Элементы теории графов. Деревья, плоские графы, раскраски

Элементы теории графов
Деревья, плоские графы,
раскраски графов
Дерево
Деревом называется неориентированный связный граф,
не содержащий циклов.
В дереве существует один и только
соединяющий каждую пару вершин.
один
путь,
Дерево с n вершинами имеет n-1 ребро.
Листьями называются вершины дерева, имеющие степень 1
1
n=7
2
7 вершин, 6 ребер
3
Листья {4,5,6,7}
4
5
6
7
Свойства дерева.
Добавление ребра
При добавлении к дереву любого нового ребра образуется
цикл.
1
1
2
4
3
5
6
Дерево
2
7
4
3
5
6
При добавлении ребра (2,3)
образуется цикл (1,2,3,1)
При добавлении ребра (2,5)
образуется цикл (1,2,5,3,1)
7
Свойства дерева.
Удаление ребра
При удалении из дерева любого ребра граф перестает
быть связным (число компонент связности увеличивается).
Любое ребро дерева является мостом.
1
1
2
4
3
5
6
Дерево
2
7
4
3
5
6
7
При удалении ребра (1,2)
граф разбивается
на 2 компоненты связности:
({2,4}, {(2,4)}) и
{1,3,5,6,7}, {(1,3),(3,5)(3,6),(3,7)}
Свойства дерева. Центр дерева
Центр дерева состоит из 1 вершины или 2-х смежных вершин.
Матрица расстояний:
1
2
4
3
7
5
6
1
2
3
4
5
6
7
ecc
1
0
1
1
2
2
3
2
3
2
1
0
2
1
3
4
3
4
3
1
2
0
3
1
2
1
3
4
2
1
3
0
4
5
4
5
5
2
3
1
4
0
1
2
4
6
3
4
2
5
1
0
3
5
7
2
3
1
4
2
3
0
4
Радиус дерева равен 3. Центр дерева – вершины {1,3}
Каркас
Из любого связного неориентированного графа с n
вершинами и m ребрами можно получить дерево путем
удаления m-n+1 ребер. Такое дерево называется каркасом
графа. Каркасов может быть несколько.
6
3
4
1
6
5
2
Исходный граф
n=6, m=8
m-n+1=3
6
5
5
4
4
3
3
1
2
2
1
Каркас
Удалены ребра:
(1,3), (2,6), (3,4)
Каркас
Удалены ребра:
(1,2), (1,4), (3,4)
Радиус равен 3
Радиус равен 2
Плоский граф
Плоским графом называется связный неориентированный
граф, который можно изобразить на плоскости так, что
никакие два его ребра геометрически не пересекаются нигде,
кроме инцидентной им обоим вершины.
Изображение графа, в котором никакие два его ребра не
пересекаются, если не считать точками пересечения общие
вершины, называют плоским представлением графа
6
5
6
3
4
1
2
Этот граф является плоским.
5
3
4
1
2
Плоское представление
Грани плоского графа
Гранью в плоском представлении графа называется часть
плоскости, ограниченная простым циклом и не содержащая
внутри других циклов. Всегда имеется одна неограниченная
внешняя грань, все остальные грани называются
внутренними.
6
5
4
2
C
3
4
А
B
1
5
1
2
Граф содержит 4 грани: 1
внешнюю и 3 внутренних
(A, B, C)
3
У дерева имеется только
одна (внешняя) грань
Формула Эйлера
Количество граней в плоском представлении плоского графа,
имеющего n вершин и m ребер, равно m-n+2
6
5
n = 6, m = 8
C
3
4
А
количество граней
k = 8-6+2 = 4
B
1
2
n = 5, m = 5
2
1
3
5
4
количество граней
k = 5-5+2 = 2
Следствия формулы Эйлера
Пусть в плоском графе n вершин (n  3) и m ребер.
1. m  3*(n-2)
граф является плоским
n = 5, m = 7
7  3*(5-2) = 9
2. Если в графе нет циклов длины 3, то m  2*(n-2)
Граф является плоским,
в нем нет циклов длины 3
n = 6, m = 7
7  2*(6-2) = 8
Следствия задают необходимые, но не достаточные
условия проверки того, что граф является плоским.
Примеры неплоских графов
Полный граф с 5 вершинами не
является плоским
n = 5, m = 10
1-е следствие не выполняется:
10  3*(5-2) = 9 неверно
Граф не является плоским и не
содержит циклов длины 3
n = 6, m = 9
1-е следствие выполняется:
9  3*(6-2) = 12 верно
2-е следствие не выполняется:
9  2*(6-2) = 8 неверно
Эйлеров путь. Эйлеров граф
Эйлеровым путем в графе называется путь, в котором
каждое ребро графа встречается ровно 1 раз.
Эйлеровым циклом в графе называется цикл, в котором
каждое ребро графа встречается ровно 1 раз.
Связный граф называется эйлеровым графом, если в нем
существует эйлеров цикл.
6
5
5
3
4
1
2
не эйлеров граф
4
3
6
1
2
эйлеров граф;
эйлеров цикл (1,2,3,4,5,6,1)
Свойство эйлерова графа
Для того, чтобы граф являлся эйлеровым графом,
необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин
были четными.
6
5
6
3
4
1
2
не эйлеров граф;
степень вершины 5
равна 1
5
3
4
1
2
эйлеров граф;
степени всех вершин
равны 2
Пример эйлерова цикла
5
4
3
6
1
Все степени
эйлеровым.
2
вершин
четные,
Степени вершин:
P(1) = 4
P(2) = 2
P(3) = 4
P(4) = 2
P(5) = 4
P(6) = 2
поэтому
граф
является
Эйлеров цикл: (1,2,3,4,5,6,1,3,5,1)
Этот цикл не является простым, поскольку в нем встречаются
одинаковые вершины.
Раскраска вершин графа.
Правильная раскраска вершин.
Раскраской вершин неориентированного связного графа
называется функция, определенная на множестве вершин
графа и принимающая значения на множестве цветов.
Раскраску можно также рассматривать как разбиение
множества вершин на непересекающиеся подмножества
вершин одинакового цвета (такие подмножества называют
цветными классами).
Раскраска вершин называется правильной, если любые две
смежные вершины имеют разные цвета.
2
1
3
5
4
Множество вершин графа
{1,2,3,4,5}
Множество цветов {A,B}
Правильная раскраска:
{(1,A), (2,B), (3,A), (4,B), (5,A)}
Цветные классы: {1,3,5} и {2,4}
Хроматическое число
Задача о раскраске вершин состоит в нахождении
правильной раскраски вершин графа G в наименьшее число
цветов. Это число называется хроматическим числом графа
G (обозначается X(G)).
Общего решения задачи о раскраске вершин не найдено,
установлены только верхние границы.
Если наибольшая из степеней вершин графа G равна p (p3),
то X(G)≤(p+1)
3
2
4
Для полного графа хроматическое
число равно количеству вершин
Степени всех вершин равны 4
1
5
X=5
Теорема
о хроматическом числе
Если G - связный граф, не являющийся полным, и
наибольшая из степеней его вершин равна p (p3), то X(G)≤ p
3
2
Степени вершин графа
P(1)=4; P(2)=2; P(3)=4; P(4)=3; P(5)=3
4
p=4, X=4
1
5
3
2
4
Степени вершин графа
P(1)=4; P(2)=2; P(3)=3; P(4)=3; P(5)=2
p=4, X=3
1
5
Раскраска ребер графа.
Правильная раскраска ребер.
Раскраской ребер неориентированного связного графа
называется функция, определенная на множестве ребер
графа и принимающая значения на множестве цветов.
Раскраску можно также рассматривать как разбиение
множества ребер на непересекающиеся подмножества ребер
одинакового цвета.
Раскраска ребер называется правильной, если любые два
смежных ребра имеют разные цвета.
3
2
4
1
5
Множество цветов {A,B,C}
Правильная раскраска:
{(2,3), (1,5)}
{(2,5), (3,4)}
{(1,2), (4,5)}
Хроматический индекс
Хроматический индекс графа G (обозначается XI(G)) –
наименьшее число цветов, которые необходимы для
правильной раскраски этого графа.
Если наибольшая из степеней вершин графа G равна p (p3),
то p ≤XI(G)≤(p+1)
3
2
3
4
1
5
p=3, XI=4
2
4
1
5
p=3, XI=3