Bauman Moscow State Technical University.
Full member of the Russian Academy of Engineering Sciences. Author of more than
100 publications in the field of computational mechanics, nonlinear tensor analysis,
thermomechanics of composite materials, mathematical simulations in science of
materials.
Александр Игоревич Кашкаров родился в 1978 г., окончил в 2001 г. МГТУ
им. Н.Э. Баумана. Ассистент кафедры “Вычислительная математика и математическая физика” МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ по численным
методам в механике композитов.
A. I. Kashkarov (b.1978) graduated from the Bauman Moscow State Technical University
in 2001. Assistant of “Computational Mathematics and Mathematical Physics” department
of the Bauman Moscow State Technical University. Author of some publications in the
field of numerical methods for mechanics of composites.
Алексей Анатольевич Макашов родился в 1983 г., окончил в 2005 г. МГТУ
им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры “Вычислительная математика и математическая физика” МГТУ им. Н.Э. Баумана. Имеет ряд научных работ по применению
метода конечных элементов для решения задач механики композитов.
A. A. Makashov (b.1983) graduated from Bauman Moscow State Technical University
in 2005. Post-graduate of “Computational Mathematics and Mathematical Physics”
department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of some
publications in the field of finite element method applications for solving problems of
mechanics of composites.
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1